第五章 三角函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修1学习材料---三角函数 三角函数概念及定义 考点一：角的概念 ①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）． ②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． ③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． ④象限角的集合表示方法： 考点二：弧度制的概念 ①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． ②角度制和弧度制的互化：,,． ③扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 注：（1）弧度与角度的换算公式 （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π 考点三：任意角的三角函数 ①定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． 考点四：任意角三角函数的性质如下： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 题型一：与角终边相同的角的集合的表示 【例1】与终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与终边相同的角可表示为. 【详解】∵， ∴与终边相同的角是. 故选：D 【例2】下列说法中正确的是（       ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可. 【详解】对A选项，如，故A错误. 对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误. 对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确. 对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误. 故选: C. 【例3】已知，则角的终边落在的阴影部分是（       ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 【题型专练】 1.下列各角中，与 角终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，即可确定答案. 【详解】因为，故角的终边与的终边相同， 故选：A 2.与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解 【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为， 故答案为：222°（答案不唯一） 3.（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可. 【详解】 根据和的终边关于轴对称时可知， 选项B中，符合题意；选项D中，符合题意； 选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称. 故选：BD. 4.若，，则角与角的终边一定（       ） A．重合 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【答案】C 【分析】根据角与角的终边关于x轴对称即可得解. 【详解】解：因为角与角的终边关于x轴对称，所以角与角的终边一定也关于x轴对称． 故选：C 题型二：判断等分角的象限问题 【例1】若，则的终边在（       ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 分和讨论可得角的终边所在的象限. 【详解】 解：因为，所以 当时，，其终边在第三象限； 当时，，其终边在第一象限. 综上，的终边在第一、三象限. 故选：A. 【例2】若是第二象限角，则（       ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C． 【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角， 所以是第一象限角，故A正确，D错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，， 故是第一或第三象限角，故 B正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误． 故选：AB． 【题型专练】 1.角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可. 【详解】 ∵角的终边在第一象限， ∴，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限， 当时，此时的终边落在第二象限， 当时，此时的终边落在第三象限， 综上，角的终边不可能落在第四象限， 故选：D. 题型三：扇形的弧长、面积公式的计算 【例1】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【解题思路】（1）由扇形弧长公式计算； （2）由扇形面积公式及二次函数求最值即可. 【解答过程】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 【例2】某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角． (1)求弧长； (2)求花坛的面积． 【解题思路】（1）根据弧长公式求解即可. （2）根据扇形的面积公式，把花坛面积看成两个扇形面积的差即可. 【解答过程】（1）弧长米 （2）花坛面积 平方米. 【题型专练】 1.已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________. 【答案】4 【分析】利用弧长公式直接求得. 【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r， 由弧长公式可得：，解得：. 故答案为：4 2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（       ） A．1 B．4 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误. 故选：AB． 3.已知扇形的圆心角为，弦长，则扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长. 【详解】扇形的半径， 所以扇形的弧长等于. 故选：B 题型四：任意角三角函数的定义 【例1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义即可求出． 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以根据三角函数的定义可知，． 故选：C． 【例2】已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义求得值． 【详解】由题意，解得． 故选：C． 【题型专练】 1.已知是角终边上一点，且，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可. 【详解】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限， 所以，， 整理得：，因为，所以. 故选：D. 2.已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可得解. 【详解】解：因为角的终边经过点， 所以. 故选：A. 3.已知角的终边上有一点，且，则m的值为______． 【答案】或0 【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解. 【详解】由题意可知，解得或0． 故答案为：或0 题型五：三角函数值的正负判断 【例1】若满足，则的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可. 【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限. 故选：C. 【例2】若角是第四象限角，则______． 【答案】－1 【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y值. 【详解】因为角是第四象限角，所以，，， 所以． 故答案为：-1. 【例3】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况. 【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；； 故选：BCD． 【例4】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据题意得出、，然后得出，即可得出结果. 【详解】 因为点在第三象限， 所以，， 则，角的终边在第二象限， 故选：B. 【题型专练】 1.已知点在第三象限，则角在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D. 2.“角是第一或第三象限角”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件. 若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件. 综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.故选:C. 3.如果，且，则的化简为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 由，且，得到是第二象限角，由此能化简． 【详解】 解：∵，且，∴是第二象限角， ∴． 故答案为：． 4.已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要 【答案】B 【解析】 【分析】 利用定义法进行判断. 【详解】 充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足； 必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立. 故选：B. 