4.1.1 实数指数幂及其运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教B版2019）

1.n次方根的定义 　　一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根. 2.n次方根的表示(n>1,且n∈N+) 4.1 指数与指数函数 知识点 1 根式 知识 清单破 4.1.1 实数指数幂及其运算 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0 x=  x=±  x=0 不存在 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 3.根式的定义 　　当 有意义的时候, 称为根式,n称为根指数,a称为被开方数. 4.根式的性质(n>1,且n∈N+) (1)( )n=a. (2)当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 　 1.正分数指数幂:一般地,如果n是正整数,那么:当 有意义时,规定 = ;当 没有意义时, 称 没有意义. 对于一般的正分数 ,也可作类似规定,即 =( )m=  m,n∈N+,且 为既约分数 . 2.负分数指数幂:负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即a>0时,规定 = (n,m∈N+). 规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 知识点 2 分数指数幂 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 1.asat=as+t(a>0,s,t∈Q). 2.(as)t=ast(a>0,s,t∈Q). 3.(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q). 知识点 3 有理数指数幂的运算法则 一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的实数.因此,当a>0,t为任意实数时,可以认为实 数指数幂at都有意义.有理数指数幂的运算法则同样适用于实数指数幂. 知识点 4 实数指数幂 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.任意实数都有两个偶数次方根,它们互为相反数. (　    ) 提示 ✕ 　负数没有偶数次方根,0的偶数次方根为0. 2.( )n=-2. (　    ) 3.0的任意次方根都为0. (　    ) ✕ √ 4.分数指数幂 是 个a相乘. (　    ) 提示 ✕ 　分数指数幂 只是根式的一种写法. 5. = . (　    ) 提示 ✕      =  第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 疑难 情境破 疑难 1 根式与分数指数幂的化简、求值 讲解分析 1.利用根式的性质进行化简、求值的注意点 (1)分清根式为奇数次根式还是偶数次根式. (2)注意正确区分 与( )n两式. 2.分数指数幂运算的原则与技巧 (1)将负分数指数幂化为正分数指数幂的倒数. (2)底数是小数时,先将其化成分数;底数是带分数时,先将其化成假分数,然后要尽可能用幂的 形式表示,便于利用指数幂的运算法则进行运算. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 计算下列各式的值. (1) + ; (2) + -160.75+ ×( )-2; (3) × (a>0,b>0). 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) + =1+ + -1=2 . (2)原式= + -(24 + × =- + -8+2=-3. (3)原式= × × × × = a0b0= . 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 讲解分析 　　将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代换法”求出代数式的值. “整体代换法”是数学中变形与计算常用的方法,分析观察条件与结论中代数式的结构特 点,灵活运用恒等式是关键.常用的变形公式有:①a±2  +b=( ± )2;②( + )·( - )=a- b;③ + =( + )(a-  +b);④ - =( - )(a+  +b). 疑难 2 指数幂的条件求值问题 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 典例 　已知 + = ,求下列各式的值: (1)a2+a-2;(2) . 解析    (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7,所以a+a-1=5.将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=2 5,故a2+a-2=23. (2)由(1)得a+a-1=5. 因为 - =( )3-( )3, 所以原式=  =a+1+a-1=5+1=6. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板    解决条件求值问题的基本步骤:(1)找条件式和所求式之间的关系;(2)化简;(3)代 值运算.求值过程中要注意平方差公式、立方差公式等的灵活应用. 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 第1讲　描述运动的基本概念 $$