精品解析：甘肃省兰州市安宁区东方学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年甘肃省兰州市安宁区东方学校八年级（上） 期中数学试卷 一、填空题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 直线与直线，它们在同一个坐标系中的图像大致（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 12. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. 的算术平方根是______． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________． 15. 如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点坐标是________． 三.解答题（共12小题，共72分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知，，求代数式的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）若与关于y轴成轴对称，请在图中作出，并写出三个顶点的坐标； （2）计算的面积． 21. 平面直角坐标系中，已知点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 22. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值． 23. 小美计划购买某种水果，通过市场调查得知：在甲店购买水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；在乙店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的函数表达式为． （1）求与之间的函数表达式： （2）现计划用150元购买该水果，选甲、乙哪家店，能购买该水果更多一些？通过计算说明理由． 24. 已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 25. 根据下表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是________，________； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是．有一个物体从高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 26. 如图,直线l 在平面直角坐标系中,直线l与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l上． (1)求点C的坐标和直线l的解析式 (2)若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l上; (3)已知直线l:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积． 27. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． （1）求直线的解析式． （2）当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． （3）过点Q作轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年甘肃省兰州市安宁区东方学校八年级（上） 期中数学试卷 一、填空题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义：两数只有符号不同，即可得出答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限． 故选：D． 3. 在3.14，，，，，等中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 【详解】解：，，是无理数； 故选：B 【点睛】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 4. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k与b的值求出该一次函数的图像的位置是解题的关键． 根据一次函数的k与b的值即可知道该一次函数的图像经过哪些象限． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 该一次函数的图像经过第一、三、四象限，即不经过第二象限， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 6. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】∵函数有意义， ∴． 即， 故选A． 【点睛】本题考查了函数有意义的条件，熟练掌握分母不为零是解题的关键． 7. 估计的值在（　　） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】先确定9＜14＜16，再利用算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵9＜14＜16， ∴, ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 8. 将直线向下平移6个单位后，正好经过点，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，将点的坐标代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移6个单位得，， 将代入解析式得，， 解得， 故选：D． 9. 点在直线上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的增减性（当时，随的增大而减小）． 先判断一次函数的增减性，再比较自变量的大小，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解：对于直线，其中，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． ，则三个自变量的大小关系为． 因为随的增大而减小，所以对应的函数值的大小关系为（自变量越大，函数值越小）． 故选：A． 10. 直线与直线，它们在同一个坐标系中的图像大致（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y=kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y=kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】根据一次函数的图象分析可得： A．由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0，由一次函数y=kbx的图象可知kb＜0，两函数解析式均成立； B．由一次函数y=kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0，由一次函数y=kbx的图象可知kb＞0，矛盾； C．由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＞0，即kb＞0，由一次函数y=kbx的图象可知kb＜0，矛盾； D．由一次函数y=kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0，由一次函数y=kbx的图象可知kb＞0，矛盾． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象． 11. 如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意可知，P点在AD段时面积为零，在DC段时面积y由0逐渐增大到8，在CB段因为底和高不变所以面积y不变，在BA段时面积y逐渐减小为0， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象识别，根据动点P的位置正确得出三角形的面积变化情况是解答的关键． 12. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．根据所给数轴得出，，的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题． 【详解】解：A．由所给数轴可知，，且，所以，即，故A正确； B．，则，故B正确； C．，则，故C正确； D．，则，，故D错误； 故选：D． 二.填空题（共4小题，每题3分，共12分） 13. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴，勾股定理；由图可知，A点到原点的距离为，再根据点A在原点的右边，即可得到点A表示的实数. 【详解】解：如图所示，A点到原点的距离为， ∵点A在原点的右边， ∴点A表示的实数为. 故答案为：. 15. 如图，一次函数y＝-2x和y＝kx+b的图象相交于点，则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是______． 【答案】x＝-2 【解析】 【分析】可变形为，一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：将变形为， 的解为一次函数y＝-2x和y＝kx+b图象交点的横坐标， 观察图象可知，的解为x＝-2， 即的解为x＝-2， 故答案为：x＝-2． 