同角三角函数基本关系式及诱导公式 考点一：同角三角函数基本关系 ①平方关系：． ②商数关系：； 考点二：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限 注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作； ②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； ③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型一：同角三角函数公式求值 【例1】已知角为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求即可. 【详解】 因为是第二象限角， 所以，， 由，，可得：. 故选：A. 【例2】已知，是第三象限角，求，的值. 【答案】;; 【解析】因为，是第三象限角， 所以，. 【题型专练】 1.已知，则___________． 【答案】 【解析】， ， ， ． 故答案为：． 2.下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A．且 B．且 C．且 D．（为第二象限角） 【答案】B 【解析】对于A选项，由同角三角函数关系，，不成立，故A错误； 对于B选项，当时成立，故B正确； 对于C选项，若且成立，则由与矛盾，故C错误； 对于D选项，由同角三角函数关系，，故D错误. 故选：B 题型二： 弦的齐次式问题 【例1】已知角的终边过点，求： ①；②；③ 【答案】①；②；③. 【解析】①因为角的终边过点，所以，， 由三角函数的定义可得： ②， ③. 【例2】已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ） A．0 B． C． D．5 【答案】D 【解析】由条件可知，，所以， 解得：， 所以， . 故选：D 【题型专练】 1.已知，则的值为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则有， 所以的值为. 故选：B 2.若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 由同角三角函数基本关系可得， 解得：， 所以， 故选：B． 题型三： 知一求二问题 【例1】已知 ，且 ，给出下列结论： ①； ② ； ③； ④ . 其中所有正确结论的序号是（       ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由 ，且，将等式两边平方可得，可判断，即可判断①②③；继而利用求得，判断④，可得答案. 【详解】∵, ， 等式两边平方得 ， 解得，故②正确； ∵，， ∴，,故①正确，③错误； 由可知， ， 且 ， 解得，故④正确， 故选：A 【题型专练】 1.已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以，故， 所以. 故选：A 2.已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】 ，，，，， ，所以. 故选：C 3.（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】①， ，即， ， ，，， ，故A正确； ， ②，故D正确； ①加②得，①减②得，故B正确； ，故C错误. 故选：ABD． 题型四：诱导公式化简求值 【例1】(1)计算：； (2)化简：. 【答案】(1)2；(2)1. 【解析】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得， (2) 由诱导公式可得， 【例2】已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____. 【答案】18 【分析】由已知求得sinθ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【详解】由，可得， ∴ . 故答案为：18. 【题型专练】 1.（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式：先根据，再根据运算求解． 【详解】 故选：B． 2.（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项. 【详解】, 故选：B. 3.已知. (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求； （2）由，再由诱导公式求得求的值． （1） 解：. 因为，所以， 又角是第三象限角，所以， 所以. （2） 解：因为，所以. 题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用 【例1】已知，且是第二象限角，则的值等于_______ 【答案】 【解析】，且是第二象限角，， ．故答案为：． 【例2】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案. 【详解】因为，所以， 所以, 故选:A. 【题型专练】 1.已知，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以， 则故答案为： 2.已知，且，则________． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，， 所以，， 所以． 故答案为：． 题型六：换元法、角的拼凑 【例1】若则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式计算可得； 【详解】 解：因为， 所以， 故选：B. 【例2】已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：∵，， ∴由诱导公式可得，， 故选：B. 解法二：换元法，设，则，，所以 【例3】若，则__________． 【答案】 【解析】因为， 故答案为： 【题型专练】 1.当时，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵∴，∴， ∴． 故选：B 3.（多选）已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，可得， ， ， ． 故选：BD 三角函数的图象与性质 题型一：五点法作图 【例1】用五点法作下列函数的图象： （1）； （2）． 【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析. 【解析】(1)列表： x 0 y=sinx 0 -1 0 1 0 描点，连线，画图如下： (2)列表： x 0 y=cosx 1 0 -1 0 1 描点，连线，画图如下： 【例2】当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）；（2）；（3）. 【答案】答案见解析 【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出； （2）作出图象，根据图象观察即可解出； （3）作出图象，根据图象观察即可解出． 【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象. （2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 【例3】已知函数. (1)画出函数在上的图象. (2)这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由. (3)指出函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)是周期函数，最小正周期为 (3)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）去绝对值化简函数，即可画出函数在上的图象； （2）由图象可以得到函数的最小正周期； （3）由图象可以得到函数的单调区间； （1）. 函数在上的图象如下： （2）由图象，可知该函数是周期函数，最小正周期为. （3）由图象，可知单调递增区间为， 单调递减区间为. 【题型专练】 1.作出函数，的大致图像． 【答案】图见解析 【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可. 【详解】函数， 其图如下所示： 2.分别作出函数和的图像． 【答案】见解析 【分析】利用函数图像的翻折变换可作图． 【详解】的图像为将在轴下方的图像沿轴翻折所得； 的图像为在轴右方的图像不变，再将轴右方的图像沿轴翻折所得，故有：         【点睛】本题主要考查了根据绝对值有关的函数图像翻折问题，属于基础题. 3.与图中曲线对应的函数可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，当时，，C选项不满足条件； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，D选项满足条件. 故选：D. 题型二：解三角不等式 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，函数图象如下所示： ，不等式的解集为：．故选：． 【例2】函数的定义域是________. 【答案】 【解析】由得， 作出的图象和直线， 由图象可知的解集为， 故答案为：. 【题型专练】 1.在上，满足的的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出和在的函数图象， 根据函数图象可得满足的的取值范围为. 故选：C. 2.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 解得． 所以函数的定义域是. 题型三： 求三角函数的周期 【例1】下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，最小正周期，故错误； 对于B，最小正周期，故正确； 对于C，最小正周期，故错误； 对于D，最小正周期，故错误. 故选：B 【例2】下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 但不是周期函数，排除①； ②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 最小正周期是，②正确； ③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数， 最小正周期为，③正确； ④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④. 故选：B. 【例3】函数的最小正周期为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由周期求出，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以， 得， 所以． 