10.3 实际问题与二元一次方程组 暑假分层练习2024-2025学年人教版（2024）七年级数学下册

人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 暑假分层练习 一、和差倍分问题 1.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有（ ）张. A.8 B.9 C.10 D.12 2.甲、乙两人年收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为(　　) A.15 000元，12 000元 B.12 000元，15 000元 C.15 000元，11 250元 D.11 250元，15 000元 3.我市紧紧聚焦乡村振兴，提升乡村产业发展水平，支持打造乡土特色品牌．为支持某村农户发展特色种养业和手工作坊，特提供专项资金共240万元，且特色种养业专项资金金额是手工作坊专项资金金额的3倍．若设特色种养业专项资金金额为x万元，手工作坊专项资金金额为y万元，可列方程组（　　） A. B. C. D. 4.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．仔细阅读小明父母之间的对话：妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明听后很快计算出今天排骨的单价为______元/斤． 5.CNI公司去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入是______，去年的总支出是________． 6.某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面），已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元． (1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ (2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份，“生食”小面1500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低1元，统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增长，这两种小面的总销售额在：4月的基础上增加，求的值． 7.六年级学生和一年级学生共120人一起给树浇水，六年级学生一人提两桶水，一年级学生两人抬一桶水，两个年级一共浇水180桶，问有一年级学生多少人？ 二、数字问题 1.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是（    ）    A. B. C. D.1 2.爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A.15 B.24 C.42 D.51 3.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，则x和y的值分别为（    ） A.40，20 B.20，40 C.39，29 D.29，39 4.一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是    ． 5.一个分数，如果分子不变，分母加2，那么可以化简为；如果分母不变，分子减1，那么把它化简后是．这个分数是        ． 6.有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数． 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 三、年龄问题 1.甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A.甲比乙大6岁 B.乙比甲大6岁 C.甲比乙大4岁 D.乙比甲大4岁 2.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，则x，y分别为（　　） A.4，8 B.8，4 C.5，7 D.7，5 3.10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 4.一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 　 　岁． 5.今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是     岁． 6.已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 7.根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 四、行程问题 1.甲、乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑x m和y m，则可列出的方程组是（　　） A. B. C. D. 2.甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组是(　　) A. B. C. D. 3.A市至B市的航线长1 200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需要3小时20分，则无风时飞机的速度是(　　) A.60千米/时 B.110千米/时 C.370千米/时 D.420千米/时 4.某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔      min从起点开出一辆． 5.已知公交车的发车时间是固定的，一天，小王沿着18路公交车的线路匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车．假定18路公交车的行驶速度是相同的，则固定的发车时间______分钟/辆． 6.列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 7.周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 五、工程问题 1.甲、乙两个小组共同生产某种产品．若甲组先生产1天，然后甲、乙合作生产5天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产300个产品，然后两组合作生产4天，则乙比甲多生产100个产品．若设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 2.某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆，试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？(　　) A.预定期限为6天，需要制造的汽车总数是200辆 B.预定期限为6天，需要制造的汽车总数是220辆 C.预定期限为7天，需要制造的汽车总数是220辆 D.预定期限为7天，需要制造的汽车总数是200辆 3.某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则(x＋y)的值为( ) A.20 B.15 C.10 D.5 4.为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组     ． 5.某工厂工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽6个．现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个．生产的螺丝比螺丝帽多________个． 6.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 7.一件工作，甲单独做需6小时完成，乙单独做需10小时完成，甲先单独做若干小时，后因甲有其他任务调离，余下的工作由乙单独完成，一共用了7个小时完成这项工作，若这项工作共获得报酬5768元，按两人完成的工作量进行分配，甲、乙各应获得多少钱？ 六、调配问题 1.某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 2.某工厂现有105名工人，一名工人每天可生产8个螺杆或26个螺母，2个螺母和1个螺杆为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套没有剩余，若设安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 3.