第四章 指数函数与对数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修1学习材料---指数函数与对数函数 指数及指数运算 考点一：指数及指数运算 ①根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． ②根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. ③指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. ④有理数指数幂的运算 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义． ⑤有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 考点二：指数运算中的平方差、立方和差公式 , 题型一：根式指数式的运算 【例1】 . 【答案】 【解析】 【例2】（多选题）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】A选项，B选项，C选项对，D选项 【题型专练】 1.计算： （1）______； （2）______． 【答案】     1     3 【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果. 【详解】（1）原式． （2）原式． 2.求值. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质可求出结果. 【详解】原式 .           题型二：指数式运算应用题 【例1】某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（       ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【分析】根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【详解】由题意知，，所以， 所以，所以，所以. 故选：C． 【例2】Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（       ） A．60 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算直接代入求值. 【详解】由，且， 得， 解得， 故选：A. 【题型专练】 1.国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可求得，代值计算即可得解. 【详解】由已知可得，可得， 所以，我战机在高空处的大气压强为. 故选：B. 2.有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（       ） A．50 B．53 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，整理得 所以，由于为非零常数， 所以. 故选：A 3.核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（       ），（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值. 【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得， 所以，所以，可得，， 故选：C. 指数函数及性质 考点一：指数函数的定义及图像 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 考点二：指数函数底数大小与图象的关系 1.函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则； 即，(底大幂大)；时，． 图1 图2 2.特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示． 考点三：指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． 题型一：指数函数的概念 【例1】函数是指数函数，求的值． 【答案】 【解析】因为函数是指数函数，所以，解得 【例2】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 【答案】（1）（5）（6） 【解析】由指数函数的定义可知 【题型专练】 1.下列函数是指数函数的有（        ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，函数不是指数函数， 对于B，函数是指数函数； 对于C，函数是指数函数； 对于D，函数不是指数函数. 故选：BC. 2.若函数(，且)是指数函数，则______，______. 【答案】；2． 【详解】根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2． 题型二：指数函数的图像 【例1】已知,则函数的图像必定不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【详解】由图象可知函数向下平移超过1个单位，所以必不经过第一象限 【例2】如图所示，函数的图像是（       ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解. 【详解】， 时，时，. 故选：B. 【例3】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】 【详解】指数函数在第一象限内的图象底大图高可知 【题型专练】 1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可． 【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C， 如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：， 所以B正确； 对称轴在x轴左侧，C不正确； 如果，二次函数有一个零点，所以D不正确． 故选：B． 2.函数的部分图象大致为（       ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再对和时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断； 【详解】解：因为定义域为，又， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B； 当时，，，所以，所以，故排除D； 当时，因为，所以，即，故排除C； 故选：A 3.函数的图象的大致形状是（       ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图像. 【详解】∵，又， ∴根据指数函数图像即可判断选项C符合. 故选：C. 题型三： 指数函数的定点 【例1】当且时，函数必过定点 . 【答案】 【详解】法一：必过定点，将向右平移2个单位得到，所以必过定点，将向下平移3个单位得到，所以函数必过定点 法二：令，得到，所以，所以函数必过定点 【题型专练】 1.函数的图像恒过定点______. 【答案】 【详解】 ，令，得，， 函数的图象恒过定点， 故答案为：. 2.函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令指数为，求出，再代入计算可得； 【详解】解：令，解得， 所以当时，， 所以函数过定点. 故选：B 题型四： 指数函数的奇偶性、单调性 【例1】设函数是偶函数，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得 【例2】已知，则下列正确的是（ ） A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 【答案】A 【详解】因，所以为奇函数，因为增函数，为减函数，所以为增函数，所以在R上为增函数 【例3】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为 A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8) 【答案】D 【详解】当时，为增函数，所以，当时，为增函数，所以，解得，因为在上为增函数，所以，解得，综上可知。 【题型专练】 1.已知函数是偶函数，则__________． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以为奇函数，所以，解得 2.函数的单调递减区间是 . 【答案】 【详解】设，此函数为增函数，，对称轴为，所以在为增函数，在为减函数，所以原函数在为减函数（符合函数单调性：同增异减） 3.已知函数，下面说法正确的有（　　） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的值域为 D．，且， 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误； 对于C中，设，可得，所以，即，解得， 即函数的值域为，所以C正确； 对于D中，对，且，，可得函数为减函数， 而为单调递增函数，所以D错误. 