故选：A 【题型专练】 1.在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ） A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解析】∵=，∴==； 图象是将=在轴下方的图象对称翻折到轴上方得到， 所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C. 2.若函数的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________． 【答案】19 【解析】因为函数的周期不大于1，所以，解得， 所以正整数k的最小值为19，故答案为：19 3.函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出的周期，进一步利用的周期为的周期的一半求出结论． 【详解】函数的周期为： 由于的周期为的周期的一半. 所以的周期为： 故选：A 题型四：三角函数对称性 【例1】下列直线中，函数的对称轴是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为且，进而判断各项是否为对称轴即可. 【详解】 令且，则对称轴方程为且， 显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、. 故选：B. 【例2】函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，， 当时，，易知C错误，D正确；故选：D 【例3】若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】当时，，即，， 解得，，故当时，取最小值. 【题型专练】 1.设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得 所以，所以当时，，不是函数的对称轴，故错误； 当时，，是函数的对称轴，故正确； 当时，，不是函数的对称轴，故错误； 当时，，不是函数的对称轴，故错误； 故选：B 2.如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，则，解得， ∴当时，的最小值为. 故选：B 3.函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得． 所以当时，，故满足条件， 当时，，故满足条件；故选：D 题型五：三角函数的奇偶性 【例1】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四个函数的最小正周期都是， 是奇函数， 是偶函数， ，时，，函数图象不过原点，也不关于轴对称，既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数．故选：A． 【例2】对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ） A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心 B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴 C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴 D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心 【答案】D 【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，如下图所示： 由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对； 对于B选项，如下图所示： 由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对； 对于C选项，如下图所示： 由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对； 对于D选项，如下图所示： 由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错. 故选：D. 【例3】下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，由，不是奇函数； 对B，由，不是奇函数； 对C，由，不是奇函数； 对D，由，又的定义域为关于原点对称，所以D正确． 故选：D 【题型专练】 1.函数（ ） A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 因为的图象将的图象在轴左边的去掉，轴右边的关于对称后与轴右边的共同组成的图象，如图所示，不具有周期性，故选：D 2.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确， 对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误， 对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，故选：AC 3.已知函数是偶函数，若，则_________ 【答案】 【解析】因为函数是偶函数，， 又， 故答案为： 题型六：三角函数的单调性 【例1】已知函数，则（       ） A．为偶函数 B．在单调递减 C．的最小正周期为 D．在有且仅有2个零点 【答案】ACD 【分析】对于A：代入整理结合诱导公式得即可判断；对于C：代入；对于B、D：先求的范围，结合正弦函数图像理解判断． 【详解】是偶函数，A正确； 的最小正周期，C正确； ∵，则，显然正弦函数在不是递增函数，B不正确； ∵，则，正弦函数在有且仅有2个零点，D正确； 故选：ACD． 【例2】函数单调减区间为_________ 【答案】 【解析】正弦函数的单调递减区间为， 由，得， 记，则，故答案为：. 【例3】下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断. 【详解】在上不单调，故A错误； 为奇函数，故B错误； 图象如下图： 故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确； 最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确. 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为_________ 【答案】 【解析】，所以， 解得，所以单调递增区间为 故答案为： 2.函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的单调递增区间为， 所以，解得， 所以函数的单调增区间为.故选：B 3.已知函数.则函数的单调递减区间是___________. 【答案】 【解析】∵的减区间是， ∴， 得出， ∴的递减区间是. 故答案为： 题型七：三角函数的值域 【例1】函数的最大值为________． 【答案】 【详解】令，则可得，函数化为， 当时，.故答案为：. 【例2】函数在区间上的值域是___________． 【答案】 【解析】当时，， ∴，故， 即的值域为. 故答案为：. 【题型专练】 1.函数的值域为________． 【答案】 【解析】设，则， ， 当时，；当时，； 因此，函数的值域是，． 故答案为：，． 2.已知函数，则函数的值域为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则，所以， 故，故选：B. 的综合运用 题型一：利用图象求解析式 【例1】已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则 A．ω＝1， B．ω＝1， C．ω＝2， D．ω＝2， 【答案】D 【解析】由函数的图象可知:，. 当，函数取得最大值1，，， ，. 故选：D. 【例3】2023年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数（，，）的图像．下列说法正确的是（       ） A．8～13时这段时间温度逐渐升高 B．8～16时最大温差不超过5°C C．8～16时0°C以下的时长恰为3小时 D．16时温度为−2°C 【答案】D 【分析】由图像直接判断A、B、C选项，求出解析式判断D选项即可. 【详解】由图像可知：8～13时这段时间温度先下降再升高，A错误； 8～16时最大温度°C，最小温度°C，最大温差为°C，B错误； 8～16时0°C以下的时长超过3小时，C错误； ，，又过点，故，解得， 故，，故16时温度为−2°C，D正确. 故选：D. 【题型专练】 1.已知函数图象的一部分如图所示，则 ____________． 【答案】2 【分析】由图可知，根据曲线过点（0,1），可得φ=，再由五点作图法得ω+=2π，进而求出的值，可得函数的解析式，从而即可求解. 【详解】解：由图象可知A=2，且点(0，1)在图象上， 所以1=2sin(ω·0+φ)，即sinφ=， 因为|φ|<，所以φ=， 又是函数的一个零点，由五点作图法可得ω+=2π， 所以ω=2， 所以， 所以. 故答案为：2. 2.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，所以， ，，而，所以， 所以． 故选：D． 题型二：三角函数伸缩平移 【例1】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据平移变换的定义判断． 【详解】，因此 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：C. 【例2】要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】因为， 而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可， 故选：A. 【例3】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图像变化规律即可求得解析式. 【详解】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度， 所得图像所表示的函数是， 再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是． 故选:C． 【题型专练】 1.要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】由三角函数图象变换判断． 【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位． 故选：D． 2.