某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A.30 B.40 C.50 D.60 4.某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲乙两种零件分别取2个和1个才能配套，要在80天生产最多的成套产品，问甲种零件应该生产______天． 5.某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力，为使所有的土地都种上蔬菜(或棉花)，且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花____亩，蔬菜____亩． 6.“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过1000千克．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为150千克．2个A部件和1个B部件的质量相等．求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； 7.张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． （1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板　张，长方形纸板 　 　张； （2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 七、销售与购物的问题 1.某商场以每件a元购进一批服装，如果规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元．为了尽快回收资金，商场决定将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，则a，b的值为(　　) A. B. C. D. 2.不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买5本笔记本和10支水笔共需（    ） A.60元 B.10元 C.8元 D.2元 3.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 4.某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为______元，标价为______元． 5.五一前夕，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，分别抽到七折（按售价）和九折销售，共付款386元，这两种商品按原价销售共需500元，则甲、乙两种商品原销售价分别为      元、        元． 6.“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折(按售价的70%销售)和九折(按售价的90%销售)，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元．问：这两种商品的原销售价分别为多少元？ 7.一家超市的帐目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元.这个记录是否有误？如果有，请说明理由. 八、运输问题 1.2023年12月，甘肃省积石山县发生地震，灾区情况时刻牵动着全国人民的心．某爱心协会紧急筹措了一批358吨的物资准备运往灾区，调配载重为16吨和载重为13吨的货车共25辆且恰好装满，则调配载重为16吨和13吨的货车各多少辆？设调配载重为16吨的货车x辆，调配载重为13吨的货车y辆，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 2.若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 3.有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货20吨，5辆大货车与4辆小货车一次可以运货35吨，则4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（　　） A.22吨 B.23吨 C.24吨 D.25吨 4.4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨． 5.四辆手推车和五辆卡车一次能运货27吨，十辆手推车和三辆卡车一次能运货20吨，则一辆手推车一次能运货______吨，一辆卡车一次能运货______吨． 6.某物流公司的经营理念是“智慧引领行业，创新创造价值”．该物流公司在向灾区运送捐赠物资时，调度员发现用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货12吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有24吨物资需要运往灾区，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问调度员有哪几种租车方案？ 7.两家货运公司一家经营大货车，另一家经营小货车，已知3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨． 请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨； 九、积分问题 1.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了(　　) A.17道 B.18道 C.19道 D.20道 2.在2003年全国足球甲级A级的前11轮(场)比赛中，大连实德队连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队平了(　　) A.8场 B.7场 C.6场 D.5场 3.某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜x场，负y场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4.小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是         ． 5.中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球． 6.某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了． 据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y． （1）请用含x和y的二元一次方程表示乙同学趣题巧解和数学应用两项得分折算后的分数之和为　 　； （2）如果甲得85分，那么请你计算甲的数学应用项目需要获得多少分？（用方程或方程组解决） 7.为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 十、与几何有关的问题 1.手工课上，同学们用图1中的彩色和白色正方形纸片拼成如图2中的甲、乙两种图案．现有50个彩色正方形纸片和130个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了x个甲图案，y个乙图案，则所列方程组为（　　） A. B. C. D. 2.如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（    ）． A.54 B.27 C.216 D.108 3.列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（    ） A.34 B.43 C.50 D.54 4.如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为        ． 5.如图，在长为20 m，宽为16 m的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为　　m． 6.如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 7.某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5∶6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度． 