第2讲 有理数的相关概念 培优提分 课件-2024-2025学年浙教版数学七年级上册

第2讲 有理数的相关概念 1 2 1.数轴的概念:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴的三要素:原点、单位长度、正方向. 2.相反数的概念:只有符号不同的两个数互为相反数. 3.绝对值的概念:某个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值. 4.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大， 3 1.数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.可以用数轴比较数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.相反数的意义：相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点的距离相等. 4 3.绝对值的意义：（1）互为相反数的两个数绝对值相等.（2）绝对值等 于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负 数的数.（3）有理数的绝对值都是非负数. 4.若用字母 表示有理数，则数 的绝对值由字母 本身的取值来确 定： （1）当 是正有理数时， 的绝对值是它本身 当 是负有理数 时， 的绝对值是它的相反数 当 是零时， 的绝对值是零. 5 5.有理数大小比较的常用方法：（1）法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.（2）数轴比较：在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数.（3）作差比较：若 ＞0，则 ＞ ；若 ＜0，则 ＜ ；若 ，则 6 知识点一：相反数与绝对值 （1）如图，数轴上 两点表示的数互为相反数， 且 两点之间的距离为4个单位长度，则点 表示的 数为___. -2 思路点拨 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得点A.B到原点的距离相等，由此可得两个点表示的数. 解题过程 这两个数是 和-2.故答案为-2. 7 （2）如果 ，那么 _ ___. <m></m> 思路点拨 利用绝对值的定义计算即可. 解题过程 故答案为 8 方法提炼 本题考查相反数的定义、数轴的知识以及绝对值的定义，熟记互为相反数的两个数的绝对值相等是解题的关键. 9 已知数轴上点 表示 两点表示的数互为相反数，且 点 到点 的距离是2，则点 表示的数是______. 1或5 10 知识点二：有理数的大小比较 （1）把6.5，-3.5，0，3，-1， 在数轴上表示出来. 思路点拨 画数轴，在数轴上标出数对应的点即可. 解题过程 在数轴上表示如图. 11 （2）请将（1）中的数用“＜”连接起来. 思路点拨 根据数轴上的点表示的数从左向右逐渐增大，用“<”连接即可. [答案] 解题过程-3.5＜-1＜ ＜0＜3＜6.5. 12 （3）观察（1）中所画的数轴，直接写出绝对值小于 的所有整数. 思路点拨 确定出绝对值小于2-的所有整数. [答案] 解题过程数轴上绝对值小于 的所有整数为-2，-1，0，1，2. 13 方法提炼 本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值的定义等，解题的关键是掌握相关概念及方法. 14 已知点 在数轴上的位置如图所示. （1）点 表示的数为___，点 表示的数为___. -4 1 （2）在数轴上表示下列各数：0， ，-2， . [答案] 在数轴上表示如图. 15 （3）把（1）（2）中的六个有理数用“＜”连接起来. [答案] . 16 知识点三：数轴及其简单应用 如图，数轴上有三个点 ，请回答下列问题： 17 （1）将点 向左移动4个单位长度后，哪个字母表示的数最小？是多少？ 思路点拨 找出移动后点 ， ， 表示的数，比较后即可得出结论. 解题过程 移动后，点 表示的数为-3，点 表示的数为-6，点 表示 的数为2. 点 表示的数最小，是-6. 18 （2）将点 向左移动6个单位长度后，这时点 表示的数比点 表示的 数大多少？ 思路点拨 找出移动后点C表示的数，作差后即可得出结论. 