把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像变换的知识进行处理. 【详解】把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度， 得，再把所得图像上所有点 的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得. 故A，B，C错误. 故选：D. 3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】为了得到函数的图象， 只需将函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 故选：B． 4.由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是 （ ） A．将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍 B．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍 C．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度 D．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】若先作平移变换，则需用去取代，因此A和B选项均不正确. 若先作伸缩变换，将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍， 所得图象对应的函数为. 再用取代，即可得到函数的图象， 也即再向右平移个单位长度， 故选：C 题型三：三角函数的综合运用 【例1】（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在单调递减 C．函数的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】CD 【解析】由图象可知：A=2，周期； 由，解得：， 故函数. 对于A：，故A错误； 对于B：当 时，因为上正弦函数先减后增，不单调，所以在上不单调，故B错误； 对于C：当 时，即直线是的一条对称轴，故C正确； 对于D：向右平移个单位得到，故D正确. 故选：CD. 【例2】（多选）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】，故A错误； 令可得，故B正确； 令可得，故C正确； ，所以， 易知在单增，所以在单增，故D正确. 故选：BCD 【题型专练】 1.（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（       ） A．的周期为 B．的一条对称轴为 C．是奇函数 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确. 【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数. A. 的最小正周期为，所以该选项正确； B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误； C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确. 故选：AD 2.（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（       ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】根据题意利用三角函数的平移变换求出函数解析式，再由余弦函数的值域、对轴性、单调性、周期性求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象； 它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确； 最小正周期为，故C正确； 当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 三角恒等变换 考点一：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 考点二：二倍角公式 ①； ②； ③； 考点三：降次（幂）公式 考点四．辅助角公式 （其中）． 考点五：常见拆分方法 ①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 题型一：和差角公式的应用 【例1】（       ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项. 【详解】 . 故选：B 【例2】若，则的值为（       ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 【详解】因为．所以，解得， 于是． 故选：C. 【例3】已知函数．设，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，，再利用同角三角函数的关系求出，然后利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， ， 所以，， 所以，， 所以， 因为， 所以，， 所以 ， 故选：B 【例4】已知，则_______________． 【答案】 【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解. 【详解】解：因为，， 所以，， 即，， 两式相加得，所以． 故答案为： 【例5】化简：_____． 【答案】1 【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以. 故答案为： 【题型专练】 1.（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式、差角的正弦公式求解. 【详解】 ．故A，C，D错误. 故选：B. 2.求值：cos58°sin77°＋sin122°sin13°= _______． 【答案】 【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】解： ， 故答案为：. 3.已知，都是锐角，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，都是锐角，，， 所以， ， 所以 .故B，C，D错误. 故选：A. 4.已知，则_______________． 【答案】 【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解. 【详解】解：因为，， 所以，， 即，， 两式相加得，所以． 故答案为： 5.____________． 【答案】 【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案. 【详解】 ． 故答案为：. 题型二：二倍角公式运用 【例1】若为第二象限角，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角关系，对所给等式两边平方，逆用二倍角的正弦公式，可解得答案. 【详解】因为， 两边平方得, ， 所以，， 所以，． 故选：D. 【例2】若，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式将的等式右侧化简，再利用分式运算及两角和差的余弦公式化简，根据，即可求得的值. 【详解】解：由，且 即. 所以 整理得： 又，所以，即. 故选：A. 【例3】若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用商数关系式和二倍角公式化简题设中的三角函数式可得，再根据二倍角的余弦公式可求的值. 【详解】因为，故， 故， 因为，故，所以， 所以即， 故， 故选：D. 【例4】设，，，则有（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小. 【详解】， ， . 因为函数在上是增函数，所以. 故选：C. 【题型专练】 1.（多选）下列三角式中，值为1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项,，故正确. B选项，，故正确. C选项，，故正确. D选项，，故错误 故选：ABC 2.若，则_______，_______． 【答案】 【解析】， 所以． ． 故答案为：；． 3.若是第三象限角，且，则___________. 【答案】 【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得. 【详解】， 由于是第三象限角，所以， 所以. 故答案为： 4.若，且，则（       ） A． B． C．2 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 由，可解得，即可求解 【详解】 ，故， 可解得或，又，故，故， 故选：D 题型三：凑角（换元法） 【例1】已知，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则，所以，， 所以，. 故选：B. 【例2】已知，，，求与的值． 【答案】，. 【解析】因为，所以，， 所以， ， 所以， ． 【例3】已知 ， 则 （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，再根据诱导公式可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B． 【例4】已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】 因为， 所以. 故选：B． 【题型专练】 1.已知，，则（       ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【分析】由，利用两角差的正切公式展开，即可计算出答案. 【详解】因为，， 所以 . 故选：A. 2.已知，，，则的值为（       ） A．或0 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可. 【详解】∵，∴， ∵，， ∴，. 则或0. ∵，∴. 故选：D 3.已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得的值，再根据求解即可. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 4.已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知的取值范围，求出的取值范围，再结合即可解得的值，即可求解 【详解】 因为，所以 又，所以，所以 所以 故选：D 题型四：给值求角 【例1】已知都是锐角，，则___________. 