十一、古代问题 1.我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A. B. C. D. 2.中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七：满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱？如果设每斤肉x元，每斤鱼y元，那么可列二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 3.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 4.《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 　 　人，该物品价值 　 　元． 5.《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有        人分银（注：1斤=10两）． 6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？请解答上述问题． 7.中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 十二、方案问题 1.为丰富儿童们的体育活动，“向阳花”幼儿园拿出480元钱全部用于购买儿童感统训练球和儿童不倒翁充气沙包球两种活动用品（两种都购买），其中儿童感统训练球每个24元，儿童不倒翁充气沙包球每个36元．则购买方案有（　　） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 2.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案的种数为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 3.七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案的种数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 4.足球运动起源于我国“蹴鞠”的运动项目，近年来在我国中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能有 　 　种． 5.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 　     　种． 6.零陵制衣厂某车间计划用10天时间加工一批出口童装和成人装共360件．该车间的加工能力是每天能单独加工童装45件或成人装30件． ①该车间安排几天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务？ ②若加工一件童装可获利80元，加工成人装一件可获利120元，那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元？ 7.某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： (1)春游学生共多少人？原计划租45座客车多少辆？ (2)若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算？ (3)你有更省钱的租车方案吗？请通过计算说明． 十三、图表信息问题 1.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A.0 B. C.或9 D.9 2.小林在某商店两次购买商品A，B的数量和费用如表： 则商品A，B的标价分别是（　　） A.60元，90元 B.90元，60元 C.90元，120元 D.120元，90元 3.为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 4.某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 实际收费 则     ，      ． 5.根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是      元． 6.连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”.甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 7.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值； 十四、利率问题 1.我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 2.某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　) A. B. C. D. 3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是甲、乙两人各有若干线．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是（　　） A. B. C. D. 4.已知乙的年收入是甲的年收入的34，乙的年支出是甲的年支出的58，一年内两人的储蓄(收入－支出)都是2 500元，那么甲的年收入是______元，乙的年收入是______元． 5.小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________． 6.某同学为了自己将来上学所花的费用着想，决定把长辈给自己的压岁钱存入银行.他以两种方式在银行共存了5000元钱，一种是年利率为2.05%的教育储蓄，另一种年利率为1.25%的一年定期存款，一年后可取出5092元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税，列二元一次方程组解决） 7.嘉林的爸爸为了给他筹备学习新技术的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问嘉林的爸爸两种存款各存入了多少元？ 人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 暑假分层练习（参考答案） 一、和差倍分问题 1.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有（ ）张. A.8 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】解：设其中,2元和5元的张数各为 x ,则10元的张数为 y,由题意得： , 解得 所以，10元的钞票有10张. 故选：C 2.甲、乙两人年收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为(　　) A.15 000元，12 000元 B.12 000元，15 000元 C.15 000元，11 250元 D.11 250元，15 000元 【答案】C 【解析】 解：本题的两个等量关系为∶甲的年收入－甲的年支出＝5 000元；乙的年收入－乙的年支出＝5 000元，据此可列出方程组求解．设甲的收入为4x元，支出为8y元，乙的收入为3x元，支出分别为5y元，则解得所以甲的年收入为4x＝15 000元，乙的年收入为3x＝11 250元．故选C. 3.我市紧紧聚焦乡村振兴，提升乡村产业发展水平，支持打造乡土特色品牌．为支持某村农户发展特色种养业和手工作坊，特提供专项资金共240万元，且特色种养业专项资金金额是手工作坊专项资金金额的3倍．若设特色种养业专项资金金额为x万元，手工作坊专项资金金额为y万元，可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设特色种养业专项资金金额为x万元，手工作坊专项资金金额为y万元， 根据题意，得 4.小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．仔细阅读小明父母之间的对话：妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明听后很快计算出今天排骨的单价为______元/斤． 【答案】 18 【解析】 解：设上个月萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，由题意，得，解得则这个月排骨的单价为15×(1＋20%)＝18(元)．答；今天排骨的单价为18元/斤．故答案为18. 