10.4 三元一次方程组的解法 暑假分层练习2024-2025学年人教版（2024）七年级数学下册

人教版（2024）七年级下册 10.4 三元一次方程组的解法 暑假分层练习 一、三元一次方程（或组）的解法 1.观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 2.解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A.①+③，①×2﹣② B.①+③，③×2+② C.②﹣①，②﹣③ D.①﹣②，①×2﹣③ 3.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取( ) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 4.已知－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝____，y＝____，z＝____. 5.方程组的解为 　     　． 6.解下列 三元一次方程组. （1） （2） 7.解下列 三元一次方程组. （1） （2） （3） （4） 二、利用三元一次方程（或组）的解求代数式或参数的值 1.已知方程组的解满足x＋y＝3，则z的值为（    ） A.10 B.8 C.2 D.－8 2.已知是方程组的解，则的值是（   ） A.3 B.2 C.1 D.无法确定 3.已知，则的相反数是（    ） A. B. C. D. 4.已知 ，则的值是        ． 5.已知x、y、z满足，则的值为      . 6.代数式ax2＋bx＋c中，当x＝1时的值是0，在x＝2时的值是3，在x＝3时的值是28，试求出这个代数式． 7.已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28. （1）求a，b，c的值； （2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？ 三、利用两个三元一次方程求代数式或参数的值 1.实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x，z之间具有哪个等量关系（　　） A.3x+7z＝14 B.3x+5z＝14 C.3x+7z＝6 D.3x+5z＝6 2.若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（　　） A.1 B.﹣2 C.﹣3 D.4 3.用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A.m﹣2t＝﹣1 B.m+2t＝1 C.2m﹣t＝1 D.2t+m＝﹣1 4.若2a+5b+4c＝0，3a+b﹣7c＝0，则a+b﹣c的值是 　 　． 5.若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值        ． 6.求方程组的自然数解： 7.阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 四、利用两个三元一次方程解决实际问题 1.一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有(　　) A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 2.已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　） A.25 B.24 C.33 D.34 3.有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A.10元 B.9元 C.8元 D.6元 4.在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未能解出的普通题要扣去1分．某人解出了10题，一共得了14分．则该次数学竞赛中一共有____道普通题． 5.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 　   　元． 6.三月植树好时节．星河小学原计划栽杨树、柳树和樟树共1500棵．植树节开始后，当栽了杨树棵数的和30棵柳树后，又临时运来了15棵樟树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等．原计划要栽三种树各多少棵？ 7.现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？ 五、列三元一次方程组解决实际问题 1.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的△ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是S＝7，N＝3，L＝10．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N＝82，L＝38时，S的值为（　　） A.44 B.43 C.100 D.99 2.购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A.元 B.元 C.元 D.元 3.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A.325 B.217 C.433 D.541 4.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排________名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 5.A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过            分钟，追上． 6.某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 7.一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 人教版（2024）七年级下册 10.4 三元一次方程组的解法 暑假分层练习（参考答案） 一、三元一次方程（或组）的解法 1.观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法是（   ） A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 【答案】B 【解析】解： 方程可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 2.