【答案】 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 【例2】已知，且，求的值为_____． 【答案】 【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定. 【详解】，则，注意到，于是 ，不妨记 ，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得： ，而，于是 . 故答案为：. 【题型专练】 1.已知，求角的值． 【答案】 【解析】因为，所以．又因为，所以． 因为，所以， 所以． 又因为，所以． 2.若，且，则的值为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】 根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得，分类讨论当、时的情况，结合和辅助角公式计算即可. 【详解】 由题意知， 则， 即， 当时，，即， 由，得； 当时，， 所以，即， 由，得，所以，得. 故答案为：或 3.若，，且，，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】 由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案. 【详解】 因为，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 题型五：求非特殊角三角函数值 【例1】求值（1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）原式 （2）原式 【例2】）（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 【题型专练】 1.___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 三角函数解答题 题型一：三角恒等变换的应用 【例1】已知函数. (1)若函数的图象过点，且，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解； （2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号． 【详解】（1）因为. 所以. 因为函数的图象过点， 所以. 因为，所以，所以，解得. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 【例2】已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据及两角差的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再根据及两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）解：因为，均为锐角，所以. 又， 所以，. 所以 . （2）解：根据第（1）问可知 ， 所以 . 【题型专练】 1.已知． (1)求和； (2)求． 【答案】(1)；，(2) 【分析】(1)由二倍角公式和同角三角函数基本关系式结合角的范围可直接计算出结果； (2)拆分角，利用两角和的余弦公式可计算出结果. 【详解】(1)由二倍角公式得：； 因为且，所以，则，所以 . (2)因为，所以，又因为，所以 ，则 . 2.已知函数. (1)求函数的周期和单调递减区间； (2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值. 【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出的解析式，根据，得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得； (1)解：∵ ，即， 所以函数的最小正周期， 令，解得. 故函数的单调递减区间为. (2)解：由题意可得， ∵，∴， ∵，所以，则， 因此 . 题型二：三角函数最值值域问题 【例1】 函数且满足___________. ①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定的值并求函数的单调区间； （2）求函数在上的值域. 【答案】条件选择见解析；（1），单调增区为，单调减区间为；（2）. 【分析】化简. （1）若选① ，根据周期公式可得；若选②，由，可得周期和， 再根据正弦函数的单调性可得单调区间； （2）由的范围求出及的范围可得答案. 【详解】 .（1）若选① ，则有，，即， 若选②，则有，，即， 综上，于是由， 解得，即单调增区为， 由，解得， 所以单调减区间为. （2），若，则， 则，所以值域为. 【点睛】本题考查了的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力. 【例2】函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间： (2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，由最小正周期求得，得到函数的解析式，根据正弦型三角函数的单调性，整体代入求解函数的递增区间即可； （2）根据题意结合三角函数图象的变换得到函数的解析式，整体代入求解正弦型函数在闭区间的值域即可. 【详解】(1)解： ， 因为函数的最小正周期为. 所以，所以.所以. 令即 所以函数的递增区间为. (2)解：将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像， 再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像， 因为 所以在上的值域为. 【题型专练】 1.已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据三角函数的恒等变换，将化为，根据正弦函数的周期公式，即可求得答案； （2）根据三角函数图象的平移变换伸缩变换规律可得的解析式，根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案. (1)由题意得：， 因为的最小正周期为，所以，所以； (2)由（1）知，故由题意得 ， ，， 故，， ，的值域为． 2.已知函数，求： (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的值域． (3)描述如何由的图象变换得到函数的图象． 【答案】(1)，(2)，(3)变换见解析 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，降幂公式和辅助角公式化简求解即可； （2）结合正弦函数在区间上的图象和取值范围求解即可； （3）根据三角函数图象平移伸缩的变换分析即可 (1)由题，，故最小正周期 (2)由（1），当时，，故，故，即函数在区间上的值域为 (3) 的图象先向左平移个单位得到，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到；再横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到；再往上平移2个单位得到的图象 3.已知函数﹒ (1)求函数的最小正周期； (2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域. 【答案】(1)；(2)﹒ 【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求解； (2)利用图像变换求出g(x)解析式，根据正弦函数的性质即可求g(x)值域﹒ (1) (1) ， ∴的最小正周期为； (2) (2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像， 再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故， 由，得，∴， ∴在上的值域为﹒ 题型三：三角函数的单调性问题 【例1】已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，，(2) 【分析】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可； （2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可. （1） ， ， 所以函数的最小正周期为， 令，，得函数的对称轴方程为， （2） 将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为， 所以， 令， 所以.又， 所以在上的单调递减区间为. 【例2】已知函数（），且函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间. 【答案】(1)，(2)，. 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得解； （2）利用三角函数的变换规则得到的解析式，再根据对称性求出，最后根据正弦函数的性质计算可得； (1)解：因为 ， 即，又函数的最小正周期为且， 所以，解得，所以. (2)解：将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度得到， 再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 因为的图象关于直线对称，即， 解得， 因为，所以当时取得最小值，， 所以， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【题型专练】 1.已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数，______． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间． 【答案】(1)条件选择见解析，，(2)， 【分析】(1)根据所选条件，列方程解得即可. (2)先求函数的单调增区间，找出满足条件的即可. （1）选择条件①．∵为奇函数， ∴，解得，． ∵，∴，∴； 选条件②．，∴， ∴，或，， ∵，∴，∴ 选条件③． （1）∵是函数的一个零点， ∴，∴，． ∵，∴，∴. （2）由，，得，， 令，得，令，得， ∴函数在上的单调递增区间为，． 2.已知函数的最小值为1. (1)求常数的值； (2)当时，求函数的单调递增区间. 【答案】(1)3，(2)和 【分析】（1）先化简，得到，由最小值求出m；（2）利用复合函数的单调性法则直接求得. (1) 因为的最小值为-1，所以的最小值为， 所以. (2)令，解得：. 