22.1.1 二次函数 课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

人教版 九年级上 22.1.1二次函数 教学目标 1.理解并掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决相关问题. 3.寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应 关系.（难点） 1.什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 3.一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. 2.什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a≠0) 回顾旧知 　滑雪运动员在空中滑过一条美丽的曲线，你想知道在这条曲线的各个位置上，运动员的竖直高度h与他滑离坡道的水平距离x之间有什么关系吗？ 通过本章的学习，我们就可解开这一疑团。 情境导入 问题1 正方体的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y 关于x 的关系式为 . y=6x2 此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 合作探究 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 . (n－1) 解： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数. 合作探究 问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量 t，再经过一年后的产量是 t， 即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 解： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 20(1+x)(1+x) 合作探究 y=6x2 y=20x2+40x+20 思考1：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么共同点? 小组交流、讨论得出结论。 1.左右两边都是整式 2.自变量的最高次幂都是2 合作探究 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特征条件： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 合作探究 1.下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？   √ × ①不一定是，缺少a≠0的条件 √ × × × ④不是，右边是分式 ⑤不是，x的最高次数是3 ⑥可以化成y=6x+9。 知识点拨：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等. 小试牛刀 2、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c. （1）a=-3、b=-1、c=-1. （2）a=5、b=0、c=-6. （3）化为一般式：y=x2+x ∴ a=1、b=1、c=0. （1）y=-3x2-x-1 （2）y=5x2-6 （3）y=x（1+x） 小试牛刀 例1 若函数 是二次函数，求m的值. ∴m=3. 解： 由题意得： 知识点拨：本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视. 典例精析 例2 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式. 解：∵AB边长为x米. ∴y＝ (30－x)x= . ∴AD边长为 (30－x)米. (0＜x＜30) 知识点拨：在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围. 典例精析 1、一个二次函数 . （1）求a的值； （2）当x=-1时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 将x=-1代入函数关系式 ，得 （2）当a=2时， 针对训练 2.写出下列各函数关系式： （1）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系． （x＞0） 针对训练 1.下列函数中是二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=x3﹣2x﹣3 C．y=（x+1）2﹣x2 D．y=3x2﹣1 D 2.y关于x的二次函数：y=-2x2+6x﹣5的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．-2、6、﹣5 D．﹣2、6、5 C 综合演练 3.函数y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n是常数，且m≠0 B . m，n是常数，且m≠n C. m，n是常数，且n≠0 D . m，n为任何实数 B 4. 已知函数y=5x3k-2+8. ① 当k=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当k=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 1 综合演练 5.已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=-18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？ 解：∵y与x2成正比例， ∴y=kx2（k≠0）， 把x=3，y=-18代入得 -18=32•k， ∴k=-2， ∴y与x之间的函数解析式为 y=-2x2． 符合二次函数的定义，属于二次函数． 综合演练 6.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2). （1）写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时，求矩形的面积. 解：（1）y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)； （2）当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2) . 综合演练 课堂总结 本节课你有哪些收获？ 1、如何判断一个函数是二次函数？ 2、二次函数的形式有哪些？ 谢谢 汇报人：WPS $$