4.4 幂函数（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

　　一般地,函数y=xα为幂函数,其中α为常数. 4.4 幂函数 知识点 1 幂函数的概念 知识 清单破 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.常见幂函数的性质 知识点 2 常见幂函数的性质与图象 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 单调性 增函数 在[0,+∞)上单调递增, 在(-∞,0)上单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上单调递减, 在(-∞,0)上单调递减 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 公共点 图象都经过点(1,1) 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 2.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象,如图所示.   第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都经过 点(1,1). 2.若α>0,则幂函数y=xα的图象经过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 3.若α<0,则幂函数y=xα在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时, 图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴. 知识点 3 幂函数的共同特征 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.y=- 是幂函数. (　    ) 2.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).(　    ) 3.幂函数的图象一定不会出现在第四象限,但可能出现在第二象限. (　    ) 4.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.(　    ) 5.当α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. (　    ) ✕ ✕ √ ✕ ✕ 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.根据幂函数在第一象限内的图象可以确定幂指数α与0,1的大小关系. 2.依据图象高低可以判断幂指数的大小,相关结论如下: (1)在x∈(0,1)上,幂指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”); (2)在x∈(1,+∞)上,幂指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”). 疑难 情境破 疑难 1　幂函数图象的应用 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　若点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,则当x为何值时, (1)f(x)>g(x)? (2)f(x)=g(x)? (3)f(x)<g(x)? 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    设f(x)=xα, 因为点( ,2)在幂函数f(x)的图象上, 所以将( ,2)代入f(x)=xα中,得2=( )α,解得α=2,则f(x)=x2. 同理,可求得g(x)=x-2. 在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示.   观察图象可得: 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 (1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x). (2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x). (3)当-1<x<1且x≠0时, f(x)<g(x). 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定 义域、值域、单调性、奇偶性.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:(1)利用幂函数 的单调性求出α的取值范围;(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值. 疑难 2 幂函数的性质的应用 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递增. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)>3x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立,求实数k的取值范围. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵f(x)为幂函数, ∴m2-2m-2=1, 解得m=-1或m=3. 当m=-1时,f(x)=x-1,其在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 当m=3时,f(x)=x3,其在(0,+∞)上单调递增,符合题意. 故f(x)=x3. (2)由(1)得x3>3x2+(k-1)x在[1,3]上恒成立, ∴k-1< =x2-3x在[1,3]上恒成立, 当x∈[1,3]时,(x2-3x)min= -3× =- , ∴k-1<- ,解得k<- , 故实数k的取值范围为 . 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$