令得：；令得：. 与取交集，得到或. 即当时，函数的单调递增区间为和. 题型四：三角函数的应用性问题 【例1】某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多． (1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么?并求出的解析式； (2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物． 【答案】(1)选择合适，理由见解析， (2)酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物. 【分析】（1）根据题意选择第一个函数模型，利用三角函数的图像性质，分别求出A，，，和B即可. （2）根据函数特点，利用正弦函数的单调性即可求解. （1） 因为入住酒店的游客人数呈周期性变化，且在第一季度内有对称性特征， 所以选择合适， 根据①可知这个函数的周期是12，即，故． 由②可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200， 由③可知在上是增函数，且，所以， 所以解得 因为当时，的值最小， 所以，可得，，由，得． 所以入住酒店的游客人数与月份之间的函数关系式为. （2） 令， 化简得， 所以，， 即，， 所以可取的值有6，7，8，9，10， 即酒店在6，7，8，9，10月份要准备至少400份（每人一份）食物． 【例2】一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可； （2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可. （1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，，∵，∴，∴，∵时，，∴，∴，∵，∴，∴. （2）解：令，得，∴，，∴，，∴当时，P第一次到达最高点，∴点P第一次到达最高点大约要. 【例3】某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 【答案】(1)函数模型更好，函数解析式为 (2)当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h. 【分析】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为 (2) 根据题意已知可求出水深范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港. (1)函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系. 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像. 从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期， 函数的最小正周期为12，因此. 又当时，；当时， ， 所求函数的表达式为 (2)由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令, 可得 取 ，则 ；取，则； 取时，（不符合题意，舍去). 当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h. 【例4】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值. 【答案】(1)，(2)，(3)最大值为米 【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得. 对于小问2，令，解出即得答案. 对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、， 写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值. (1)由题意，（其中） 摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米， 所以，得，又函数周期为分钟，所以， ，又， 所以，又，所以， 所以. (2)， 所以，整理，因为，所以， 所以,解得（分钟）. (3)经过分钟后甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度为， 所以两人离地面的高度差 当或时，即或分钟时，取最大值为米. 【题型专练】 1.某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下： t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象. (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 【答案】(1)，(2)16小时 【分析】（1）根据表中数据可判断出周期以及最值，即可代入求解；（2）假设能滞留的的情形，进而根据正弦型不等式求解范围，即可求解. (1)由题设的数据可得，故，， 周期，故，故， 因为时，所以，， 因为，所以， . (2)令，则，得. 所以，，即， 因为，所以故或， 故船舶至多能在港内停留16小时. 2.如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）. (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的解析式； (3)预测当天12时的温度（，结果保留整数）. 【答案】(1)20℃；(2)()；(3)27℃. 【分析】（1）观察图象求出函数的最大、最小值即可计算作答； （2）根据给定图象求出解析式中相关参数，即可代入作答； （3）求出当时的y值作答. (1)观察图象得：6时的温度最低为10℃，14时的温度最高为30℃， 所以这一天6~14时的最大温差为20℃. (2)观察图象，由解得：，周期，，即，则， 而当时，，则，又，有， 所以这段曲线的解析式为：，. (3)由（2）知，当时，， 预测当天12时的温度为27℃.3.某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)当时，求1号座舱与地面的距离； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，(2)或，(3) 【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式，再令代入计算可得； （2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解； (1)解：设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，， 则，，所以，依题意，所以， 当时，所以，故，所以， 即当时，求1号座舱与地面的距离为； (2)解：令，即，所以，又，所以， 所以或，解得或， 即或时1号座舱与地面的距离为17米； (3)解：依题意，， 所以 令，解， 所以当时取得最大值， 依题意可得 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修1学习材料---三角函数 三角函数概念及定义 考点一：角的概念 ①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）． ②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． ③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角． ④象限角的集合表示方法： 考点二：弧度制的概念 ①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． ②角度制和弧度制的互化：,,． ③扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 注：（1）弧度与角度的换算公式 （2）特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π 考点三：任意角的三角函数 ①定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． 考点四：任意角三角函数的性质如下： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 题型一：与角终边相同的角的集合的表示 【例1】与终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 【例2】下列说法中正确的是（       ） A．第二象限角大于第一象限角 B．若，则为第一或第二象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．三角形的内角是第一或第二象限角 【例3】已知，则角的终边落在的阴影部分是（       ） A．B．C．D． 【题型专练】 1.下列各角中，与 角终边相同的角是（       ） A． B． C． D． 2.与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可） 3.（多选题）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（       ） A． B． C． D． 3.若，，则角与角的终边一定（       ） A．重合 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 题型二：判断等分角的象限问题 【例1】若，则的终边在（       ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【例2】若是第二象限角，则（       ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【题型专练】 1.角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型三：扇形的弧长、面积公式的计算 【例1】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【例2】某公园要设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是以点为圆心的两个同心圆，圆弧所在圆的半径（单位：米），圆弧所在圆的半径（单位：米），圆心角． (1)求弧长； (2)求花坛的面积． 【题型专练】 1.已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________. 