5.CNI公司去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入是______，去年的总支出是________． 【答案】 2 000万元，1 800万元 【解析】 解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得,解得答：去年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元．故答案为2 000万元，1 800万元． 6.某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面），已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元． (1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ (2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份，“生食”小面1500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低1元，统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增长，这两种小面的总销售额在：4月的基础上增加，求的值． 【答案】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是元、元， ∵份“堂食”小面和份“生食”小面为元，份“堂食”小面和份“生食”小面为元， ∴， 解得：， 答：每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是元、元． （2）根据题意得：， 即， 解得：， 答：的值为． 7.六年级学生和一年级学生共120人一起给树浇水，六年级学生一人提两桶水，一年级学生两人抬一桶水，两个年级一共浇水180桶，问有一年级学生多少人？ 【答案】 解：设有一年级学生x人，六年级学生y人， 由题意得 解得 ∴有一年级学生40人． 二、数字问题 1.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是（    ）    A. B. C. D.1 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，即每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0， 如图1，    ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∵，解得， ∴如图2，    由题意知，，整理得，， ，整理得，， ∴，解得， ∴， 故选：A． 2.爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A.15 B.24 C.42 D.51 【答案】D 【解析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：， 解得：， ∴9：00时看到的两位数是15． 10：00时看到里程碑上的数是 故选：D 3.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为，较小的两位数为，则x和y的值分别为（    ） A.40，20 B.20，40 C.39，29 D.29，39 【答案】C 【解析】根据题意，得． 化简，得 解得 故选：C 4.一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10，则原来的两位数是    ． 【答案】 【解析】设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为，根据题意得： ， 解得：， 则原两位数为． 故答案为： 5.一个分数，如果分子不变，分母加2，那么可以化简为；如果分母不变，分子减1，那么把它化简后是．这个分数是        ． 【答案】 【解析】解：设这个分数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 即这个分数为， 故答案为： 6.有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数． 【答案】 解：设两位数的十位数为x，个位数为y， 则由题意，得 解得 所以这个两位数是83.答：这个两位数是83. 7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9．求这个两位数？ 【答案】解：设原来的两位数个位上的数字为，十位上的数字为．则 ， 解得，， ∴原来的两位数是72． 三、年龄问题 1.甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（    ） A.甲比乙大6岁 B.乙比甲大6岁 C.甲比乙大4岁 D.乙比甲大4岁 【答案】C 【解析】解：设甲现在x岁，乙现在y岁． 根据题意，得， 解得， ∴ 故选：C 2.今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，则x，y分别为（　　） A.4，8 B.8，4 C.5，7 D.7，5 【答案】B 【解析】 解：设今年哥哥x岁，妹妹y岁，由题意得 解得 3.10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁． 由题意得， ， 故选：B 4.一天，小雅去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈!”请你写出小雅的年龄是 　 　岁． 【答案】 15 【解析】 解：设小雅爷爷是x岁，小雅是y岁， 依题意得 解得 即小雅的年龄是15岁． 5.今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是     岁． 【答案】18 【解析】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：18． 6.已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁， 由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 7.根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 四、行程问题 1.甲、乙二人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，设甲，乙每秒分别跑x m和y m，则可列出的方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设甲、乙每秒分别跑x m和y m． 则可列出的方程组是 2.甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米，则可列出方程组是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米， 根据题意得 3.A市至B市的航线长1 200千米，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需要3小时20分，则无风时飞机的速度是(　　) A.60千米/时 B.110千米/时 C.370千米/时 D.420千米/时 【答案】D 【解析】 解：根据题意可知，无论飞机是顺风还是逆风行驶飞行的距离是不变的，(飞机无风飞行的速度＋风的速度)×2.5小时＝1 200千米，(飞机无风飞行的速度－风的速度)×小时＝1 200千米，列方程组求解．设飞机无风飞行的速度为x千米/时，风的速度为y千米/时．由题意，得解得故选D. 4.某人沿电车路线行走，每分钟有一辆电车从后面赶上，每分钟有一辆电车迎面开来．若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔      min从起点开出一辆． 【答案】 【解析】解：设电车的每分走米，行人每分走米，电车每隔a分钟从起点开出一辆， 根据题意可得：， 得：， 可得：， 解得：． 故答案为： ． 5.已知公交车的发车时间是固定的，一天，小王沿着18路公交车的线路匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车．假定18路公交车的行驶速度是相同的，则固定的发车时间______分钟/辆． 