4.1.2 指数函数的性质与图象（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 知识点 1 指数函数 知识 清单破 4.1.2 指数函数的性质与图象 温馨提示　指数函数解析式的结构特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数; (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1; (3)ax的系数是1. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 指数函数的性质与图象 函数 y=ax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象     第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 奇偶性 非奇非偶函数 定点 图象过定点(0,1) 函数值 的变化 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;当x<0 时,y>1 单调性 增函数 减函数 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数a对图象相对位置的影响: (1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即“底大图高”; (2)在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即“底大图低”. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.函数y=2x+1是指数函数. (　    ) 2.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为(0,+∞).(　    ) 3.函数y=2x+1的图象可以由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到. (　    ) 4.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,若 > ,则a<b. (　    ) ✕ √ ✕ √ 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 指数幂比较大小的类型及方法 (1)底数相同,指数不同:利用指数函数的单调性进行判断; (2)底数不同,指数相同:利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断; (3)底数不同,指数不同:通过中间量来比较,中间量常选用0或1. 注:对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较,可先根据其与特殊值(常选用0或1)的大小比较进 行分组,再比较各组数的大小. 疑难 情境破 疑难 1 比较指数幂的大小 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　下列不等式中成立的是 (　    ) A.1.12.1<1.11.9　　　    B.0.82.1<0.81.9 C.0.82.1>1.11.9　　　    D.1.12.1>1.92.1 B 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    因为y=1.1x在R上是增函数,2.1>1.9,所以1.12.1>1.11.9,故A错误; 因为y=0.8x在R上是减函数,2.1>1.9,所以0.82.1<0.81.9,故B正确; 因为0<0.82.1<1,1.11.9>1,所以0.82.1<1.11.9,故C错误; 在同一平面直角坐标系中作出y=1.9x,y=1.1x的图象,如图,作出直线x=2.1,可知1.92.1>1.12.1,故D 错误.   第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求解; (2)形如af(x)>b的不等式,可将b化成以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求 解; (3)形如ax>bx的不等式,可借助函数y=ax与y=bx(a>0且a≠1,b>0且b≠1)的图象求解; (4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式,可利用换元法,将其转化为不含指数的不等式. 疑难 2 解指数不等式 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　解下列不等式: (1) ≤2; (2) < (a>0且a≠1); (3)4x-6×2x-1-4<0. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵2= ,∴原不等式可化为 ≤ .∵y= 在R上是减函数, ∴3x-1≥-1,解得x≥0, 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数,∴x2-3x+1>x2+6,∴-3x>5,解得x<- ; 当a>1时,函数y=ax在R上是增函数, ∴x2-3x+1<x2+6,∴-3x<5,解得x>- . 综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为 -∞,-  ;当a>1时,原不等式的解集为 . (3)令t=2x,则t>0,原不等式可化为t2-3t-4<0,∴0<t<4,即0<2x<4. ∵y=2x在R上是增函数,∴x<2. 故原不等式的解集是{x|x<2}. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.求与指数函数有关的函数的定义域时,要观察函数是y=af(x)型还是y=f(ax)型. (1)当函数是y=af(x)(a>0且a≠1)型时,由于指数函数y=ax的定义域是R,所以函数y=af(x)的定义域 与f(x)的定义域相同. (2)当函数是y=f(ax)(a>0且a≠1)型时,先令u=ax,然后确定y=f(u)的定义域,即u=ax的值域,由此构 造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,从而得到y=f(ax)的定义域. 2.求与指数函数有关的函数的值域时,重点是要注意指数函数的值域为(0,+∞). (1)求函数y=af(x)(a>0且a≠1)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函 数y=af(x)的值域. (2)求函数y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域,先令u=ax,然后利用函数u=ax的单调性确定u=ax的值域,进 疑难 3 与指数函数有关的函数的定义域、值域 而确定函数y=f(u)的值域,即为y=f(ax)的值域. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求下列函数的定义域和值域: (1)y= ; (2)y=4x-2x+1; (3)y= (a>0且a≠1). 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得1- ≥0,解得x≥0, ∴函数的定义域为[0,+∞). ∵x≥0,∴0< ≤1,∴0≤1- <1, ∴0≤y<1,∴函数的值域为[0,1). (2)函数的定义域为R. y=4x-2x+1=(2x)2-2x+1= + . ∵2x>0,∴当2x= ,即x=-1时,函数取得最小值 .∴函数的值域为 . (3)由ax+1>0恒成立,得函数的定义域为R. 设ax=t,则t∈(0,+∞),y= =1- . 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 ∵t>0,∴t+1>1,∴0< <1,∴-2< <0, ∴-1<1- <1.∴函数的值域为(-1,1). 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法 　　当a>1时,函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0<a<1时, 函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间. 2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法 　　通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的 单调区间,再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间. 疑难 4 与指数函数有关的函数的单调性 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例　求下列函数的单调区间: (1)y= ;(2)y= -8· +17. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令u=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为 增函数,又y= 在R上为减函数,∴函数y= 的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1, +∞). (2)设u= ,则y=u2-8u+17(u>0). 易知y=u2-8u+17在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增. 令 ≤4,得x≥-2,∴y= -8· +17的单调增区间是[-2,+∞). 令 ≥4,得x≤-2,∴y= -8· +17的单调减区间是(-∞,-2]. ∴函数y= -8· +17的单调增区间是[-2,+∞),单调减区间是(-∞,-2]. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$