2025年宁夏回族自治区银川市第十八中学中考数学二模试卷

2025年宁夏银川十八中中考数学二模试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（　　） A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2） 2．（3分）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝ 4．（3分）一种药品原价每盒100元，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 6．（3分）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OM＝AB 7．（3分）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程2x﹣y＝﹣7的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（3分）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：a+2ab+ab2＝　 　 ． 10．（3分）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 　 　 ． 11．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点（m，n）在第　 　 象限． 12．（3分）如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为　 　 ． 13．（3分）若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是　 　 ． 14．（3分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　 cm． 15．（3分）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为 　 　 （结果保留π）． 16．（3分）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 　 　 米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：） 一、计算或解答（17-22题，每题6分；23，24题每题8分；25，26题，每题10分） 17．（6分）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0． 18．（6分）先化简，再从﹣2，0，1中选取一个适合的数代入求值． 19．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点B作AC的垂线； （2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线． 20．（6分）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量 供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 b 乙 m a 76 则m＝　 　 ，a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，　 　 供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果．超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 　 ． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 22．（6分）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． （1）求该滑雪场的高度h； （2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 23．（8分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 … 身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 24．（8分）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF． （1）求证：∠BAF＝∠CDB； （2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长． 25．（10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 26．（10分）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 　 　 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 　 　 ． （2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为 　 　 ． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF＝OC，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣） 2025年宁夏银川十八中中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A B D B D 一、选择题（每题3分，共24分） 1．（3分）根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（　　） A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2） 【分析】有理数加法法则： 1、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加． 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． 3、一个数同0相加，仍得这个数． 【解答】根据有理数加法法则第2条：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 2+（﹣3） ＝﹣（3﹣2） 故答案为D． 【点评】本题考查有理数加法法则，熟练法则非常重要． 2．（3分）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【分析】根据题意列式计算出S的值，然后利用夹逼法估算其大小即可． 【解答】解：∵矩形相邻两边长分别为、， ∴S＝×＝， ∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， 即S在3和4之间， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3 C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝ 【分析】根据单项式乘单项式的法则、分式的乘除法法则、整式的除法法则以及负整数指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：A、2a3•a2＝2a5，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 【点评】本题考查单项式乘单项式、分式的乘除法、整式的除法以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（3分）一种药品原价每盒100元，经过两次降价后每盒64元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　） A．20% B．22% C．25% D．28% 【分析】依据题意，设每次降价的百分率为x，利用该药品经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设每次降价的百分率为x， ∴100（1﹣x）2＝64． ∴x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（3分）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则y1，y2，0的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2 【分析】根据b2﹣4ac＝0求出m的值，再根据反比例函数的性质即可求出大小． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，解得m＝4， 将m＝4代入得反比例函数为y＝， 根据反比例函数的性质，可得点A和点B在第三象限， 当x1＜x2＜0时，y2＜y1＜0， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和根的判别式，掌握以上性质是解题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　） A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OM＝AB 【分析】由作图过程可知，∠AOM＝∠B，则OM∥BC，根据平行线的性质可得∠OMC+∠C＝180°．根据O是边AB的中点，OM∥BC，可得点M为AC的中点，即AM＝CM，进而可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，∠AOM＝∠B， 故A选项正确，不符合题意； ∵∠AOM＝∠B， ∴OM∥BC， ∴∠OMC+∠C＝180°， 故B选项正确，不符合题意； ∵O是边AB的中点，OM∥BC， ∴点M为AC的中点， ∴AM＝CM， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出OM＝AB， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．（3分）点P（x，y）在直线y＝﹣x+4上，坐标（x，y）是二元一次方程2x﹣y＝﹣7的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】依据题意，由一次函数与方程的关系，列方程组求解． 【解答】解：由题意，联立方程组， ∴． ∴P（﹣1，5）． ∴P在第二象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数与方程的关系，理解一次函数与方程组的关系是解题的关键． 8．