22.1.2二次函数y=a x^2 的图像和性质课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版 九年级上 22.1.2 二次函数 的图像和性质 教学目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括图象的特点.（难点） 3.掌握二次函数y=ax²的图象和性质，并会应用.（难点） 1、什么是二次函数？ 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2、如何用描点法画一个函数的图象？ ①_______②______③用平滑的______连接起来. 列表 描点 曲线 下面我们类比研究一次函数的图象、正比例函数的图象特征来探究二次函数的图象何特征? 回顾旧知 如此优美的弧度怎样用数学规律来描述呢? 它与二次函数有何联系？下面我们一起来研究。 情境导入 合作探究 画二次函数y=x2的图象 x … 0 … y … … -1 -3 -2 1 2 3 ①列表： 1 9 4 1 4 9 0 ②描点： 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 y=x2 ③连线： 对称轴是y轴 这是抛物线的顶点 轴对称图形 这是一条抛物线 探究一：二次函数y=ax2(a ＞ 0)的图象和性质 议一议： 1、请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。 1.y＝x2是一条抛物线； 5.图象有最低点． 4.顶点（ 0 ，0 ）； 3.图象关于y轴对称； 2.图象开口向上； y=x2 x O y 合作探究 议一议： 2、观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． O 合作探究 解：列表如下. x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 典例精析 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： 典例精析 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考1：（1）函数 的图象与函数 的图象 相比，有什么共同点和不同点？ （2）当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ 合作探究 对于抛物线 y = ax2 （a＞0） 抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小;当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 要点归纳： 相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴；当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大． 不同点：a 要越大，抛物线的开口越小。 合作探究 探究二：二次函数y=ax2(a ＜ 0)的图象和性质 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表如下. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … 　 　 　 　 　 　 …　 -9 -4 -1 0　 -1 -9 -4 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 －8 －4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 合作探究 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 描点、连线，如图所示： 合作探究 合作探究 思考2：（1）从函数 的图象，考虑这 些抛物线有什么相同点和不同点. （2）当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 对于抛物线 y = ax2 （a ＜ 0） 抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小;当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 要点归纳： 相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴；当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 不同点：a 要越小，抛物线的开口越小。 合作探究 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 归纳总结 ③.函数 y= x2的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； ②.函数y=－2x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； ①.函数y=6x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ； 向上 向下 y轴 y轴 (0，0) (0，0) ④.函数 y= － x2的图象的开口 ，对称轴是____，顶点是 . 向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0) 高 低 1、填空： 小试牛刀 思考3：观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. y=-ax2 合作探究 　2、 抛物线　　　 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ． 增大 减小 3、如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；② y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ______________。 a＞b＞d＞c 小试牛刀 1、已知二次函数y=-x2． （1）判断点A（2，-4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=-x2的图象上吗？在二次函数y=x2的图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=-x2=-4，所以A（2，-4）在二次函数图象 上； 综合演练 （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，4），点A关于y轴的对 称点C的坐标为（-2，-4），点A关于原点O的对称点D的坐标 为（-2，4）； （3）当x=2时，y=-x2=-4，所以点B不在二次函数y=-x2的图象上； 当x=-2时，y=-x2=-4，所以点C在二次函数y=-x2的图象上； 当x=-2时，y=-x2=-4，所以点D不在二次函数y=-x2的图象上． 当x=2时，y=x2=4，所以点B在二次函数y=x2的图象上； 当x=-2时，y=x2=4，所以点C不在二次函数y=x2的图象上； 当x=-2时，y=x2=4，所以点D在二次函数y=x2的图象上． 综合演练 2.已知二次函数y=3x2，若x≥a时，y最小值为0，求实数a的取值范围． 解：∵二次函数y=3x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥a时，y最小值=0， ∴a≤0． 综合演练 3.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. B 能力提升 分别从函数的开口方向、开口大小、顶点、对称轴、最值、增减性这六方面谈谈你对函数y=ax2的收获。 本节课你有哪些收获？ 课堂总结 谢谢 汇报人：WPS $$