【答案】 4 【解析】 解：设小王速度为a米/分钟，汽车速度为b米/分钟，公交车的固定发车时间为x分钟/辆，根据每隔6分钟从背后驶过一辆18路车，每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车，利用追击问题和相遇问题，列方程组求解．根据题意，得解得x＝4.答：固定的发时间4分钟/辆．故答案为4. 6.列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 【答案】解：（1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据题意得： 解得： 答： 这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶， 小瓶装50000瓶． （2）设飞机无风时的平均速度为，风速为，由题意，得 解得 答：飞机无风时的平均速度为，风速为． 7.周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 五、工程问题 1.甲、乙两个小组共同生产某种产品．若甲组先生产1天，然后甲、乙合作生产5天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产300个产品，然后两组合作生产4天，则乙比甲多生产100个产品．若设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品， 根据题意得 即 2.某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆，试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？(　　) A.预定期限为6天，需要制造的汽车总数是200辆 B.预定期限为6天，需要制造的汽车总数是220辆 C.预定期限为7天，需要制造的汽车总数是220辆 D.预定期限为7天，需要制造的汽车总数是200辆 【答案】B 【解析】 解：首先设预定期限为x天，需要制造的汽车总数为y辆，根据关键语句“如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务”可得方程：35x＝y－10；“如果每天生产40辆，则可超额生产20辆“可得方程40x＝y＋20，联立两个方程组成方程组，再解方程组即可．根据题意，得解得答：预定期限为6天，需要制造的汽车总数是220辆．故选B. 3.某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则(x＋y)的值为( ) A.20 B.15 C.10 D.5 【答案】A 【解析】 解：设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，由题意，得解得∴x＋y＝20.故选A. 4.为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组     ． 【答案】 【解析】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 5.某工厂工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽6个．现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个．生产的螺丝比螺丝帽多________个． 【答案】 32 【解析】 解：设甲用x分钟生产螺丝，(20－x)分钟生产螺丝帽，乙用y分钟生产螺丝，(20－y)分钟生产螺丝帽，根据共生产螺丝和螺丝帽134个，列二元一次方程求解．由题意3x＋9(20－x)＋2y＋6(20－y)＝134，整理得3x＋2y＝83，则生产的螺丝比螺丝帽多：3x－9(20－x)＋2y－6(20－y)＝12x＋8y－300，∵3x＋2y＝83，∴12x＋8y－300＝4×83－300＝32(个)．故答案为32. 6.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 7.一件工作，甲单独做需6小时完成，乙单独做需10小时完成，甲先单独做若干小时，后因甲有其他任务调离，余下的工作由乙单独完成，一共用了7个小时完成这项工作，若这项工作共获得报酬5768元，按两人完成的工作量进行分配，甲、乙各应获得多少钱？ 【答案】 解：设甲做了x小时，乙做了y小时， 根据题意得 解得 ∴甲的工作量为＝， 则乙的工作量为， ∵按两人完成的工作量进行分配， ∴甲应获得5768×＝4326（元）， 乙应获得5768×＝1442（元）． 即甲应获得4326元，乙应获得1442元． 六、调配问题 1.某车间有120名工人生产一种如图所示的无盖正方体包装箱，已知1名工人每天可以生产200块侧面或150块底面（底面和侧面材料不同），4块侧面和1块底面正好可以做成一个无盖包装箱，应如何分配工人生产侧面或底面，才能使生产的侧面和底面正好配套？若设安排x名工人生产侧面，y名工人生产底面，则可列方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：由题意可得， 2.某工厂现有105名工人，一名工人每天可生产8个螺杆或26个螺母，2个螺母和1个螺杆为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套没有剩余，若设安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母， 由题意得即 3.某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A.30 B.40 C.50 D.60 【答案】B 【解析】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 4.某车间每天能生产甲种零件120个或乙种零件100个，甲乙两种零件分别取2个和1个才能配套，要在80天生产最多的成套产品，问甲种零件应该生产______天． 【答案】 50 【解析】 解：根据题意可知，本题中的相等关系是“甲乙两种零件分别取2个和1个才能配套”和“要在80天生产最多的成套产品”，列方程组求解即可．设甲、乙两种零件应该分别生产x天，y天．则解得答：甲种零件应该生产50天． 5.某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力，为使所有的土地都种上蔬菜(或棉花)，且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花____亩，蔬菜____亩． 【答案】 20，30 【解析】 解：设应安排种植棉花x亩，蔬菜y亩．则依据“耕作50亩地”和“安排20个劳动力、植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力”列出方程组，并解答．则依题意，得解得即应安排种植棉花20亩，蔬菜30亩．故答案是20；30. 6.“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过1000千克．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为150千克．2个A部件和1个B部件的质量相等．求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； 【答案】 解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克， 根据题意得 解得 即1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克 7.张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． （1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板　张，长方形纸板 　 　张； （2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】 解：（1）根据图中所给1个竖式无盖纸盒构成：4个长方形侧面和1个正方形底面可知，需要1个正方形纸板（底面）和4个长方形纸板（侧面）； 根据图中所给1个横式无盖纸盒构成：2个正方形侧面+2个长方形侧面+一个长方形底面可知，需要2个正方形纸板（侧面）和3个长方形纸板（侧面和底面）， 综上所述，做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板1+2×2＝5（张），长方形纸板4+2×3＝10（张）. （2）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个， 根据题意得 解得 ∴加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完. 