22.1.3 二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质 （第2课时）课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 22.1.3二次函数 的图像和性质---第2课时 教学目标 1.能用描点法画二次函数y=a（x-h）2的图象，掌握它的图像特征及应用，并会简单的应用.（重、难点） 2. 通过解析式、函数对应表和图像三个角度比较y=ax²与 y=a（x-h）2之间的联系.（重点） 回顾旧知 a,c的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 函数的增减性 向上 向下 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） （0，k） （0，k） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 1、说一说：二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 二次函数y=ax2+k(a ≠ 0)的图象可以由y=ax2(a ≠ 0) 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移- k个单位长度得到. 思考：函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到呢？本节可我们一起来探究一下。 2、说一说：二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a≠0)的图象有何关系？ 回顾旧知 探究一：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质(a＞0) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 合作探究 x y −4 −3 −2 −1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 合作探究 合作探究 思考1：抛物线 ， 的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （-2，0） （2，0） x=-2 x=2 小组探究：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？（就以上5方面进行阐述） 最值 增减性 当x＜-2时，y随x的增大而减小；x＞-2时，y随x的增大而增大 最小值为0 最小值为0 当x＜2时，y随x的增大而减小；x＞2时，y随x的增大而增大 合作探究 探究二：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质(a ＜ 0) 在同一坐标系中画出二次函数 的图象． x ··· −3 −2 −1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· −2 −4.5 −2 0 0 −2 −2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 −4.5 O x y −8 −8 合作探究 思考2：抛物线 的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向下 向下 （-1，0） （1，0） x=-1 x=1 小组探究：通过上述例子，函数y=ax2+k(a ＜ 0)的性质是什么？（就以上5方面进行阐述） 最值 增减性 最大值为0 最大值为0 当x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小 当x＜1时，y随x的增大而增大；x＞1时，y随x的增大而减小 合作探究 归纳总结：二次函数y=a（x-h）2（a ≠ 0）的性质 a,h的符号 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 函数的增减性 向上 向下 直线x=h （h，0） 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. x=h时，y最大值=0 x y o x y o x y o x y o x=h时，y最小值=0 合作探究 10 1.填空： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y =2（x-1）2 y = 3（x-2）2 y = -4（x+3）2 向上 向上 向下 （1，0） (2，0) (-3，0) 有最高点 有最低点 有最低点 x=1 x=2 x=-3 小试牛刀 2、如图是二次函数 y＝ (x﹣1)2的图像： （2）当x取何值时，y随x的增大而增大； 对称轴为直线x=1. 顶点坐标为(1,0). 当x＞1时，y随x的增大而增大. （1）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）若3≤x≤5，求y的取值范围； ∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x=3时，y=2;当x=5时，y=8, ∴当3≤x≤5时，y的取值范围为2≤y≤8. 小试牛刀 （4）若抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1 ＞ x2 ＞ 1，试比较y1与y2的大小． ∵b ＜ 1，∴ b-1＜b＜1， 变式：若点A(b，y1)，B(b-1，y2)在抛物线的图象上，且b ＜ 1，试比较y1，y2的大小，并说明理由． ∵当x ＞ 1时，y随x的增大而增大， ∴当x1 ＞ x2 ＞ 1时，y1 ＞ y2. ∵当x ＜ 1时，y随x的增大而减少， ∴y1 ＜ y2. 小试牛刀 探究三：二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的图像之间的联系 想一想抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 从形的角度探究 向右平移 1个单位 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 合作探究 函数对应值表 x … −2 −1 0 1 … … … -2 -2 0 0 从数的角度探究 -2 0 合作探究 二次函数y=a（x-h）2的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 归纳总结：二次函数y=a（x-h）2（a≠0）与y=ax2 的图象的关系： 思考3：抛物线y=a(x-h)2 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？ a决定开口方向和大小；h决定对称轴. 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 y=ax2 合作探究 1、抛物线y=2x2向右平移3个单位后的顶点坐标是（ 　） A．（-3，-3） B．（3，0） C．（0，0） D．（-3，0） B 2、将二次函数y＝−3x2的图象平移后，可得到二次函数y＝−3(x- 1)2 的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 D 小试牛刀 3.将函数y＝x2的图象向_ _____平行移动_____个单位，可使它经过点（-2，9）（仅左右平移）． 左或右 5或1 4.把抛物线y=−x2沿着x轴方向平移2个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 。 y=−(x+2)2或y=−(x−2)2 知识点拨：题目中没有明确抛物线的平移方向，所以分向左、向右平移两种情况讨论。 知识点拨：可以通过待定系数法求解，设平移后的函数解析式为y＝（x+h）2 ，将点（-2,9）代入求h，从而得出答案。 小试牛刀 1.如果二次函数y＝a(x﹣3)2(a≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是下降的，那么a的取值范围是_________． 2 .若（− ，y1）,（− ，y2）,（ ，y3）为二次函数 y=(x−2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为 ____________. y1 ＞y2 ＞ y3 a＜0 知识点拨：a决定抛物线的开口方向，通过画图可知该抛物线的开口方向向下，故a ＜0。 知识点拨：先确定函数的对称轴和开口方向，然后判断哪个点的水平距离离对称轴远哪个点的纵坐标就大。 综合演练 3、抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(-1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x−3)2， 把x＝−1，y＝4代入，得4＝a(−1−3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x−3)2. 综合演练 4、已知二次函数y＝(x﹣h)2（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，求h的值. 解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h 时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜−1≤x≤3，x＝−1时，y取得最 小值4， 可得(−1−h)2＝4， 解得h＝﹣3或h＝1（舍）； 能力提升 综上，h的值为﹣3或5. ③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去． ②若−1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4， 可得：(3−h)2＝4， 解得：h＝5或h＝1（舍）； 能力提升 课堂总结 本节课你有哪些收获？ 1、说一说二次函数y＝a（x-h）2的图象特征和性质； 2、说一说二次函数y＝a（x-h）2与y＝ax2之间的联系。 谢谢 汇报人：WPS $$