2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（       ） A．1 B．4 C．2 D．3 3.已知扇形的圆心角为，弦长，则扇形的弧长等于（       ） A． B． C． D． 题型四：任意角三角函数的定义 【例1】已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知角的终边经过点，且，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【题型专练】 1.已知是角终边上一点，且，则的值是（       ） A． B． C． D． 2.已知角的终边经过点，则（       ） A． B． C． D．－2 题型五：三角函数值的正负判断 【例1】若满足，则的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】若角是第四象限角，则______． 【例3】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（       ） A． B． C． D． 【例4】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型专练】 1.已知点在第三象限，则角在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.“角是第一或第三象限角”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.如果，且，则的化简为_____. 4.已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要 同角三角函数基本关系式及诱导公式 考点一：同角三角函数基本关系 ①平方关系：． ②商数关系：； 考点二：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限 注意：①先将诱导三角函数式中的角统一写作； ②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； ③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型一：同角三角函数公式求值 【例1】已知角为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【例2】已知，是第三象限角，求，的值. 【题型专练】 1.已知，则___________． 2.下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A．且 B．且 C．且 D．（为第二象限角） 题型二： 弦的齐次式问题 【例1】已知角的终边过点，求： ①；②；③ 【例2】已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ） A．0 B． C． D．5 【题型专练】 1.已知，则的值为（ ） A．4 B． C． D． 2.若，则的值是（ ） A． B． C． D． 题型三： 知一求二问题 【例1】已知 ，且 ，给出下列结论： ①； ② ； ③； ④ . 其中所有正确结论的序号是（       ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【题型专练】 1.已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 2.已知，，则（       ） A． B． C． D． 3.（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四：诱导公式化简求值 【例1】(1)计算：； (2)化简：. 【例2】已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝____. 【题型专练】 1.（       ） A． B． C． D． 2.（       ） A． B． C． D． 3.已知. (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 题型五： 诱导公式与三角函数定义、同角关系的综合运用 【例1】已知，且是第二象限角，则的值等于_______ 【例2】已知，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知，则___________. 2.已知，且，则________． 题型六：换元法、角的拼凑 【例1】若则（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，则( ) A． B． C． D． 【例3】若，则__________． 【题型专练】 1.当时，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.（多选）已知，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三角函数的图象与性质 题型一：五点法作图 【例1】用五点法作下列函数的图象： （1）； （2）． 【例2】当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）；（2）；（3）. 【例3】已知函数. (1)画出函数在上的图象. (2)这个函数是周期函数吗？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由. (3)指出函数的单调区间. 【题型专练】 1.作出函数，的大致图像． 2.分别作出函数和的图像． 3.与图中曲线对应的函数可能是（       ） A． B． C． D． 题型二：解三角不等式 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例2】函数的定义域是________. 【题型专练】 1.在上，满足的的取值范围（ ） A． B． C． D． 2.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 题型三： 求三角函数的周期 【例1】下列函数中，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【例2】下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ） A． B． C． D． 【例3】函数的最小正周期为，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ） A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2.若函数的周期不大于1，则正整数k的最小值为___________． 3.函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 题型四：三角函数对称性 【例1】下列直线中，函数的对称轴是（       ） A． B． C． D． 【例2】函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【例3】若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【题型专练】 1.设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 2.如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 3.函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 题型五：三角函数的奇偶性 【例1】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A． B． C． D． 【例2】对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ） A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心 B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴 C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴 D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心 【例3】下列函数中为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数（ ） A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 2.（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数是偶函数，若，则_________ 题型六：三角函数的单调性 【例1】（多选）已知函数，则（       ） A．为偶函数 B．在单调递减 C．的最小正周期为 D．在有且仅有2个零点 【例2】函数单调减区间为_________ 【例3】（多选）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为_________ 2.函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 3.已知函数.则函数的单调递减区间是___________. 题型七：三角函数的值域 【例1】函数的最大值为________． 【例2】函数在区间上的值域是___________． 【题型专练】 1.函数的值域为________． 2.已知函数，则函数的值域为( ) A． B． C． D． 的综合运用 题型一：利用图象求解析式 【例1】已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则 A．ω＝1， B．ω＝1， C．ω＝2， D．ω＝2， 【例2】2023年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数（，，）的图像．下列说法正确的是（       ） A．8～13时这段时间温度逐渐升高 B．8～16时最大温差不超过5°C C．8～16时0°C以下的时长恰为3小时 D．16时温度为−2°C 【题型专练】 1.已知函数图象的一部分如图所示，则 ____________． 2.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的（ ） A． B． C． D． 