七、销售与购物的问题 1.某商场以每件a元购进一批服装，如果规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元．为了尽快回收资金，商场决定将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，则a，b的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：等量关系：①规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元，即30×15(b－a)＝22 500；②将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，即30×25[b(1－20%)－a]＝22 500.根据题意，得, 解得故选D. 2.不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买5本笔记本和10支水笔共需（    ） A.60元 B.10元 C.8元 D.2元 【答案】A 【解析】解：设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意得： ， 解得：， 所以每个笔记本8元，每支水笔2元， 则购买1本笔记本和1支水笔共需：8×5+2×10=40+20=60（元）， 故选：A． 3.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》和《牵风记》两种书．已知购买1本《北上》和2本《牵风记》需80元；购买5本《北上》与购买6本《牵风记》的价格相同．如果设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元．根据题意列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设《北上》的单价是x元，《牵风记》的单价是y元，列方程组为 4.某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为______元，标价为______元． 【答案】 650，900 【解析】 解：本题的两个等量关系为标价×80%－进价＝70元；标价×60%－进价＝－110元，据此可列方程求解．设该商场每件羊绒衫的进价为x元，标价为y元，则,解得即羊绒衫的进价为650元，标价为900元． 5.五一前夕，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，分别抽到七折（按售价）和九折销售，共付款386元，这两种商品按原价销售共需500元，则甲、乙两种商品原销售价分别为      元、        元． 【答案】320；180 【解析】解：设甲、乙两商品的原价分别是元，元， 则， 解得． 故答案为：320；180． 6.“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折(按售价的70%销售)和九折(按售价的90%销售)，共付款386元，这两种商品原销售价之和为500元．问：这两种商品的原销售价分别为多少元？ 【答案】 解：设甲、乙两种商品的原销售价格分别为x、y元， 依题意，得 解得 答：甲、乙两种商品的原销售价分别为320元、180元． 7.一家超市的帐目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元.这个记录是否有误？如果有，请说明理由. 【答案】 解：设1支牙刷x元，1盒牙膏y元． 根据题意，得 化简得 ∵①的左边=②的左边， 而①的右边为132，②的右边为129.5， 132≠129.5， ∴方程组无解． ∴记录有误． 八、运输问题 1.2023年12月，甘肃省积石山县发生地震，灾区情况时刻牵动着全国人民的心．某爱心协会紧急筹措了一批358吨的物资准备运往灾区，调配载重为16吨和载重为13吨的货车共25辆且恰好装满，则调配载重为16吨和13吨的货车各多少辆？设调配载重为16吨的货车x辆，调配载重为13吨的货车y辆，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：根据题意，得 2.若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运 吨货，由题意，得： ， 故选D． 3.有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货20吨，5辆大货车与4辆小货车一次可以运货35吨，则4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（　　） A.22吨 B.23吨 C.24吨 D.25吨 【答案】D 【解析】 解：设1辆大货车可以运货x吨，1辆小货车可以运货y吨， 根据题意有 解得 ∴4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（吨）. 4.4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨． 【答案】 5.5 【解析】 解：设1辆小货车一次能运货x吨，1辆大卡车一次能运货y吨， 由题意得 ①+②得10（x+y）＝55， ∴x+y＝5.5， 即1辆小货车和1辆大卡车一次共运货5.5吨. 5.四辆手推车和五辆卡车一次能运货27吨，十辆手推车和三辆卡车一次能运货20吨，则一辆手推车一次能运货______吨，一辆卡车一次能运货______吨． 【答案】 0.5，5 【解析】 解：设一辆手推车一次能运货x吨，一辆卡车一次能运货y吨，由题意，得解得故答案为0.5,5. 6.某物流公司的经营理念是“智慧引领行业，创新创造价值”．该物流公司在向灾区运送捐赠物资时，调度员发现用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货12吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货13吨． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有24吨物资需要运往灾区，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问调度员有哪几种租车方案？ 【答案】 解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨， 根据题意得 解得 即1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨. （2）根据题意得2a+3b＝24， ∴b＝8﹣a． 又∵a，b均为正整数， ∴或或 ∴调度员共有3种租车方案， 方案1：租用3辆A型车，6辆B型车； 方案2：租用6辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用9辆A型车，2辆B型车． 7.两家货运公司一家经营大货车，另一家经营小货车，已知3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨． 请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨； 【答案】 解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 由题意得 解得 即1辆大货车一次可以运货5吨，1辆小货车一次可以运货3.5吨. 九、积分问题 1.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了(　　) A.17道 B.18道 C.19道 D.20道 【答案】C 【解析】 解：设做对了x道，做错了y道，则解得即答对了19道．故选C. 2.在2003年全国足球甲级A级的前11轮(场)比赛中，大连实德队连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队平了(　　) A.8场 B.7场 C.6场 D.5场 【答案】D 【解析】 解：首先设该队平了x场，胜了y场，根据题意可得等量关系：①胜的场数＋平的场数＝11场；②胜场得分＋平场得分＝23分，再根据等量关系可列出方程组即可．由题意得,解得故选D. 3.某市举办农村篮球趣味联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场扣1分．