2025年暑假初中数学人教版八年级下册综合训练

测试题 一、单选题 1．已知 ，则的值为（　　） A． B．27 C． D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．为了迎接即将到来的“”大促，某直播间提前试销部分产品，根据下表，对大促期间“备货量分布”最具有参考意义的是（    ） 购物袋编号（号） 1 2 3 4 5 6 7 累积销量（千件） 10 1 5 50 9 12 8 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容． 如图，四边形是平行四边形， ①当※时，平行四边形是矩形．    ②当时，平行四边形是矩形． ③当▲时，平行四边形是菱形．    ④当时，平行四边形是正方形． 则回答不正确的是（    ） A．※可以代表 B．◎可以代表 C．▲可以代表 D．可以代表 5．如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点．四个结论：①；②；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 7．如图，在M、N、P、Q四个点中，一次函数y＝kx+b，若b＝﹣3，k＞0，则图象不可能经过的点是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，，与交于点G，与交于点H．若，，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D．16 9．如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，点G，H在对角线上．若四边形是菱形，则的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 10．如图，在中，，点是斜边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 11．“五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有（    ）千米． A．12 B．24 C．146 D．164 12．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（    ） A．13 B．52 C．120 D．240 二、填空题 13．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 14．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则二元一次方程组 的解是 ． 15．某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是 ．    16．如图，在长方形中，，，E是边上一点，将长方形沿折在点处，当是直角三角形时，的长为     三、解答题 17．计算： （1） （2） 18．如图，中，． (1)作的垂直平分线交于D，交于E（保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的长． 19．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛．现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息． 甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82 乙班20名学生的比赛成绩是： 55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100 甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 甲班 81 a 95 乙班 81 80 b    根据上述信息，解答下列问题： (1)请直接写出上述表中的　 　，　 　，　 　； (2)你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可）； (3)若此次比赛成绩不低于80分为优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少． 20．如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且连接、、， (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当满足________条件时，四边形是矩形． ②当满足________条件时，四边形是菱形 21．如图，直线与y轴交于点，直线分别与x轴交于点，与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接． (1)求两直线交点D的坐标； (2)根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围_______； (3)求的面积． 22．如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的长为________． 23．共享电动车是一种新理念下的交通出行工具，主要面向的出行市场．现有，两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了费用（单位：元）与骑行时间（单位：）的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌收费方式对应．请根据相关信息，解答下列问题． (1)填表． 骑行时间 品牌收费元 品牌收费元 (2)填空． 骑行品牌共享电动车后，每分钟收费________元； 如果张叔叔每天早上需要骑行品牌或品牌共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，张叔叔家距工厂，那么张叔叔选择________品牌共享电动车更省钱（填“”或“”）． (3)直接写出，关于的函数解析式，并求出两种品牌共享电动车收费相差元时的值． 24．综合与实践 《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】 （1）如图1，点，分别为，的中点，若点与点重合，点的对应点为点，当点落在上时，展开纸片，连接交折线于点，则与的位置关系为________，与的数量关系为________，的大小为________； 【再次探究】 （2）如图2，若点在上，点的对应点为点，点的对应点为点，若点始终落在上，展开纸片，连接交折线于点，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点在上，点的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A B C C C B 题号 11 12 答案 B C 1．A 本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件得到，则，据此求出的值，即可得到答案． 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．C 根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 解：A、，则此项不是最简二次根式，不符题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符题意； 故选：C． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．C 本题考查了平均数、中位数、众数、方差的概念及实际意义，熟记知识点是解题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对大促期间“备货量分布”最具有参考意义的是众数． 解：商家关心的是哪个购物袋编号卖的最多，所以对大促期间“备货量分布”最具有参考意义的是众数． 故选：C． 4．D 本题主要考查了矩形，菱形，正方形的判定定理，熟知矩形，菱形，正方形的判定定理是解题的关键. 解：①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故①回答正确，不符合题意； ②∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故②回答正确，不符合题意； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故③回答正确，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不一定是正方形，故④回答错误，符合题意； 故选：D。 5．A 先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 解：， ， ∵根据网格特点可知，为直角三角形， ∴边上的高为：，故A正确． 故选：A． 本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键． 6．B 根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 解：直线经过第二、四象限， ，故①错误； 与轴交点在正半轴， ，故②正确； 正比例函数经过原点，且随的增大而减小， 当时，；故③正确； 当时，正比例函数在一次函数图象的上方，即，故④错误． 故选：． 此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 7．C 由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 解：在y=kx+b，b=-3，k＞0， ∴一次函数图象一定经过第一、三、四象限，不经过第二象限， ∴其图象不可能经过P点， 故选：C． 本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在y=kx+b中，①k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限，②k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限，③k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，④k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限． 