10.3实际问题与二元一次方程组 第3课时 教案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.3　实际问题与二元一次方程组（第3课时） 教学目标 　　1．巩固列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，会用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，能列二元一次方程组解决方案设计类问题． 　　2．在解决问题的过程中，体会列表在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用，知道有些问题设间接未知数便于分析问题、列方程组，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具． 教学重点 　　会用表格辅助分析问题；能设间接未知数解决实际问题． 教学难点 　　能分析复杂问题中的数量关系． 教学过程 知识回顾 如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，每吨运费29元，再把制成的纺织面料从工厂运到B地销售，每吨的运费为32元，试求铁路、公路运价分别为多少元/(t·km)？ 　　【师生活动】教师提示：“多少元／(t·km)”指的是“每吨每千米多少元”，学生根据提示独立思考作答． 　　【答案】解：设铁路、公路运价分别为x元/(t·km)和y元/(t·km)． 　　由题意，得方程组 　　解得 　　答：铁路、公路运价分别为0.2元/(t·km)和0.5元/(t·km)． 　　【设计意图】复习前面学过的列二元一次方程组解决简单的实际问题，巩固基础，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的“列二元一次方程组解决复杂的实际问题”． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 　　【思考】要求“这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？ 　　【师生活动】教师带领学生分析题目的关键信息：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品数量和原料数量． 　　教师提问：怎样设未知数？ 　　学生独立思考，设出未知数：设制成x t产品，购买y t原料． 　　教师追问：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式分析问题．本题涉及哪两类量呢？ 　　学生小组讨论作答：一类是公路运费、铁路运费、价值；另一类是产品数量、原料数量． 　　【设计意图】使学生明确在直接设要求的量为未知数不容易列方程组时，应设间接未知数；让学生认识到，解较复杂的实际问题时，可以用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系． 　　【思考】你能根据题中数量关系完成下表吗？ x t长绒棉 y t纺织面料 合计 公路运费/元 铁路运费/元 价值/元 　　【师生活动】学生先独立思考，教师给出题中涉及的数量关系：总价＝单价×数量，运输费＝数量×运价×距离． 　　学生根据数量关系，小组讨论，完成表格： x t长绒棉 y t纺织面料 合计 公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y) 铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y) 价值/元 3.08x 4.25y 　　【思考】你发现相等关系了吗？如何列方程组并求解？ 　　【师生活动】学生独立思考，列出方程组： 　　【答案】解：设制成x t产品，购买y t原料． 　　由题意，得方程组 化简，得 解得 　　所以丝路纺织厂从A地购买了4000 t长绒棉，制成320 t纺织面料运往B地． 　　【思考】这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？ 　　【答案】销售额：4.25y＝4.25×320＝1 360（万元）； 　　原料费：3.08x＝3.08×400＝1 232（万元）； 　　运输费：5 200＋16 640＝21 840（元）； 　　13 600 000－(12 320 000＋21 840)＝1 258 160（元）． 　　这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元． 　　【归纳】从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义． 　　若在直接设要求的量为未知数不容易列方程（组）时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量． 　　【设计意图】通过问题，引导学生学会利用表格分析复杂问题，找出两个相等关系，并能根据两个相等关系列出二元一次方程组，让学生体会列表在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用，加深对数学建模思想的理解． 　　【问题】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20 000元．按每名技术员工A元和每名辅助员工B元两种标准发放，其中A，B均不小于800，且A不小于B，并且A，B都是100的整数倍．（注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．） 　　（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； 　　（2）求本次奖金发放的具体方案． 　　【师生活动】教师给出分析，学生独立思考，完成填空． 　　【分析】（1）①由“服务队有技术员工和辅助员工共15人”得相等关系：　技术员工人数＋辅助员工人数＝15　．由“技术员工人数是辅助员工人数的2倍”得相等关系：　技术员工人数＝辅助员工人数×2　． 　　②设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人，根据①中的相等关系可列方程组 解得 即该农机服务队有技术员工　10　人，辅助员工　5　人． 　　（2）①由“服务队计划对员工发放奖金共计20 000元”得相等关系：　技术员工总奖金＋辅助员工总奖金＝20 000元　．据此可列出关于A，B的二元一次方程：　10A＋5B＝20 000　． 　　②因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍， 　　所以当B＝800时，A＝　1 600　； 　　当B＝900时，A＝　1 550　（A不是100的整数倍，舍去）； 　　当B＝1 000时，A＝　1 500　； 　　当B＝1 100时，A＝　1 450　（A不是100的整数倍，舍去）； 　　当B＝1 200时，A＝　1 400　； 　　当B＝1 300时，A＝　1 350　（A不是100的整数倍，舍去）； 　　当B＝1 400时，A＝　1 300　（A＜B，舍去）； 　　由此再取下去都不符合题意． 　　所以本次奖金发放的具体方案有3种： 　　方案1：技术员工每人　1 600　元，辅助员工每人800元； 　　方案2：技术员工每人　1 500　元，辅助员工每人1 000元； 　　方案3：技术员工每人　1 400　元，辅助员工每人1 200元． 　　【归纳】要求两个量，且已知两个相等关系，一般列二元一次方程组即可求解；若要求两个量，且只知一个相等关系，则一般列二元一次方程，然后根据问题的实际情况讨论得出符合题意的结果． 　　【设计意图】让学生体会列二元一次方程组解决方案设计类问题的一般步骤． 二、典例分析 　　【例题】某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15％，总支出比去年节约10％，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？ 　　【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予指导． 　　【分析】解决此类问题要先明确几个基本关系：（1）增长量＝原有量×增长率； （2）原有量＝现有量－增长量；（3）现有量＝原有量×(1＋增长率)．再根据相等关系列方程组． 　　【答案】解：设去年总产值是x万元，总支出是y万元，列表如下： 总产值/万元 总支出/万元 差/万元 去年 x y 500 今年 (1＋15％)x (1－10％)y 950 　　由题意，得 　　解得 　　所以(1＋15％)x＝2 300，(1－10％)y＝1 350． 　　答：今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元． 　　【归纳】画表格巧解增长率问题 　　在此类数量关系比较复杂的增长率题目中，仅靠想象寻找相等关系或列方程组，难免会出现顾此失彼的情况，如果能借助表格分析，将会更容易理清解题思路，从而列出方程组． 　　【设计意图】通过例题，让学生掌握用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，巩固列二元一次方程组解决复杂的问题的一般步骤． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第104页练习第1~3题． 学科网（北京）股份有限公司 $$