14.3角的平分线（课时1） 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

14.3角的平分线（课时1） 第十四章 全等三角形 人教版（2024） 1 素养目标 2.探索并证明角的平分线的性质定理，并能运用这个定理解决相关问题. 重点 1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力； 重点 2 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 新知导入 在纸上画一个角（如图），思考：怎样得到它的角平分线？ A O B 用量角器度量；也可以将角剪下来用折纸的方法．　　 C 把∠ AOB对折，使得这个角的两边重合；折痕就是∠AOB的角平分线. 3 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. C A B O M N P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. 4 探究新知 【思考】研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？ C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON， 那么△OPM ≌△OPN， 就有 PM = PN. SAS 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探究新知 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. C A B O M N P OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， 所以△OPM ≌△OPN， 因此∠POM =∠PON. 即点 P 在∠AOB 的平分线上. SSS 探究新知 【思考】由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A B O 探究新知 作法：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （3）画射线OC，射线OC即为所求. （2）分别以点M、N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. M N C 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探究新知 A B O M N 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 【思考】为什么以大于 MN的长为半径作弧？ 探究新知 下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系，我们仍研究其中的特殊情形. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 探究新知 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？ P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探究新知 证明 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 这个点到这个角两边的距离相等. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 探究新知 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. C A B O D E P 【分析】证明△OPD≌△OPE PD = PE 探究新知 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 归纳总结 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言： ∵OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的一点， ∴PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E P A O B C D E 15 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 归纳总结 证明一个几何命题时的步骤： 已知：一个点在一个角的平分线上 求证：这个点到角两边的距离相等； 第一步：明确命题中的已知和求证 第二步：根据已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 16 C 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 B 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 6 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 2 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 D 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 C 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 D 分组分解法的教学重点应该放在如何自动化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。分式方程的教学重点应该放在如何手动化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。投影视图的教学重点应该放在如何填充上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。极坐标系在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 小结 角的平分线 （课时1） 尺规作图 性质 作一个角的平分线，依据：SSS 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 谢谢同学们的聆听 练习1 如图所示,是用尺规作图作已知角的角平分线的示意图,则说明 是 的角平分线的依据是( ) A. B. C. D. 解析：连接 , , 从角平分线的作法得出, , , ∵ ,∴ . ∴ ,故选：C. 练习2 如图， 中， ，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 于点E，交 于点F；再分别以点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在 的内部相交于点P；画射线 ，与 相交于点D，则 的大小为( ) A. B. C. D. 解析：∵ ，∴ ， 由作图知， 平分 ，∴ ， 又 ∴ 故选：B 练习3 在 中, ,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交 , 于点E,F；再分别以点E,F为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线 交 于点D,若 ,则点D到 的距离是______. 解析：由题意可知 平分 , ∵ , , ∴点D到 的距离等于D到 的距离, ∴D到 的距离为6,故答案为：6. 练习4 如图,以的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交,于点 , ,再分别以点M和点N为圆心,大于 长为半径画弧(弧所在圆的半径都相等),两弧交于点P.画射线 ,作 于点C,且 ,Q是射线 上一个动点,则 的最小值为______ 解析：由作法得： 是 的平分线, 当 时, 的值最小, , , EMBED Equation.DSMT4 的最小值为2,故答案：2. 练习5 小明自主探究时发现：三角形的一个角的平分线与其对边的高重合时,这个三角形是等腰三角形.他通过证明三角形全等得到结论.请根据他的思路,完成以下作图与证明. (1)用直尺和圆规,作 的平分线,交于点D.(保留作图痕迹) (2)已知在中,是的平分线,.求证：. 解：(1)如图所示： (2)证明：∵ 是 的平分线, ∴ , ∵ ,∴ , 在 和 中, ∴ ,∴ . 练习6 如图,点P是 的角平分线 上的一点,且 于点D, 于点E,若 ,则 ( ) A.2 B. C. D.3 解析：∵点P是 的角平分线 上的一点,且 于点D, 于点E,∴ , ∵ ,∴ ,故选：D. 练习7 如图， 平分 ， 于点E， ， ，则 的面积等于( ) A.28 B.21 C.14 D.7 解析：作 交 的延长线于F， 平分 ， ， ， ， 的面积 ，故选：C. 练习8 如图； 平分 , 于点F,点D在 上, 于点H,若 , , ,则 的长为( ) A. B.5 C.7 D. 解析：作 于N, 平分 , , , , , , 解得, ,故选：D. $$