（3分）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）分解因式：a+2ab+ab2＝　a（b+1）2　 ． 【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（1+2b+b2）＝a（b+1）2， 故答案为：a（b+1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．（3分）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是 　　 ． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 11．（3分）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点（m，n）在第　四　 象限． 【分析】先根据题意得出m、n的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式， ∴2m＝4，2﹣n＝3， 解得m＝2，n＝﹣1， ∴点（m，n）在第四象限． 故答案为：四． 【点评】本题考查的是点的坐标，同类项，先根据题意得出m、n的值是解题的关键． 12．（3分）如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为　120°　 ． 【分析】先根据正六边形的内角和可得∠A＝∠F＝120°，再根据四边形的内角和可得∠AMN+∠FNM＝120°，然后根据对顶角相等可得∠AMN＝α，∠FNM＝β，由此即可得． 【解答】解：， ∵在四边形AMNF中，∠AMN+∠FNM+∠A+∠F＝360°， ∴∠AMN+∠FNM＝360°﹣（∠A+∠F）＝120°， 由对顶角相等得：∠AMN＝α，∠FNM＝β， ∴α+β＝∠AMN+∠FNM＝120°， 故答案为：120°． 【点评】本题考查了正多边形的内角和、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键． 13．（3分）若2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是　m＜1　 ． 【分析】根据题意得到2m﹣1＜m＜4﹣m，然后求解即可． 【解答】解：根据题意得2m﹣1，m，4﹣m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列， ∴2m﹣1＜m＜4﹣m， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】此题综合考查了数轴的有关内容，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 14．（3分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　　 cm． 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD＝＝，因此四边形ABCD的周长为：＝cm． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵两张纸条宽度均为3cm， ∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm， ∴∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴△ADF≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形， 在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm， ∴AD＝＝， 四边形ABCD的周长为：＝cm． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识． 15．（3分）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为 　　 （结果保留π）． 【分析】由对折可知，∠EOM＝∠FOM，过点E作OM的垂线，进而可求出∠EOM的度数，则可得出∠EOF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：由对折可知， 四边形AOMD是矩形，∠EOM＝∠FOM， 则OM＝AD，DM＝． 过点E作OM的垂线，垂足为P， 则EP＝DM＝． 因为OE＝OM＝AD，CD＝AD， 所以EP＝． 在Rt△EOP中， sin∠EOP＝＝， 所以∠EOP＝30°， 则∠EOF＝30°×2＝60°， 所以的长度为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 16．（3分）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 　28　 米？（点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：） 【分析】由题意，在Rt△AFD中求出DF，在Rt△CDE中表示出DE，利用DF+ED＝80，得到方程，解方程得到结果． 【解答】解：如图，延长BC交过D点的水平线于E点，过A点作AF⊥ED，交ED的延长线于F点， ∵在Rt△AFD中，∠AFD＝90°，∠ADF＝30°，AF＝40米， ∴DF＝＝＝40（米）， 设BC＝x（米）， 由CE＝40﹣x（米）， ∵在Rt△CDE中，∠CED＝90°，∠EDC＝45°， ∴DE＝CE＝（40﹣x）米， ∵AB＝80米， ∴DF+ED＝80， ∴40+40﹣x＝80， x＝40﹣40≈28（米）， 即BC＝28米， ∴楼BC的高度是28米． 故答案为：28． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 一、计算或解答（17-22题，每题6分；23，24题每题8分；25，26题，每题10分） 17．（6分）计算：﹣（﹣）﹣3+tan60°+|﹣2|+（π﹣2024）0． 【分析】根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂的性质，进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝11． 【点评】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质和零指数幂的性质． 18．（6分）先化简，再从﹣2，0，1中选取一个适合的数代入求值． 【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定a的值，代入计算得到答案． 【解答】解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 由题意得：a≠1、﹣2， 当a＝0时，原式＝＝﹣1． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19．（6分）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点B作AC的垂线； （2）如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线． 【分析】（1）作直线BD，根据菱形的性质可知，直线BD即为所求． （2）结合菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF，则直线BF即为所求． 【解答】解：（1）如图1，作直线BD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， 则直线BD即为所求． （2）如图2，连接CE并延长，交DA的延长线于点F，作直线BF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DF∥BC， ∴∠AFE＝∠BCE，∠FAE＝∠CBE， ∵点E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， ∴△AEF≌△BEC（AAS）， ∴AF＝BC， ∴四边形ACBF为平行四边形， ∴BF∥AC， 则直线BF即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（6分）某超市打算购进一批苹果．现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量 供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 b 乙 m a 76 则m＝　80　 ，a＝　79.5　 ，b＝　83　 ． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，　甲　 供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径82mm（含82mm）以上的苹果为大果．超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【分析】（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径82mm（含82mm）以上所占比例即可． 【解答】解：（1）由题意得：m＝（75+76×3+79+80+81+83+86+88）÷10＝80； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数a＝＝79.5； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数b＝83， 故答案为：80，79.5，83； （2）甲的方差为：[（76﹣80）2+（77﹣80）2+（78﹣80）2+（79﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+3×（83﹣80）2]＝5.8； 乙的方差为[（75﹣80）2+3×（76﹣80）2+（79﹣80）2+（80﹣80）2+（81﹣80）2+（83﹣80）2+（86﹣80）2+（88﹣80）2]＝18.4， 因为5.8＜18.4， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲； （3） 答：大果约有600个． 【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． 21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①或②　 ． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可． 