24.1.2 垂直于弦的直径课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

垂直于弦的直径 人教版数学九年级上册24.1.2 01 02 03 04 教学目标 经历探究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。 探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。 圆的轴对称性和垂径定理 探索并证明垂径定理 利用垂径定理解决实际问题 教学重、难点 理解圆的对称性 根据垂径定理进行相关的计算和证明 课堂导入 　 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)。 知识讲解1 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴。圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。 知识讲解2 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ （1）圆是轴对称图形，它的对称轴是CD O D C B A E （2）AE=BE，AC=BC,AD=BD ( ( ( ( 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的常见基本图形： A B O C D E A B O E D A B O E A B O E C 上述五个条件中的任何两个条件作题设 都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 垂径定理的条件与结论， 即一条直线若满足： ①过圆心(CD是直径) ②垂直于弦(CD⊥AB) 则可推出：③平分弦(AM=BM) ④平分弦所对的优弧(AC=BC) ⑤平分弦所对的劣弧(AD=BD) · O C D M A B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论 运用格式： · O C D A B M ∵ CD是直径，AM=BM ∴ CD⊥AB AC=BC、 AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。 思考 当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB? O A B C D E 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 为什么？ 圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直. 10 想一想 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. C O A B D E C O A B D 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 过圆心 不是直径 11 延伸 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ④平分弦所对的弧, ①②→③④⑤ ①③→②④⑤ 还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？ 12 问题解决： 37m 7.23m A B O C D 设AB所在的圆的圆心为O ，连接OA ，半径为R. ⌒ 根据垂径定理，D是AB的中点， C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ 解：如图，用AB表示主桥拱， ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线 OC，D为垂足，OC与AB交于点C. R 18.5 7.23 R－7.23 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 问题解决： 18.5 A B O C D 7.23 R－7.23 R 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R. ⌒ ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ⌒ ⌒ ∵ AB=37m，CD=7.23m 解得R≈27.3（m） 答：赵州桥的主拱半径约为27.3m. 在 Rt △ OAD中，由勾股定理得 ∴ R2=18.52+(R－7.23)2 OA2=AD2+OD2 OD=OC－CD=R－7.23 ∴ AD= AB= ×37=18.5m 1 2 1 2 课堂小结： 一：你学习了关于圆的哪些数学知识？ 二：你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？ 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理： 2.圆心到弦的距离、半径、半弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形解决. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 1.圆的轴对称性： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.推论： D · O A B C E 1.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连接半径等重要的辅助线. 3.半径、弦长、弦心距、弓形高中，知二求二. 新知应用 解得　　　. 即 因此，⊙O的半径为5cm. 在Rt△OEA中，由勾股定理，得 2 在直角三角形OEA中根据勾股定理列方程，OA方=OE方+AE方，即r方=（r-2）的平方+4的平方，解得r为5.在这道题目中，我们充分运用了方程思想解决问题. 16 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 思路1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD （证明△OAD≌△OBC）． 新知应用 分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ 大家都有想到全等，所以我们需要构造这两条线段所在的三角形，同圆半径都相等，所以连接OA，OB,OC,OD,从而根据ASA或AAS证明△OAC≌△OBD即可证明AC=BD.或证明△OAD≌△OBC也可. 此外，还有其他的证明方法吗？ 17 例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD. 思路2：连接OA，OB，OC，OD． 过点O作OE⊥AB于点E， 根据等腰三角形的性质． 还有更简单的证明方法吗？ 新知应用 分析：在我们刚才连接半径后会发现△OAB和△OCD都是等腰三角形，我们会想到等腰三角形三线合一的性质，所以过点O作OE⊥AB于点E,就能得到AE=BE,CE=DE,再根据等式性质就能得到了. 此外，还有更简单的证明方法吗？ 18 (4)若 ，CD是直径, 则 、 、 . (1)若CD⊥AB, CD是直径, 则 、 、 . (2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 . (3)若CD⊥AB, AM=MB, 则 、 、 . 1.如图所示: 练习 ●O A B C D └ M AM=BM ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD CD是直径 ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ AC=BC CD⊥AB AM=BM ⌒ ⌒ AD=BD 2． 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行． （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧． （ ） √    √ 判断 （6）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( ) （7）不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( ) （8）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( ) （9）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） √ × × √ $$