4.2.3 对数函数的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

　　一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 知识点 1 对数函数 知识 清单破 4.2.3 对数函数的性质与图象 温馨提示　对数函数解析式的结构特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数; (2)真数是自变量x,且x的系数是1; (3)logax的系数是1. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 对数函数的性质与图象 函数 y=logax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象     第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 性 质 定义域 (0,+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 定点 图象过定点(1,0) 性 质 函数值 的变化 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0] 单调性 增函数 减函数 　　注:对数函数y=logax与y=lo x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　单调性相同的对数函数,它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的 规律.利用此性质可比较不同对数函数的底数大小,具体方法如下:作直线y=1与各个对数函数 的图象,在第一象限内,从左到右,对数函数的底数逐渐增大. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.y=log2x2与y=logx3都不是对数函数.(　    ) 2.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).(　    ) 3.y=log2x2在[0,+∞)上为增函数.(　    ) 4.函数y=log2(x+2)-1的图象恒过点(-1,-1). (　    ) 5.函数y=ln 的图象可由y=ln x的图象平移得到. (　    ) √ ✕ 由x+1>0可得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞). 提示 ✕ x不能为0. 提示 √ 令x+2=1,得x=-1,此时y=-1,所以函数y=log2(x+2)-1的图象恒过点(-1,-1). 提示 √ 函数y=ln  =ln x-1的图象可由y=ln x的图象向下平移1个单位长度得到. 提示 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.同底数的利用对数函数的单调性进行判断. 2.同真数的利用对数函数的图象进行判断,或先用换底公式进行转化,然后判断. 3.底数和真数都不同的,找中间量. 4.若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 疑难 情境破 疑难 1 比较对数值的大小 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　下列选项正确的是 (　    ) A.log25.3<log24.7 B.log0.27<log0.29 C.log3π>logπ3 D.loga3.1<loga5.2(a>0且a≠1) C 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    对于A,因为y=log2x是(0,+∞)上的增函数,所以log25.3>log24.7,故A错误. 对于B,因为y=log0.2x是(0,+∞)上的减函数,所以log0.27>log0.29,故B错误. 对于C,因为log3π>log33=1,logπ3<logππ=1,所以log3π>logπ3,故C正确. 对于D,当0<a<1时,y=logax是(0,+∞)上的减函数,所以loga3.1>loga5.2;当a>1时,y=logax是(0,+∞) 上的增函数,所以loga3.1<loga5.2,故D错误. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.形如loga f(x)>logab(a>0且a≠1)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确 定,则需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. 2.形如loga f(x)>b(a>0且a≠1)的不等式,先将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),再 借助函数y=logax的单调性求解. 3.形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解. 疑难 2 解对数不等式 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　解下列关于x的不等式: (1)loga(2x-5)>loga(x-1);(2)logx >1. 解析    (1)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4.当0<a<1时,原不等式等价于  解得 <x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0<a<1时,原不等式的解集为 . (2)当x>1时,由logx >logxx,解得0<x< ,无解;当0<x<1时,由logx >logxx,解得x> ,所以 <x<1. 所以原不等式的解集为 . 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.对数型函数的定义域 (1)求对数型函数的定义域,要注意真数必须大于0,如在y=loga f(x)(a>0且a≠1)中应首先保证 f(x)>0; (2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1. 2.求对数型函数值域的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,由函数自变量的范围直接得出函数的值域. (2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(a>0且a≠1,m≠ 0))时,可以用配方法求函数的值域. 疑难 3 与对数函数有关的函数的定义域、值域 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 (3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个非空子集)上的单调性,求出函数的 值域. (4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的值域时,先换元,令u=f(x),利用此函数的图象 和性质求出u的范围,再利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　(1)求函数y= 的定义域; (2)设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)的定义域为 ,求函数f(x)的最小值和最大值,并求出f(x)取 最值时对应的x的值. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得  解得x<-1- 或-1- <x<-3或x≥2. 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞). (2)f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log24+log2x)(log22+log2x)=(2+log2x)(1+log2x). 令t=log2x,因为x∈ ,所以t∈[-2,2]. 令y=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,t∈[-2,2],根据二次函数的性质可得当t=- 时,y=t2+3t+2取得最小值,最 小值为 +3× +2=- ,此时x= = ;当t=2时,y=t2+3t+2取得最大值,最大值为22+3×2 +2=12,此时x=22=4. 故当x= 时, f(x)取得最小值- ;当x=4时, f(x)取得最大值12. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.“定义域优先”原则 　　单调区间是定义域的非空子集.求函数的单调区间时一定要先求其定义域. 2.与对数函数有关的函数的单调性的判断方法 　　形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的复合函数,当a>1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相 同;当0<a<1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反. 　　形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数,一般用复合函数单调性的规律判断,先令t=logax, 然后只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可. 疑难 4 与对数函数有关的函数的单调性 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　(1)函数y=log (-x2+4x-3)的单调递减区间为 (　    ) A.(-∞,2)　　　    B.(2,+∞)　　　    C.(1,2)　　　    D.(2,3) (2)若函数y=log (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是(　    ) A.(-1,1]　　　    B.[-1,1]　　　    C.(0,1]　　　    D.[0,1] A C 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令u=-x2+4x-3.由u=-x2+4x-3>0,得1<x<3,故函数y=log (-x2+4x-3)的定义域为(1,3).因 为函数y=log u是减函数,当x∈(1,2)时,u=-x2+4x-3单调递增,当x∈(2,3)时,u=-x2+4x-3单调递 减,所以y=log (-x2+4x-3)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,所以函数y=log (-x2+4x-3)的 单调递减区间是(1,2).故选C. (2)令u=ax2-4x+12.因为y=log u是(0,+∞)上的减函数,函数y=log (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单 调递增, 所以u=ax2-4x+12在区间[1,2]上单调递减且u>0. 当a=0时,u=-4x+12在[1,2]上单调递减,且u∈[4,8],符合题意; 当a>0时,则有  第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解得0<a≤1; 当a<0时,则有  解得-1<a<0. 综上所述,实数a的取值范围是(-1,1]. 故选A. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$