【解答】解：（1）选择①或②，证明如下： 选择①，∵∠B＝∠AED， ∴BC∥DE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②，∵AE＝BE，AE＝CD， ∴BE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 故答案为：①或②； （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴AE＝＝＝6， 即线段AE的长为6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理得知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 22．（6分）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m． （1）求该滑雪场的高度h； （2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量． 【分析】（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，可得AF＝AB＝135（m），由BC的坡度i＝1：2.4，设BE＝t m，则CE＝2.4t m，可得t2+（2.4t）2＝2602，即可得h＝AF+BE＝235（m）； （2）设甲种设备每小时的造雪量是x m3，可得：＝，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【解答】解：（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图： 根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°， ∴AF＝AB＝135（m）， ∵BC的坡度i＝1：2.4， ∴BE：CE＝1：2.4， 设BE＝t m，则CE＝2.4t m， ∵BE2+CE2＝BC2， ∴t2+（2.4t）2＝2602， 解得t＝100（m），（负值已舍去）， ∴h＝AF+BE＝235（m）， 答：该滑雪场的高度h为235m； （2）设甲种设备每小时的造雪量是x m3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3， 根据题意得：＝， 解得x＝15， 经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意， ∴x+35＝50， 答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3． 【点评】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程． 23．（8分）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长x（cm） … 23 24 25 26 27 28 … 身高y（cm） … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图1中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据，从y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【分析】（1）根据表格数据在直角坐标系中描点即可； （2）先排除反比例函数，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）将x＝25.8代入一次函数解析式求出y值即可． 【解答】解：（1）描点如图示： （2）∵y＝（k≠0）转化为k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠•••， ∴y与x的函数不可能是y＝， 故选一次函数y＝ax+b（a≠0），将点（23，156）、（24，163）代入解析式得： ，解得， ∴一次函数解析式为y＝7x﹣5． （3）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）． 答：脚长约为25.8cm，估计这个人的身高为175.6cm． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 24．（8分）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF． （1）求证：∠BAF＝∠CDB； （2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长． 【分析】（1）先根据切线的性质得到∠BAC＝∠BAD＝90°，再根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠BAF＝∠CDB； （2）先利用勾股定理计算出BD＝15，BC＝12，再证明△BAF∽△BDA，利用相似比求出BF＝，接着证明△BEF∽△BDC，然后利用相似比求出EF的长． 【解答】（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥CD， ∴∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵∠BAF+∠ABD＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°， ∴∠BAF＝∠CDB； （2）解：在Rt△ABD中， ∵AB＝2r＝12，AD＝9， ∴BD＝＝15， 在Rt△ABC中， ∵AB＝12，AC＝12， ∴BC＝＝12， ∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD， ∴△BAF∽△BDA， ∴BF：BA＝BA：BD，即BF：12＝12：15， 解得BF＝， ∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB， ∴∠BEF＝∠CDB， ∵∠EBF＝∠DBC， ∴△BEF∽△BDC， ∴EF：CD＝BF：BC，即EF：21＝：12， 解得EF＝， 即EF的长为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 25．（10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）， ∴； （2）当x＝0时，， ∴C（0，2）， 设直线BC为y＝kx+2， ∴3k+2＝0， 解得， ∴直线BC为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．（10分）综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 　4　 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 　4　 ． （2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为 　S1＝S　 ． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF＝OC，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2﹣） 【分析】操作发现：（1）由正方形的性质及面积公式可得出答案； （2）过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．证出△OGE≌△OHF（ASA），得出S△OGE＝S△OHF，则可得出结论； 类比探究：证明△EOB≌△FOC（ASA），得出BE＝CF，由等腰直角三角形的性质可得出结论； 拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．证明△OGM≌△OHN（SAS），得出S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，求出∠GOM＝＝15°，由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，求出GM的长，求出三角形OGM的面积，则可得出答案． 【解答】解：操作发现：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC＝90°， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为S△BOC＝＝＝4； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ∴∠OMC＝∠MON＝∠BCD＝90°， ∴四边形MONC是矩形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，OA＝OC， ∴∠MOC＝∠MCO， ∴OM＝MC， ∴四边形OMCN是正方形， ∴OM＝AD＝2， ∴四边形OMCN的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OG＝OH， ∵∠OGC＝∠OHC＝∠C＝90°， ∴四边形OGCH是矩形， ∵OG＝OH， ∴四边形OGCH是正方形， ∴∠GOH＝∠EOF＝90°， ∴∠EOG＝∠FOH， ∵∠OGE＝∠OHF＝90°， ∴△OGE≌△OHF（ASA）， ∴S△OGE＝S△OHF， ∴S四边形OECF＝S正方形OGCH＝S正方形ABCD， ∴S1＝S． 故答案为：S1＝S； 类比探究： 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠BCD＝∠OCD＝45°， ∵∠FOE＝∠BOC， ∴∠EOB＝∠FOC， ∴△EOB≌△FOC（ASA）， ∴BE＝CF， ∴BE+DF＝CF+DF＝CD， ∵CD＝OC， ∴BE+DF＝OC， 拓展延伸： 过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H． 同（2）可知四边形OGBH是正方形， ∴BG＝BH，OG＝OH， ∵BM＝BN， ∴GM＝NH， ∵∠OGM＝∠OHN＝90°， ∴△OGM≌△OHN（SAS）， ∴S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH， ∵∠MON＝60°， ∴∠GOM＝＝15°， 由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4， ∴tan∠GOM＝tan15°＝＝2﹣， ∴GM＝2×＝4﹣2， ∴＝＝4﹣2， ∴重叠部分的面积＝S四边形OMBN＝S正方形OGBH﹣2S△OGM ＝4﹣2×（4﹣2） ＝4﹣4． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$