第二章一元二次函数、方程和不等式章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.4第二章 一元二次函数、方程和不等式章末综合测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知命题：，：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，，则的最小值 A． B． C．2 D． 7．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 8．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 10．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．不等式对一切实数恒成立，则 D．“”是“”的一个必要不充分条件 11．下列命题正确的是（    ） A．已知全集，，则 B．若不等式的解集是或，则的值分别是 C．不等式恒成立的条件是 D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 13．已知，且，则的最小值为 ． 14．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 四、解答题 15．(1)已知 ，，求的取值范围； (2)已知，为正数，且，求证：． 16．已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数的取值范围; (2)求解集 17．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 18．二次函数的顶点M是一次函数和图像的交点． (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与一次函数的图像总有两个不同的交点． 19． 集合，B＝{x|}； （1）求集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 2.4第二章 一元二次函数、方程和不等式章末综合测试 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：取值说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 解析：对于A，当，，，时，，，此时，A错误； 对于B，当，，，时，，，此时，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，当，，，时，，，此时，D错误. 故选：C 2．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 分析：利用基本不等式即可求解. 解析：因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 3．不等式 的解集是（   ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据条件，利用分式不等式的解法，即可求解. 解析：由，得到，整理得到， 等价于且，解得， 故选：C. 4．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案:B 分析:由题可得，，，据此可得答案. 解析：由题可得，是真命题。 当时，不等式显然成立. 当时，由题意可知不等式的解集为R， 所以.综上可得. 故选：B 5．已知命题：，：或，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：利用充分条件、必要条件、充要条件的定义、一元二次不等式的解法运算分析即可得解. 解析：由题意，， 当时，不等式即，解得：或； 当时，不等式即，解得：或； ∴：或或或， ∴当或时，一定有； 但当时，不一定有或； 即，但不能，即是的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知，，，则的最小值 A． B． C．2 D． 答案：C 分析：依题意，对进行化简，得，再利用分离常数法和构造出倒数形式， 最后利用基本不等式，求出最小值. 解析：由题可知，，则， 又因为，， 所以， ，当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 点睛：本题考查了变形利用基本不等式的性质求两数和的最小值，其中还涉及分离常数法，属于中档题. 7．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．不等式的解集是 答案：C 分析：根据给定的解集可得且，再代入各个选项即可判断正误. 解析：因为关于的不等式的解集是， 则，且1，3是方程的两个根， 于是得，解得， 对于A，由，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，不等式化为， 即，解得或，故D正确. 故选：C. 8．关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：分别求解两个不等式，就第二个含参的不等式分类讨论其解集，借助于数轴表示即可求得参数的范围. 解析：由，可得或；由 ，可得（*）. ① 若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ② 若时，则由（*），可得，显然不符合题意； ③ 若时，则由（*），可得， 此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即. 综上可得，实数的取值范围 故选：B. 二、多选题 9．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（ ） A．最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为4 答案：ABC 分析：选项、可直接利用基本不等式求得最值，选项、可以先乘再求其最值. 解析：因为，所以，当且仅当，即，时成立，正确； 对于，， 当且仅当，即，时成立，正确； 对于，， 当且仅当，即，时成立，正确； 对于，， 当且仅当，即时成立，错误. 故选： 10．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．不等式对一切实数恒成立，则 D．“”是“”的一个必要不充分条件 答案：BD 分析：对于A选项，通过给代入特殊值即可判断；对于B选项，利用不等式的可乘性，可加性证明即可判断；对于C选项，要对二次项系数要分两种情况讨论，即可判断，对于D选项，先解出不等式，再按照必要不充分条件的定义即可判断. 解析：对于A选项，当时，，故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得，故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式可化为，恒成立， ②当时，须满足，解得， 综上①②可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件，故D正确，是真命题； 故选：BD 11．下列命题正确的是（    ） A．已知全集，，则 B．若不等式的解集是或，则的值分别是 C．不等式恒成立的条件是 D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 答案：ABC 分析：由不等式和补集的运算可得A正确；由一元二次不等式的解可得B正确；利用二次函数的性质，令判别式小于零可得C正确；举反例令可得D错误. 解析：对于A：已知全集，或， 则，故A正确； 对于B：由已知得，， ，，故B正确； 对于C：不等式恒成立，则，解得，故C正确； 对于D：若不等式对一切恒成立 当时，不等式即为恒成立，故满足，故D错误； 故选：ABC 三、填空题 12．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 答案： 分析：根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质 即可求解. 解析：由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 13．已知，且，则的最小值为 ． 答案：4 分析：根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 解析：，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 点睛:本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14．关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 答案： 分析:由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 解析：由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 四、解答题 15．(1)已知 ，，求的取值范围； (2)已知，为正数，且，求证：． 分析：(1)根据不等式的性质运算即可； (2)运用基本不等式即可证明. 解析：（1）由题意， ， ， ， ∴ ； 所以 的取值范围是 . （2） ， 当 时，即 时等号成立；所以成立。 16．已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数的取值范围; (2)求解集 分析：（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得. （2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 解析：（1）由于，所以 即 解得：； 所以实数取值范围是： . （2）依题意 当时，不等式转化为，解集为空集,即不等式的解集M=. 当时，不等式转化为，即不等式的解集M=. 当时，不等式转化为，即不等式的解集M=. 17．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数、的值； (2)若，求此不等式的解集. 分析：（1）分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数、的值； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 解析：（1）解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以， 由韦达定理可得，解得. （2）解：因为，原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两个根分别为、. ①当时，解不等式可得或； ②当时，若时，即，即时， 解不等式可得； 若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为； 若时，即，即当时，解不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 18．二次函数的顶点M是一次函数和图像的交点． (1)用含m的代数式表示顶点M的坐标； (2)①当时，的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若，且x满足时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围； (3)试证明：无论m取任何值，二次函数的图象与一次函数的图像总有两个不同的交点． 分析：（1）已知直线和直线，列出方程求出，，即可求出点的坐标； （2）①根据题意得出，解不等式求出的取值； ②当时，当时，二次函数，解不等式组即可求得的取值范围； （3）根据一元二次方程根的判别式进行判断． 解析：（1）由题意得，解得， ； （2）①根据题意得，解得， 的取值范围为； ②当时，顶点为， 抛物线为，函数的最小值为2， 满足时，二次函数的最小值为2， ，解得； （3）， 得， ， 抛物线的顶点坐标既可以表示为，又可以表示为． ，， ， ， ， 无论取任何值，二次函数的图象与一次函数的图像总有两个不同的交点． 20． 集合，B＝{x|}； （1）求集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 分析：（1）解分式不等式即可得集合A； （2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解； （3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围 解析：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3 ∴ （2）t＞2， 当且仅当t＝5时取等号，故 即为：且a＞0 ∴，解得 故B＝{x| } （3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而可得： a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去 a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去 a＜0时，解得或 ∵A⊆B ∴，解得 ∴a、b 的取值范围分别是:, 点评：本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$