解题过程 移动后，点 表示的数为-2，点 表示的数为-4， 点 表示的数比点 表示的数大2. 19 （3）怎样移动点 中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几 种移法？ 思路点拨 分情况讨论，把其中两个点移动到第三个点即可. 解题过程 有三种移法：①点 向右移动1个单位长度，点 向左移动4 个单位长度； ②点 向右移动5个单位长度，点 向右移动4个单位长度； ③点 向左移动1个单位长度，点 向左移动5个单位长度. 方法提炼 本题考查数轴，根据数轴找出点表示的数是解题的关键. 20 如图，在数轴上有 三点. （1）点 表示的有理数的绝对值是___， 两点间的距离是___. 6 7 （2）怎样移动点 的位置，才能使点 到点 的距离相等？此时点 表示的数是什么？ [答案] 点 表示-6，点 表示4， 将点 向左移动2个单位长度，才能使点 到点 的距离相等，此 时点 表示的数为-1. 21 （3）若 是线段 的中点（把线段分成相等的两条线段的点），则 点 表示的数是什么？ [答案] 点 表示 - 6，点 表示 线段 的中点 表示的数为-2.5. （4）数轴上有一个点 ，它表示的数到原点的距离是3，则点 表示的 数是什么？ [答案] 由题意得，点 表示的数为 22 对于有理数 ，若 ，则称 和 关于 的“美好关联数”为 ，例如： ，则2和3关于1的“美 好关联数”为3. （1）-3和5关于2的“美好关联数”为___. 8 思路点拨 认真读懂题意，利用新定义计算即可. 解题过程 故答案为8. 23 （2）若 和2关于3的“美好关联数”为4，求 的值. 思路点拨 利用新定义计算求未知数 . 解题过程 和2关于3的“美好关联数”为4， ，解得 或 （3）若 和 关于1的“美好关联数”为 和 关于2的“美好关联数” 为 和 关于3的“美好关联数”为 和 关于41的“美好关 联数”为 24 ① 的最小值为___. 1 思路点拨 读懂题意列出等式，利用绝对值的几何意义得到答案. 解题过程 和 关于1的“美好关联数”为 在数轴上可以看作数 到1的距离与数 到1的距离和为1. 当 时， 有最小值1.故答案为1. 25 ② 的最小值为_____. 820 思路点拨 由1得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2，4，6，8，…，40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值. 26 解题过程 由题意可知， 的最小值为 ； 的最小值为 ； 的最小值为 ； 的最小值为 ； 的最小值为 的最小值为 故答案为820. 27 方法提炼 本题考查绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，理解数轴上点到点的距离与绝对值之间的关系. 28 1. 的绝对值是( ) A A. B. C.-2023 D.2023 2.关于 这个数在数轴上对应的点的位置描述，正确的是( ) D A.在-3的左边 B.在3的右边 C.在原点与-1之间 D.在-1的左边 29 3.在-23，-5，0，8这四个数中，绝对值最大的数是( ) A A.-23 B.-5 C.0 D.8 4.如图，直径为1个单位长度的圆从点 （点 在数轴上表示的数为1）沿数轴向右滚动一周 后到达点 ，则点 表示的数为 ( ) B A. B. C. D. 30 5.下列说法中正确的是( ) B A.0是最小的数 B.若两个数互为相反数，则它们的绝对值相等 C.最大的负有理数是-1 D.任何有理数的绝对值都是正数 6.若 ，则 _ ___；若 ，则 ____. <m></m> <m></m> 31 7.在数-4，-3，-1，2中，大小在-2和1之间的数的相反数是___. 1 8.如图，点 表示的数为2，若点 也在数轴上，且线 段 的长为4，则点 表示的数为______. -2或6 32 9.（1）画出数轴，把数 ， 表示在数轴上. [答案] ， . 在数轴上表示如下： （2）把（1）中各数用“＞”连接起来. [答案] 根据数轴可知， . 33 10.如图，圆的半径为 个单位长度， 在圆的4等分点处分别标上点 （1）圆的周长为多少？ [答案] 圆的周长为4个单位长度. （2）若该圆在数轴上向右滚动2周，则与点 重合的点表示的数为多少？ [答案] 滚动1周后点 对应的数为3，滚动2周后点 对应的数是7. ，先让圆周上的点 与数轴上表示-1的点重合. 34 （3）若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上（如数轴上表示-2的点与点 重合，数轴上表示-3的点与点 重合 ），那么数轴上表示-2024的 点与圆周上哪个点重合？ [答案] 由图可知，点 对应的数是-1，点 对应的数是-2，点 对应的 数是-3，点 对应的数是-4， 每4个数为一个循环组依次循环. 表示-2024的点对应第506个循环组的第4个 数，即表示-2024的点与圆周上的点 重合. 35 11.如图， 是数轴上从左到右排列的三个点， 表示的数分别为 某同学将刻度尺按如图 B A.-2 B.0 C.1 D.1.5 所示的方式放置，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点 ，发现点 对 齐刻度 ，点 对齐刻度 ，则数轴上点 表示的数 为 ( ) 36 [解析] 数轴的单位长度是 在数轴上 两点的距离是3个单位长度. 点 表示的数 为 故选B. 37 12.若有理数 满足 ，则 ___. 1 [解析] 故答案为1. 38 13.用符号 表示小于 的最大整数，如 下列判 断：① ；② 有最大值是0；③ 有最小值是-1； ④ 其中正确的是______（填序号）. ③④ 39 14.已知 是数轴上的三个点，若点 到原点的距离等于点 到 原点的距离的和的一半，则称点 为点 和点 的“关联点”. （1）已知点 表示1，点 表示-3，数-2，-1，0，2在数轴上对应的点 分别是 ，其中是点 和点 的“关联点”的是点_ ______. <m></m> [解析] 设点 和点 的“关联点”所表示的数为 由题意得 在数轴上对应的点分别是 ， 其中是点 和点 的“关联点”的是点 故答案为 40 （2）已知点 表示3，点 表示 ，点 为点 和点 的“关联点”，且 点 到原点的距离为5，求 的值. [答案] 点 为点 和点 的“关联点”，且点 到原点的距离为5，点 表示3，点 表示 ， 的值为7或-7. 41 15.如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点 ，其中 ，设点 表示的数的和为 42 （1）若点 为原点， ，则点 表示的数为___，点 表示的数 为___， 的值为____. -3 -1 -4. [解析] 点 为原点， 点 表示的数为-1. 点 表示的数为-3. 4. 故答案为-3；-1；-4. 43 （2）若点 为原点， ，求 的值. [答案] 点 为原点， 点 表示的数为 -6，点 表示的数为3. . 44 （3）若原点 到点 的距离为6，且 ，直接写出 的值. [答案] 原点 到点 的距离为 点 表示的数为6或 若点 表示的数为6，则点 表示的数为3，点 表示的数为 若点 表示的数为 -6，则点 表示的数为-9，点 表示的数为 . 综上所述， 的值为6或-30. 45 16.如图，将一根木棒（涂色部分）放在数轴上，数轴的1个单位长度为 ，木棒的左端与数轴上的点 重合，右端与点 重合. 46 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点 时，它 的右端在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它 的右端移动到点 时，它的左端在数轴上对应的数为5，由此可知木棒 的长为___ 5 47 （2）在（1）的条件下，图中点 表示的数为____，点 表示的数为____. 15 10 [解析] 由图可知，图中点 表示的数为 ，点 表示的数为 故答案为15；10. 48 （3）体会（1）和（2）的探究过程，请你借助数轴这个工具帮助小明解决下面的问题： 一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要再过40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”求爷爷现在的年龄、小明现在的年龄. 49 [答案] 参考题图，把小明与爷爷的年龄差看作木棒 ，类似地，爷爷 是小明现在年龄时看作当点 移动到点 时，点 表示的数为 - 40； 小明是爷爷现在年龄时看作当点 移动到点 时，点 表示的数为125， 爷爷比小明大 （岁）. 爷爷现在的年龄为 （岁）. 小明现在的年龄为 （岁）. 爷爷现在的年龄是70岁，小明现在的年龄是15岁. 50 $$