【点睛】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2024除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限， 点A第二次关于y轴对称后在第三象限， 点A第三次关于x轴对称后在第二象限， 点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2024次变换后所得的A点与第四次变换的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 三.解答题（共12小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，零次指数幂，负指数幂，绝对值，掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】16 【解析】 【分析】方法一：先将原式根据完全平方公式整理为，然后代入求值即可； 方法二：直接将的值代入原式，计算即可． 【详解】解：当，时， 方法一：， 方法二： ． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：． （1）若与关于y轴成轴对称，请在图中作出，并写出三个顶点的坐标； （2）计算的面积． 【答案】（1） 即为所求： ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和坐标与图形等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用轴对称的性质作图即可，然后求即可； （2）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， 21. 平面直角坐标系中，已知点． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知y轴上及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上的坐标特征即可解决； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征即可解决． 【小问1详解】 解：因为点在y轴上， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：因为点坐标为且轴， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 22. 已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． 直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案． 【详解】解：的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，而， ，，， 解得：，，， ． 23. 小美计划购买某种水果，通过市场调查得知：在甲店购买水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的关系如图所示；在乙店购买该水果的费用（元）与该水果的质量（千克）之间的函数表达式为． （1）求与之间的函数表达式： （2）现计划用150元购买该水果，选甲、乙哪家店，能购买该水果更多一些？通过计算说明理由． 【答案】（1） （2） 选甲家商店能购买该水果更多一些，理由如下： 当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴选甲家商店能购买该水果更多一些． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求解析式； （2）分别计算时时x的值，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入，得， ∴， ∴； 当时，设，将点，代入，得， 解得， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 略 24. 已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 25. 根据下表回答下列问题： x 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 16 16.81 17.64 18.49 19.36 20.25 21.16 22.09 23.04 24.01 25 （1）17.64的平方根是________，________； （2）物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是．有一个物体从高的建筑物上自由落下，物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】（1）， （2）物体到达地面需要 【解析】 【分析】本题考查了平方根的求解，算术平方根的求解，算术平方根的实际应用，根据表格准确计算是解题关键． （1）根据表格找到时，，时，，即可得出结果； （2）根据题意得到当时，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：时，， 的平方根为， 时，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ， 当时， ， ， 则物体到达地面需要． 26. 如图,直线l 在平面直角坐标系中,直线l与y轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l上． (1)求点C的坐标和直线l的解析式 (2)若将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,请你判断点D是否在直线l上; (3)已知直线l:y=x+b经过点B,与y轴交于点E,求△ABE的面积． 【答案】（1）(-2,1)，y=-2x-3 （2）点D在直线l上，理由： ∵将点C先向左平移3个单位长度,再向上平移6个单位长度得到点D,C(-2,1), ∴-2-3=-5,1+6=7 ∴D的坐标为(-5,7) 代入y=-2x-3时,左边=右边, 即点D在直线l上 （3）13.5 【解析】 【分析】(1)根据平移的性质得到点C的坐标;把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b(k≠0)来求该直线方程 (2)根据平移的性质得到点D的坐标,然后将其代入(1)中的函数解析式进行验证即可 (3)根据点B的坐标求得直线l的解析式,据此求得相关线段的长度,并利用三角形的面积公式进行解答 【详解】(1)∵B(-3,3),将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C, ∴-3+1=-2,3-2=1， ∴C的坐标为(-2,1) 设直线l的解析式为y=kx+c, ∵点B，C在直线l上 代入得 解得k=-2,c=-3, ∴直线l的解析式为y=-2x-3 (2)略 (3)把B的坐标代入y=x+b得:3=-3+b, 解得:b=6 ∴y=x+6, ∴E的坐标为(0,6), ∵直线y=-2x-3与y轴交于A点, ∴A的坐标为(0,-3) ∴AE=6+3=9; ∵B(-3,3) ∴△ABE的面积为×9×|-3|=13.5 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，利用平移的性质是解题关键 27. 【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算： ； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为2．动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M． （1）求直线的解析式． （2）当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． （3）过点Q作轴交直线AB于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值． 【答案】（1） （2） （3）存在，或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据三角形的面积求出，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质表示出，再求出的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解； 对于（3），表示出，再利用勾股定理列式表示出，再求出，然后分三种情况列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， ∴， 解得， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形. ∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度， ∴，， ∴的面积为. ∵点P在线段上运动， ∴， ∴S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 解：t秒时，， 所以，， ， ①若，则， ②若，则， 整理得，， 解得（舍去），， ③若，则， 整理得，， 解得， 此时点P在与点B重合，不合题意舍去， 综上所述，或4时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $