一元二次方程、不等式重点考点训练-2026届高三数学一轮复习

一元二次方程、不等式重点考点精练 一、单选题 1．已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．“”是“函数的值域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”是“方程”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 8．已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．已知函数，下列命题正确的是（   ） A．是偶函数 B．若，，则a的取值范围是 C．的解集是 D．若直线与的图象有4个交点，则的取值范围是 12．设集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程的两根，则这组样本数据的方差是 . 14．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 15．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 四、解答题 16．某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 17．已知函数，且. (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求m的取值范围. 18．已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 19．设． (1)若，求的最小值； (2)解关于的不等式. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D B C D A D AD 题号 11 12 答案 AC ACD 1．D 将问题转化为在上恒成立，从而得解. 不等式的解集为空集， 不等式在上恒成立， ，， 即的取值范围是. 故选：D. 2．C 先求集合，根据集合的并集运算即可求解. 由题意有，， 所以， 故选：C. 3．A 验证充分性，当时，，所以函数的值域为R，即具有充分性；再验证必要性，若函数的值域为R，则对于二次函数，其判别式非负，由此可解得，可得答案. 若，因为，所以函数的定义域为， 故，所以函数的值域为R， 即“”是“函数的值域为R”的充分条件； 若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含， 即，解得或， 即“”不是“函数的值域为R”的必要条件， 综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D 解不等式可得集合，再由补集和子集的运算可得实数的取值范围. 因为或， 所以或， 所以， 又，且， 所以， 所以实数的取值范围为， 故选：D. 5．B 求出不等式及方程的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 不等式解集为，而， 当且仅当，即时取等号，因此方程的解集为， 又是的真子集，所以“”是“方程”的充分不必要条件. 故选：B 6．C 分类时，分别得出解析计算求参. 不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 7．D A，根据一元二次方程两实根可得，列出不等式，求解即可得出充要条件，再根据包含关系得到A正确；B，由已知可知判别式条件及两根之积为负列出不等式组，求解即可；C项，由已知可知判别式条件及两根之和以及两根之积为正列出不等式组；D项，由已知可知判别式条件列出不等式，求解即可． A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 8．A 解不等式求得集合，由已知可得，进而可求得的取值范围. 由，可得，解得，所以， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：A. 9．D 由题意在上恒成立，记，按照、、、和分类讨论，根据导数判断单调性，然后利用最小值大于等于0列不等式求解参数范围即可. 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 记，则， 当时，，所以在单调递增，显然成立； 当时，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 当时，， 若即，令得或， 令得， 所以在和单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足恒成立； 若即，令得， 令得， 所以在单调递增，在上单调递减， 又，显然不满足恒成立； 若即，，所以在单调递增， 则，化简得， 即，所以，所以； 综上，的取值范围为. 故选：D 10．AD 是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 11．AC 选项A根据偶函数的定义判断即可；选项B先转化为，进而由图象确定最小值即得；选项C分别求和时，即可；选项D由图象确定直线与的图象有4个交点时的取值范围. 选项A：函数的定义域为， ，所以是偶函数，A正确． 选项B：由，可知， 函数的图象如图所示． 当时，，所以，B错误． 选项C：当时，由，解得，当时，由，解得， 故的解集是，C正确． 选项D：若直线与的图象有4个交点，则，D错误． 故选：AC 12．ACD 先根据交集得出一元二次不等式的解集，进而结合韦达定理计算判断各个选项. 由题可得集合，且， 所以方程的两根，满足，. 由韦达定理可知，，即，选项A正确，选项B错误. .选项C正确. 从而，即.选项D正确. 故选：ACD. 13．8 由求出，利用方差公式即可求. 由可得或， 因为a、b是方程的两根， 不妨设，， 所以样本平均数为， 故样本方差为：. 故答案为：8 14．0 利用平面向量的数量积将模的运算转化为数量积运算，即，得到对任意恒成立，进而，化简得，从而求得结果. 由得， 所以， 所以对任意恒成立， 所以，即， 所以，所以，所以． 15． 设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 16．(1) (2) （1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 17．(1)1 (2) （1）根据，即可由对数运算代入求解. （2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解. （1）因为， 所以, 因为，所以， 则. （2）由（1）可知，等价于. 令，则， 原不等式等价于在上恒成立， 则，解得， 故m的取值范围为. 18．(1) (2) （1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 19．(1)4； (2)答案见解析； （1）由，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. （2）由题设，则， 若，则，即，解集为； 若，则，解集为； 若，则， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为； 时解集为； 时解集为； 时解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$