8．C 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 解：∵两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，， ∴，，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形的面积． 故选：C． 9．C 本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，连接，交于点O，易证得，即可得，，可证明垂直平分，得到，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：如图，连接，连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 10．B 本题考查动点最值问题-点到直线的距离垂线段最短，涉及矩形的判定与性质、勾股定理及等面积法求线段长等知识，连接，如图所示，由矩形的判定与性质得到，将问题转化为求最小值问题，由于是斜边上一动点，为平面内一定点，由点到直线的距离垂线段最短可知，当时，有最小值，先由勾股定理求出斜边，再由等面积法求出垂线段即可得到答案．熟练掌握动点最值问题-点到直线的距离垂线段最短的解题方法是解决问题的关键． 解：连接，如图所示： ，，， 四边形是矩形， 则，即则的最小值为最小值， 是斜边上一动点，为平面内一定点， 当时，有最小值，如图所示： 在中，，则由勾股定理可得， ， 则，解得， 此时，的最小值为， 故选：B． 11．B 本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式和函数值的求解，要注意求的是离目的地的距离，这也是本题容易出错的地方． 设段图象的函数表达式为，利用待定系数法求一次函数解析式求出函数表达式，再把代入进行计算求出行驶的路程，再用全程减去行驶的路程计算即可得解． 解：设段图象的函数表达式为， 函数图象经过点，， ， 解得， ， 当时，， 千米． 故选：B． 12．C 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 解：∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝24， ∴菱形的面积=， 故选：C． 本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半． 13．（答案不唯一） 本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 14． 本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 解：由图象可知，二元一次方程组 的解是． 故答案为：． 15．22.5元 根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价． 解：这天销售的四种商品的平均单价是： 50×10%+30×15%+20×55%+10×20%=22.5（元）， 故答案为：22.5元 本题考查了扇形统计图及加权平均数，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义． 16．3或6 本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 当为直角三角形时，有两种情况：情况一，当时，可知点三点共线，先由勾股定理可求出，进而求出，设，则，，再根据勾股定理即可求解；情况二：当时，可知此时为正方形，即可得． 解：当为直角三角形时，有两种情况： 情况一：当时，图形如下， ∵是折叠得到， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴，解得：， ∴； 情况二：当时，图形如下， 此时为正方形， ∴； 综上所述，的长为3或6， 故答案为：3或6． 17．（1） ；（2） ． （1）首先对原式化简，然后利用二次根数乘法法则计算，再合并同类二次根式即可求解； （2）应用平方差公式对原式化简，然后利用乘法法则计算即可． （1）原式= = = = = （2）原式= = = 本题考查平方差公式和二次根式的乘法运算，熟练掌握乘法法则和平方差公式是解题的关键． 18．(1)见解析 (2) 本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交，再过两弧交点作直线即可得线段垂直平分线，交于点D，交于点E； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． （1）解：如图，即为所求作的垂直平分线． （2）解：∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 则， 解得：， ∴． 19．(1)，，； (2)甲班学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析； (3)人； （1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． （1）解：甲班A、B、C组人数之和为（人）， D组数据重新排列为：80，82，83，84，84，84， 所以甲班成绩的中位数， 乙班成绩的众数， ，即， 故答案为：，，； （2）解：甲班学生掌握垃圾分类知识较好， 因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班， 所以甲班高分人数多于乙班； （3）解：（人）， 答：估计全年级人中优秀人数为人． 本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 20．(1)见解析 (2)①（答案不唯一）；② 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，因为，所以，再结合，即可得证； （2）①当满足时，四边形是矩形，由平行四边形的性质得，因为，所以，再结合四边形是平行四边形，即可得证； ②当，证明，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证． （1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） ②当时，四边形是菱形 证明：四边形是平行四边形， ， ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 四边形是菱形． 故答案为：．（答案不唯一）． 21．(1) (2) (3) （1）将代入，即可求出m的值，将代入即可求出k的值，联立求D的坐标； （2）由图可直接得出时自变量x的取值范围； （3）由可知，C点坐标为，分别求出和的面积，相加即可． （1）解：将代入得，， ∴； 将代入得， 解得：， ∴， 联立：， 解得：， 故D点坐标为； （2）解：根据函数图象可知：当时，函数的图象在函数图象的下面， ∴当时，自变量x的取值范围为：； （3）解：把代入得， ∴C点坐标为， ∵， ∴， ∴． 本题主要考查了两函数的交点问题，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． 22．(1)见解析 (2) 本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形，菱形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可证，可得，再根据菱形的证明方法即可求解； （2）根据矩形，勾股定理可得，由菱形的性质可得，设，则，在中，运用勾股定理可得即，在中，运用勾股定理可得，可得，由此即可求解． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 故答案为： 23．(1)；；；； (2)；； (3)两种品牌共享电动车收费相差元时的值是或． 本题考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答解答． （）根据函数图象可知，品牌分钟后收费的钱数，进而得出品牌每分钟收费；品牌分钟以及分钟后收费的钱数，进而得出B品牌每分钟收费； （） 由（）可知品牌分钟后，每分钟收元； 先求上班时间，再结合图象进行判断即可； （）根据函数图象中的数据，利用待定系数法求出，品牌的函数关系式，再通过图象分情况列出相应的方程求解即可． （1）解：对于品牌每分钟骑行的费用为：（元）， ∴骑行分钟的费用为：（元），骑行分钟的费用为：（元）； 对于品牌，由图象可知，骑行分钟的费用为元；骑行分钟后每分钟的费用为：（元）， ∴骑行分钟后的费用为：（元）， ∴填表如下： 骑行时间 品牌收费元 品牌收费元 故答案为：；；；； （2）解：品牌骑行分钟后每分钟的费用为：（元）， 故答案为：； 张叔叔上班骑行时间为（min）， 根据函数图象，此时选择品牌共享电动车更省钱， 故选：； （3）解：设的解析式为， 把代入得，解得，， ∴关于的函数解析式为， 当时，； 当时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，两种品牌共享电动车收费相差元， 则， 解得； 当时，两种品牌共享电动车收费不能相差元； 当时，两种品牌共享电动车收费相差元， 则， 解得； 综上所述，两种品牌共享电动车收费相差元时的值是或． 24．（1）；； ；（2）四边形是菱形．理由见解析；（3）长的取值范围是 （1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， ∵点，分别为，的中点， ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形 ∴垂直平分 ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 故答案为：；， （2）四边形是菱形．理由如下： 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，， 垂直平分， ，， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， 长的最大值为4； 如图，当点与点重合时，的长最小， 设，则， 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ，，，， ， ， ， ， ； 解得：， 长的最小值为， 长的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$