题型二：三角函数伸缩平移 【例1】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（       ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【例2】要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【例3】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.要得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2.把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4.由函数的图象得到函数的图象的变换方法可以是 （ ） A．将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍 B．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍 C．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向右平移个单位长度 D．将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将图象向左平移个单位长度 题型三：三角函数的综合运用 【例1】（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在单调递减 C．函数的图象关于直线对称 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【例2】（多选）将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A． B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D．在区间上单调递增 【题型专练】 1.（多选）将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（       ） A．的周期为 B．的一条对称轴为 C．是奇函数 D．在区间上单调递增 2.（多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（       ） A．最大值为，图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．最小正周期为 D．图象关于点对称 三角恒等变换 考点一：两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 考点二：二倍角公式 ①； ②； ③； 考点三：降次（幂）公式 考点四．辅助角公式 （其中）． 考点五：常见拆分方法 ①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 题型一：和差角公式的应用 【例1】（       ） A． B． C． D．1 【例2】若，则的值为（       ） A． B．2 C． D． 【例3】已知函数．设，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例4】已知，则_______________． 【例5】化简：_____． 【题型专练】 1.（       ） A． B． C． D． 2.求值：cos58°sin77°＋sin122°sin13°= _______． 3.已知，都是锐角，，，则（       ） A． B． C． D． 4.已知，则_______________． 5.____________． 题型二：二倍角公式运用 【例1】若为第二象限角，，则（       ） A． B． C． D． 【例2】若，且，则（       ） A． B． C． D． 【例3】若，，则（       ） A． B． C． D． 【例4】设，，，则有（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（多选）下列三角式中，值为1的是（ ） A． B． C． D． 2.若，则_______，_______． 3.若是第三象限角，且，则___________. 4.若，且，则（       ） A． B． C．2 D．2 题型三：凑角（换元法） 【例1】已知，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，，，求与的值．． 【例3】已知 ， 则 （       ） A． B． C． D． 【例4】已知，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知，，则（       ） A．1 B．-1 C． D． 2.已知，，，则的值为（       ） A．或0 B．0 C． D． 3.已知，则（       ） A． B． C． D． 4.已知，且，则（       ） A． B． C． D． 题型四：给值求角 【例1】已知都是锐角，，则___________. 【例2】已知，且，求的值为_____． 【题型专练】 1.已知，求角的值． 2.若，且，则的值为___________. 3.若，，且，，则的值是______． 题型五：求非特殊角三角函数值 【例1】求值（1）；（2） 【例2】）（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.___________. 三角函数解答题 题型一：三角恒等变换的应用 【例1】已知函数. (1)若函数的图象过点，且，求的值； (2)若，且，求的值. 【例2】已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【题型专练】 1.已知． (1)求和； (2)求． 2.已知函数. (1)求函数的周期和单调递减区间； (2)将的图象向右平移个单位，得到的图象，已知，，求值. 题型二：三角函数最值值域问题 【例1】 函数且满足___________. ①函数的最小正周期为；②已知，，且的最小值为，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定的值并求函数的单调区间； （2）求函数在上的值域. 【例2】函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间： (2)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，求函数在上的值域. 【题型专练】 1.已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数的图象，求在区间上的值域． 2.已知函数，求： (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的值域． (3)描述如何由的图象变换得到函数的图象． 3.已知函数﹒ (1)求函数的最小正周期； (2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求函数在上的值域. 题型三：三角函数的单调性问题 【例1】已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间. 【例2】已知函数（），且函数的最小正周期为. (1)求的解析式； (2)先将的图象上所有点向左平移m（）个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，若的图象关于直线对称，求当m取最小值时，函数的单调递增区间. 【题型专练】 1.已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数，______． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调递增区间． 2.已知函数的最小值为1. (1)求常数的值； (2)当时，求函数的单调递增区间. 题型四：三角函数的应用性问题 【例1】某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某酒店计划适时调整投入．为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多． (1)函数模型和中用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数与月份之间的关系更合适，为什么?并求出的解析式； (2)在（1）中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份（每人一份）食物． 【例2】一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间. (1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数； (2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？ 【例3】某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 【例4】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值. 【题型专练】 1.某港口海水的深度是时间t（时）（）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下： t（时） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 9.5 12.5 14 12.5 9.5 8.0 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象. (1)根据以上数据，求出函数的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5或5以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为7.5，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ 2.如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数（，）. (1)求这一天6~14时的最大温差； (2)写出这段曲线的解析式； (3)预测当天12时的温度（，结果保留整数）. 3.某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． (1)当时，求1号座舱与地面的距离； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； (3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$