解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　） A.①+③，①×2﹣② B.①+③，③×2+② C.②﹣①，②﹣③ D.①﹣②，①×2﹣③ 【答案】C 【解析】解：解三元一次方程组如果消掉未知数z， 则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③． 3.解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取( ) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 【答案】B 【解析】 解：方程①＋②可直接消去未知数y，②－③也可直接消去y，那么即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，故选B. 4.已知－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝____，y＝____，z＝____. 【答案】 6，8，3 【解析】 解：根据题意得①＋②，得2y＝16，即y＝8，②＋③，得2z＝6，即z＝3，把y＝8，z＝3代入①，得x＝6，则方程组的解为故答案为6；8；3. 5.方程组的解为 　     　． 【答案】 【解析】解： ①+②+③得2x+2y+2z＝10，即x+y+z＝5，④ ④﹣①得z＝3； ④﹣②得x＝2； ④﹣③得y＝0； ∴方程组的解为 6.解下列 三元一次方程组. （1） （2） 【答案】解： （1） 由①得 把y=1.5x，z=2x代入②得2x-1.5x+4x=27， 解得x=6， 把x=6代入y=1.5x，z=2x得y=9，z=12. 所以这个三元一次方程组的解为 （2） ②×2得6x-4y+10z=22，④ ①+④得8x+13z=31，⑤ ②×3得9x-6y+15z=33，⑥ ⑥-③得4x+8z=20，⑦ 化简⑦得x+2z=5，⑧ 由⑤和⑧组成方程组得 解这个方程组得 把x=-1，z=3代入②得-3-2y+15=11， 解得y=， 因此，这个三元一次方程组的解为 7.解下列 三元一次方程组. （1） （2） （3） （4） 【答案】解： （1） ②×2得2y-2z=6，④ ④+①得x-2z=-3，⑤ 由③和⑤组成二元一次方程组得 解这个方程组得 把z=12.5代入②得y-12.5=3，解得y=15.5 所以这个三元一次方程组的解为 （2） ②×2得6x+2y+30z=36，④ ④-③得5x+27z=34，⑤ 由①和⑤组成二元一次方程组得 解这个方程组得 把x=5，z=代入②得15+y+5=18， 解得y=-2， 因此，这个三元一次方程组的解为 （3） ①+②+③得2x+2y+2z=12， 化简得x+y+z=6，④ ④-①得z=3， ④-②得x=2， ④-③得y=1， 因此，这个三元一次方程组的解为 （4） ①+②得5x+2y=16，④ ③+②得3x+4y=18，⑤ 由④和⑤组成方程组得 解这个方程组得 把x=2，y=代入③得2+3+z=6， 解得z=1， 因此，这个三元一次方程组的解为 二、利用三元一次方程（或组）的解求代数式或参数的值 1.已知方程组的解满足x＋y＝3，则z的值为（    ） A.10 B.8 C.2 D.－8 【答案】B 【解析】由题意，得 2×①－②，得y＝ ②－③，得x＝－2 将x＝－2代入③，得y＝5， 则＝5 解得z＝8 2.已知是方程组的解，则的值是（   ） A.3 B.2 C.1 D.无法确定 【答案】A 【解析】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 3.已知，则的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：在中， ∵，，，， ∴可得：， 解得：， ∴， ∴的相反数是． 故选：B 4.已知 ，则的值是        ． 【答案】 【解析】解： 得 ∴ 故答案为：． 5.已知x、y、z满足，则的值为      . 【答案】 【解析】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 6.代数式ax2＋bx＋c中，当x＝1时的值是0，在x＝2时的值是3，在x＝3时的值是28，试求出这个代数式． 【答案】 解：由题意，得 解得 ∴这个代数式为11x2－30x＋19. 7.已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28. （1）求a，b，c的值； （2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？ 【答案】解：（1）由题意得 ②﹣①，得3a+b＝3，④ ③﹣②，得5a﹣5b＝25，即a﹣b＝5，⑤ ④与⑤组成方程组得 解得 把代入①，得c＝1， ∴a，b，c的值分别是2，﹣3，1. （2）由（1）知a，b，c的值分别是2，﹣3，1， ∴y＝2x2﹣3x+1， 当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝2×4+6+1＝15． 三、利用两个三元一次方程求代数式或参数的值 1.实数x，y，z满足2x+y+3z＝5，x+2y﹣z＝﹣4，则x，z之间具有哪个等量关系（　　） A.3x+7z＝14 B.3x+5z＝14 C.3x+7z＝6 D.3x+5z＝6 【答案】A 【解析】解： ①×2﹣②得3x+7z＝14． 2.若方程组的解也是3x﹣ay＝8的一个解，则a的值为（　　） A.1 B.﹣2 C.﹣3 D.4 【答案】B 【解析】解：解方程组 得 代入3x﹣ay＝8，得6﹣a＝8， 解得a＝﹣2． 3.用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（　　） A.m﹣2t＝﹣1 B.m+2t＝1 C.2m﹣t＝1 D.2t+m＝﹣1 【答案】D 【解析】解：由题意得 ①×2+②得4x+y+2tz+mz＝8， ∵4x+y﹣z为定值， ∴2t+m＝﹣1． 4.若2a+5b+4c＝0，3a+b﹣7c＝0，则a+b﹣c的值是 　 　． 【答案】0 【解析】解：由 解得 ∴a+b﹣c＝3c﹣2c﹣c＝0． 5.若对于有理数x和y，定义一种运算“”，，其中a、b、c为常数．已知，求5△4的值        ． 【答案】6 【解析】解：∵， ，可得：， ， ， 故答案为：6． 6.求方程组的自然数解： 【答案】 解：②－①×6，得15x＋2y－3z＝0④， 由①，得z＝100－x－y，将z代入④，得18x＋5y＝300，∵x，y，z均为自然数， ∴或或 即原方程的自然数解是或或 7.阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 四、利用两个三元一次方程解决实际问题 1.一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有(　　) A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 【答案】B 【解析】 解：设宾馆有客房：二人间x间，三人间y间，四人间z间，根据题意， 得， 解得y＋2z＝8，y＝8－2z，∵x，y，z是正整数，当z＝1时，y＝6，x＝1；当z＝2时，y＝4，x＝2；当z＝3时，y＝2，x＝3；当z＝4时，y＝0，x＝4；(不符合题意，舍去)∴租房方案有3种．故选B. 2.已知一个四位数的十位数字加1等于它的个位数字，个位数字加1等于它的百位数字，把这个四位数倒序排列所成的数与原数的和等于10769，则该四位数的数字之和为（　　） A.25 B.24 C.33 D.34 【答案】A 【解析】解：设这个四位数为abcd，则abcd+dcba＝10769 则b+c＝16又据题意可知c＝d﹣1，b＝d+1， 则b+c＝（d﹣1）+（d+1）＝16， 可得d＝8， 又∵a+d＝8+1+a＝10， ∴a＝1， 综上可知，a＝1，d＝8，c＝8﹣1＝7，b＝8+1＝9， 所以该四位数的数字之和为25． 3.有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A.10元 B.9元 C.8元 D.6元 【答案】D 【解析】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 4.在某次数学竞赛中每解出一道难题得3分，每解出一道普通题得2分，此外，对于每道未能解出的普通题要扣去1分．某人解出了10题，一共得了14分．则该次数学竞赛中一共有____道普通题． 【答案】 16 【解析】 解：设普通题共x题，其中解出a题，难题共解出b题， 则②×3－①，得x＝16.故答案为16. 5.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 　   　元． 【答案】600 【解析】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元， 由题意知 ①+②得5（x+y+z）＝1000， 因此x+y+z＝200， ∴3（x+y+z）＝600（元）， 即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元． 6.三月植树好时节．星河小学原计划栽杨树、柳树和樟树共1500棵．植树节开始后，当栽了杨树棵数的和30棵柳树后，又临时运来了15棵樟树，这时剩下的三种树的棵数恰好相等．原计划要栽三种树各多少棵？ 【答案】解：设原计划要栽x棵杨树，y棵柳树，则要栽（1500﹣x﹣y）棵樟树， 根据题意得 解得 ∴1500﹣x﹣y＝1500﹣825﹣360＝315． ∴原计划要栽825棵杨树，360棵柳树，315棵樟树． 7.现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？ 【答案】 解：设A一件x元，B一件y元，C一件z元，依题意，得， 两式相加，得4x＋4y＋4z＝600，即：x＋y＋z＝150， 答：售出A、B、C各一件共得150元． 五、列三元一次方程组解决实际问题 1.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的△ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是S＝7，N＝3，L＝10．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N＝82，L＝38时，S的值为（　　） A.44 B.43 C.100 D.99 【答案】C 【解析】解：由题意得四边形FGHI是格点四边形，S＝4，N＝1，L＝8， ∵任意格点多边形的面积S＝aN+bL+c， 由图中的格点△ABC、格点多边形DEFGHI、格点四边形FGHI得 解得 ∴S＝N+L﹣1， 将N＝82，L＝38代入得S＝82+×38﹣1＝100. 2.购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支，共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】B 【解析】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，圆珠笔的单价为元，购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元， 根据题意可得， 由②①得，， 由②①得，， 由⑤④③得，， 解得：， 故选：B． 3.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A.325 B.217 C.433 D.541 【答案】B 【解析】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 4.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排________名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】 120 【解析】 解：根据等量关系：①一共210名工人；②小袖的个数：衣身的个数：衣领的个数＝2：1：1；依此列出方程组求解即可．设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，依题意有，解得故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．故答案为120. 5.A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过            分钟，追上． 【答案】15 【解析】解：设、、的速度为，，，再过分钟，追上，某一时刻，之间的距离为，间的距离为，则： ， 由①得：④， 由②得：⑤， 把④⑤代入③得：， 故答案为：15． 6.某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 【答案】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 7.一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 【答案】解：设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z． 由题意列方程组 ②﹣③得y＝14﹣y，即y＝7， 由①得x﹣z＝1，⑤ 将y＝7代入③得 x+z＝7，⑥ ⑤+⑥得2x＝8， 即x＝4，那么z＝3， ∴这个三位数是473． 学科网（北京）股份有限公司 $$