24.2.2.3 切线长定理 课件 2024-2025学年人教版九年级数学上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 第二十四章 圆 24.2.2 直线和圆的位置关系 24.2.2.3 切线长定理 不为失败找借口， 只为成功找方法！ 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点） 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点） 2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 知识回顾 2.圆的切线的判定方法有几种？ （2）数量关系法： （3）判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于经过切点的半径． 1.圆的切线的性质是什么？ （1）定义法： 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 问题1 如图所示，过圆外一点作圆的切线，可以作几条？ 切线长的定义： 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长． 切线长与切线的区别： ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 问题探究 P O A B 问题2 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在一张半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？为什么？ 连接OA,OB， OA=OB OP=OP (HL) 问题探究 P O A B 答：PA=PB，∠APO=∠BPO.理由如下： ∵ PA、PB是⊙O的两条切线 ∴ OA⊥AP,OB⊥PB. 在Rt△AOP与Rt△BOP中，有： ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 由此，你发现了什么？你能归纳吗？ 过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. ∵ PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA=PB， ∠OPA=∠OPB. 如图所示，几何语言表示为: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 切线长定理： 总结归纳 P O A B 切线长问题辅助线添加方法： （1）分别连接圆心和切点； （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； 例 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长. 解:设AF=x，则AE=x. ∴CE=CD=AC-AE=13-x， BF=BD=AB-AF=9-x. 由 BD+CD=BC，可得： (13-x)+(9-x)=14， 解得： x=4. ∴ AF=4，BD=5，CE=9. 典例精析 A B C E F D O PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ⊙O的半径为3. （1）若OP=5，则切线长PA= ； （2）若∠BPA=60°，则OP= . 4 6 练一练 P O A B 问题3 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 问题探究 三角形的内切圆及作法 思考1：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O 最大的圆与三角形三边都相切 问题探究 思考2：如果最大圆存在，那么最大圆的圆心要满足什么条件呢？ 圆心到三角形三边的距离都相等，都等于圆的半径. 思考3：在△ABC的内部,如何找到满足条件的圆心O呢？ 圆心O是三角形的三条角平分线的交点. 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. 则⊙O就是所求的圆. A B C 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. M N O 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. D 问题4 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？ 问题探究 与三角形的三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. ①三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点. ②三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 总结归纳 1.三角形的内切圆： 2.三角形的内心： 3.三角形内心的性质： 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4，∠APB= 40°，则∠APO= ，PB= . 20° 4 P B A O 当堂练习 2.如图，点O是△ABC内切圆的圆心，若∠BAC=80o，则∠BOC= A B C O 第1题 第2题 130° 当堂练习 A B C O 第1题 第2题 160° 3.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BAC=80o，则∠BOC = 4. PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，∠P= 50°， 点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . P B A O 65°或115° 5.如图，△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，已知AF=3，BD+CE=12，则△ABC的周长是 . 30 当堂练习 F D A B C O E 6.如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. A B C O 第5题 第6题 7.△ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l， 求△ABC的面积. 提示：设△ABC的内心为O， 连接OA、OB、OC. A C B E D F O S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO r 当堂练习 △ABC的内切圆半径公式： 8.如图，PA、PB是圆⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°. 求∠APB的度数. 当堂练习 C P B A O 当堂练习 9.如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆， D，E，F是切点． (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果AB=5，AC=3，求内切圆⊙O的半径． A B C E F D O 课 堂 小 结 $$