云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜x场，负y场，则根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：设该队胜x场，负y场，由题意得 4.小华和爸爸一起玩“掷飞镖”游戏．游戏规则：站在5米开外朝飞镖盘扔飞镖，若小华投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．结果两人一共投中了20次，经过计算发现爸爸的得分比小华的得分多4分．设小华投中的次数为，爸爸投中的次数为，根据题意列出的方程组是         ． 【答案】 【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 5.中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球． 【答案】 8，3 【解析】 解：由题意可的本题存在两个等量关系，即投中3分球＋投中2分球＋罚球＝总投中球数，2分球得分＋3分球得分＋罚球得分＝总得分数，根据这两个等量关系可列出方程组．设2分球投中了x个，罚球罚进y个．则可列方程组为,解得故投中了8个2分球和3个罚球． 6.某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了． 据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为x和y． （1）请用含x和y的二元一次方程表示乙同学趣题巧解和数学应用两项得分折算后的分数之和为　 　； （2）如果甲得85分，那么请你计算甲的数学应用项目需要获得多少分？（用方程或方程组解决） 【答案】 解：（1）根据题意得80x+60y＝70﹣20． （2）根据题意得 解得 设甲的数学应用项目获得m分， 根据题意得20+95×40%+30%m=85， 解得m=90， 即甲的数学应用项目需要获得90分． 7.为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场． 【答案】 解：设该队平了x场，负了y场， 由题意得 解得 即该队负了1场． 十、与几何有关的问题 1.手工课上，同学们用图1中的彩色和白色正方形纸片拼成如图2中的甲、乙两种图案．现有50个彩色正方形纸片和130个白色正方形纸片，若拼成两种图案（两种图案都要拼）若干个，恰好将所有正方形纸片用完，设拼成了x个甲图案，y个乙图案，则所列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：设拼成了x个甲图案，y个乙图案，根据题意得 故B正确． 2.如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（    ）． A.54 B.27 C.216 D.108 【答案】A 【解析】 解：设小长方形的长为，宽为，列方程为： ，解得：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选A． 3.列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（    ） A.34 B.43 C.50 D.54 【答案】D 【解析】 解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． ∴阴影部分的面积之和为． 故选择：D 4.如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为        ． 【答案】 【解析】 解：设每个小长方形的长和宽分别为和， 由题意得：， 故答案为：． 5.如图，在长为20 m，宽为16 m的长方形空地上，沿平行于各边分割出三个形状、大小一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的长为　　m． 【答案】 8 【解析】 解：设小长方形的长为x m，宽为y m， 依题意有 解此方程组得 故小长方形的长为8 m，宽为4 m． 6.如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】 解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 7.某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5∶6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度． 【答案】 解：设每本A书籍厚度为x cm，则每本B书籍的厚度为x cm，桌子高度为y cm， 由题意可得 解得 即每本A书籍厚度为1 cm． 十一、古代问题 1.我国古典数学文献《增删算法统宗正六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．二人闲坐恼心肠，画地算了半晌．”，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 2.中国古今诗歌中蕴含着很多有趣的数学问题，下列一首古诗歌中就蕴含着方程的数量关系：“老头提篮去赶集，一共花去七十七：满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼．”其意思是：老头用77元钱共买了10斤肉和3斤鱼，9斤肉的钱数等于5斤鱼的钱数，问每斤肉和鱼各是多少钱？如果设每斤肉x元，每斤鱼y元，那么可列二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由题意可得 3.《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”译文：今有优质酒1斗的价格是50钱，普通酒1斗的价格是10钱，现在买了两种酒2斗，共付30钱．问优质酒、普通酒各买多少斗？如果设买优质酒x斗，普通酒y斗，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵买优质酒x斗，普通酒y斗， 依题意，得 4.《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有 　 　人，该物品价值 　 　元． 【答案】 7；53． 【解析】 解：设有x人，该物品价值y元， 依题意得：， 解得：， ∴有7人，该物品价值53元． 故答案为：7；53． 5.《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有        人分银（注：1斤=10两）． 【答案】11 【解析】解：设共有x人，y两银子，则可列方程组为： ， 解得： 故答案为：11． 6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意如下：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问大马和小马各有多少匹？请解答上述问题． 【答案】解：设大马x匹，小马y匹，依题意得 解得 即大马有25匹，小马有75匹． 7.中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 十二、方案问题 1.为丰富儿童们的体育活动，“向阳花”幼儿园拿出480元钱全部用于购买儿童感统训练球和儿童不倒翁充气沙包球两种活动用品（两种都购买），其中儿童感统训练球每个24元，儿童不倒翁充气沙包球每个36元．则购买方案有（　　） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 【答案】B 【解析】解：设购买x件儿童感统训练球，y件儿童不倒翁充气沙包球， 依题意得24x+36y＝480， ∴x=20﹣y， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或或 ∴共有6种购买方案． 2.国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案的种数为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】解：设购买笔记本x件，笔y支，根据题意得 3x+2y＝28， ∴y＝14﹣x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或 ∴共有4种购买方案． 3.七一中学八年级全体学生378人前往“两弹城”开展红色研学活动，现有大小两种客车可以租赁．已知大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，要使每个人都能上车且各辆车刚好坐满，则租车方案的种数为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】解：设租大客车x辆，小客车y辆， 由题意可得54x+36y＝378， 整理得x=7﹣y， ∵x，y都是非负整数， ∴或或或 ∴共4种租车方案. 4.足球运动起源于我国“蹴鞠”的运动项目，近年来在我国中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能有 　 　种． 【答案】3 【解析】解：设该队获胜x场，踢平y场，则负了（8﹣x﹣y）场， 由题意得3x+y＝12， ∴x＝4﹣y， ∵x，y，（8﹣x﹣y）均为自然数， ∴ ∴该队获胜的场数可能有3种. 5.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有 　     　种． 【答案】6 【解析】解：当A种图书买5本时，设购买x本B种图书，y本C种图书， 根据题意得30×5+25x+20y＝500， ∴x＝14﹣y， 又∵x，y均为正整数， ∴或或 ∴此时共有3种采购方案； 当A种图书买6本时，设购买m本B种图书，n本C种图书， 根据题意得30×6+25m+20n＝500， ∴n＝16﹣m， 又∵m，n均为正整数， ∴或或 ∴此时共有3种采购方案． 综上所述，此次采购的方案有3+3＝6（种）． 6.零陵制衣厂某车间计划用10天时间加工一批出口童装和成人装共360件．该车间的加工能力是每天能单独加工童装45件或成人装30件． ①该车间安排几天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务？ ②若加工一件童装可获利80元，加工成人装一件可获利120元，那么该车间加工完这批服装后，共可获利多少元？ 【答案】 解：①设该车间应安排x天加工童装，y天加工成人装，才能如期完成任务，则,解得 答：该车间应安排4天加工童装，6天加工成人装，才能如期完成任务； (2)∵45×4＝180,30×6＝180， ∴180×80＋180×120＝180×(80＋120)＝36 000(元)， 答：该车间加工完这批服装后，共可获利36 000元． 7.某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问： (1)春游学生共多少人？原计划租45座客车多少辆？ (2)若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算？ (3)你有更省钱的租车方案吗？请通过计算说明． 【答案】 解：(1)设春游学生共x人，原计划租45座客车y辆， 由题意，得解得 答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆； (2)租45座客车：240÷45≈5.3(辆)，则需租6辆，租金为220×6＝1 320(元)，租60座客车：240÷60＝4(辆)，则需租4辆，租金为300×4＝1 200(元)，答：租用4辆60座客车更合算； (3)45座车，单座的价格为22045≈4.89元，60座车单座价格为30060＝5元，故同样条件下应尽量租用45座车，当开始租5辆45座时，富余15人，所以退1辆45座车，改租60座车1辆，即45座4辆，60座1辆，需租金：220×4＋300×1＝1 180元．故45座4辆，60座1辆，最省钱． 十三、图表信息问题 1.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（    ） A.0 B. C.或9 D.9 【答案】A 【解析】解：根据题意得： ， 解得：， ， 故选择：A 2.小林在某商店两次购买商品A，B的数量和费用如表： 则商品A，B的标价分别是（　　） A.60元，90元 B.90元，60元 C.90元，120元 D.120元，90元 【答案】C 【解析】解：设商品A的标价是x元，商品B的标价是y元， 根据题意得 解得 即商品A的标价是90元，商品B的标价是120元 3.为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】解：由题意得：， 解得：； 故选B． 4.某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 实际收费 则     ，      ． 【答案】8；2 【解析】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：8，2． 5.根据图提供的信息，可知一个杯子的价格是      元． 【答案】8 【解析】解：设一个杯子的价格是x元，一个茶瓶的价格为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一个杯子的价格是8元． 故答案为：8 6.连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”.甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】解：（1）买85套所花费为85×60＝5100（元）， 最多可以节省6300﹣5100＝1200（元）. （2）①甲乐团的人数大于等于46小于70人， 设甲乐团有x人，乙乐团有y人．根据题意，得 解得 ②甲乐团的人数≥70人，设甲乐团有x人，乙乐团有y人．根据题意，得 解得（不符合题意，舍去）． 即甲、乙两个乐团各有50名和35名学生. （3）由题意，得5a+3b＝65， 变形，得a＝13﹣b， 因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，得 或 所以共有两种方案：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人． 7.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值； 【答案】 解：根据题意得, 解得 答： 十四、利率问题 1.我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 2.某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：本题中的两个等量关系为两种货款共35万元和两种货款每年的年利息之和为2.25万元，根据两个等量关系可用二元一次方程组求解．依题意，得解得故选A. 3.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是甲、乙两人各有若干线．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 4.已知乙的年收入是甲的年收入的34，乙的年支出是甲的年支出的58，一年内两人的储蓄(收入－支出)都是2 500元，那么甲的年收入是______元，乙的年收入是______元． 【答案】 7 500，5 625 【解析】 解：设甲的年收入是x元，乙的年收入是y元，根据乙的年收入是甲的年收入的34，可以列出方程y＝34x，根据一年内两人的储蓄(收入－支出)都是2 500元可以列出方程58(x－2 500)＝y－2 500，联立两个方程组成方程组求解即可解决问题依题意得，∴答：甲的年收入是7 500元，乙的年收入是5 625元． 5.小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________． 【答案】 2.25%，0.99% 【解析】 解：本题中的等量关系有两个：年利率之和＝3.24%；税后利息之和＝43.92元，可据此列出二元一次方程组求解．设储蓄2000元和1 000元的年利率分别为x，y，得方程组 ，解得故填2.25%,0.99%. 6.某同学为了自己将来上学所花的费用着想，决定把长辈给自己的压岁钱存入银行.他以两种方式在银行共存了5000元钱，一种是年利率为2.05%的教育储蓄，另一种年利率为1.25%的一年定期存款，一年后可取出5092元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税，列二元一次方程组解决） 【答案】解：设教育储蓄存款x元，另一种存款y元， 根据题意可得： 解得：． 答：教育储蓄存款4000元，另一种存款1000元． 7.嘉林的爸爸为了给他筹备学习新技术的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱．第一种，一年期存取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期存取，这种存款银行利率为年息2.70%．三年后同时取出共得利息303.75元．问嘉林的爸爸两种存款各存入了多少元？ 【答案】解：设嘉林的爸爸一年期存了x元，三年期存了y元， 根据题意，得 解得 答：嘉林的爸爸一年期的存了1500元，三年期的存了2500元． 学科网（北京）股份有限公司 $$