故选：AC. 题型五：利用指数函数性质比较大小 【例1】判断下列各数的大小关系： (1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0， 【详解】 （1）因为在上为增函数，且，所以 （2）因为，且在上为减函数，且，所以 （3）因为，，，所以 【例2】设<()b<()a<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 【答案】C 【详解】因为在上为减函数，且，所以，所以在上为减函数，所以，又因在上为增函数，所以，所以 【例3】已知，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【详解】因为，且在上为增函数，且，所以，又因，且在上为增函数，所以 【例4】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质， 可知两个函数在单调递增；由于；由于； 综上：故选：A 【题型专练】 1.已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，∵递增，且，∴，即. 故选：B. 2.下列判断正确的是（ ） A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83 C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5 【答案】D 【解析】对于Ａ项，∵y＝2.5x是增函数，且2.5<3，∴2.52.5<2.53, 对于B项，∵y＝0.8x是减函数，且2<3，∴0.82>0.83, 对于C项，∵y＝是增函数，且，∴， 对于D项，∵y＝0.9x是减函数，且0.3<0.5，∴0.90.3>0.90.5．故选：D． 3.已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数以及指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由题得，，，，因为函数在上单调递增，所以．又因为指数函数在上单调递增，所以． 故选:D． 题型六：解指数函数不等式 【例1】若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在上为减函数，且，所以，解得 【例2】已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A 【题型专练】 1.若满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 因为在上单调递增，所以即，解得：， 所以，即函数的值域是，故选：B. 题型七：指数函数的值域问题 【例1】已知，求的最小值与最大值。 【答案】 【详解】设，则原题即化为在上的最大值与最小值，对称轴，所以当，，当，。 【题型专练】 1.函数在上的最大值与最小值的和为3，则=( ) A. B.2 C.4 D. 【答案】B 【详解】当时，在上为减函数，所以当时，，当时，，所以，解得，舍去； 当时，在上为增函数，所以当时，，当时，，所以，解得，符合题意，综上可知 2.函数的值域为____. 【答案】 【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题. 【详解】解：令， 函数化为 ，即函数的值域为． 故答案为： 题型八：指数函数解答题 【例1】已知函数是上的奇函数 （1）求实数的值 （2）解不等式 解析：（1）因为函数是上的奇函数，所以，解得 （2），所以，即，所以 即，所以，设，则，解得，即，所以 【例2】设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求实数k的值； (2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质得； （2）由若得出，确定表达式，参变量分离即可. (1) 函数（且）是定义域为的奇函数,则， 所以， 又时，，对任意的，都有成立，满足题意， 所以； (2) 由（1）知，，且， 所以，， 所以，或（舍）， 令，则， 由当时，恒成立，得在时恒成立， 则在时恒成立， 又在上单调递增， 所以，， 所以，. 【题型专练】 1.已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在时的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义列出方程，即可求得. （2）将函数分离常数，即可求得其值域. （1） 是奇函数，则， 即， 化简可得 所以，解得或. 又，所以，即， 所以. （2） ，且 ，可得的值域为. 2.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)当取何值时，方程在上有实数解. 【答案】(1) (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）结合函数的奇偶性求得正确答案. （2）结合函数单调性的定义进行证明. （3）求得在区间上的值域，从而求得正确答案. （1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以. （2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取，.由于，所以，所以在上为减函数. （3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以. 对数及对数式运算 考点一：对数式的运算 ①对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． ②常见对数的写法： 1.一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； 2.常用对数：以为底，记为； 3.自然对数：以为底，记为； ③对数的性质： 1.特殊对数：；；其中且 2.对数恒等式：(其中且，) 3.对数换底公式： 如：． 倒数原理： 如：． 约分法则： ④对数的运算法则： 1.； 2.； 3.，； 4.和． 题型一：对数的定义 【例1】在中，实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题意，要使式子有意义，则满足， 解得或，即实数的取值范围为.故答案为：. 【题型专练】 1．使式子有意义的的取值范围是（       ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得：，解得：且. 故选：D 题型二: 指数对数的互化 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）53=125； （2）4-2=； （3）log3=-3. 【答案】（1）log5125=3；（2）；（3） 【解析】（1）∵53=125，∴log5125=3.（2）∵，∴. （3）∵，∴ 【题型专练】 1.指数式和对数式互相转化： （1）____________．（2）____________． （3）____________．（4）____________． 【答案】 【解析】.故答案为：，，，. 题型三: 对数的运算求值 【例1】已知，则（       ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 【例2】计算：（1）_________． （2）_________． （3）_________． （4）__________． （5）__________． 【答案】1 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5） 所以原式 故答案为：1，，，， 【例3】计算：__________ 【答案】1 【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝． 故答案为：1． 【题型专练】 1.若，则_________. 【答案】5 【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答. 【详解】因函数，所以. 故答案为：5 2.计算：______ 【答案】 【解析】原式.故答案为： 3.计算___________ 【答案】 【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答 【详解】. 故答案为： 4.计算:________． 【答案】4 【解析】原式． 故答案为：4. 题型四：换底公式的应用 【例1】已知，，则（       ） A．1 B．2 C．5 D．4 【答案】A 【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案. 【详解】∵，，∴，， ． 故选：A 【例2】设，且，则（ ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】A 【解析】由，可得，， 由换底公式得，， 所以， 又因为，可得． 故选：A. 【例3】已知，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【详解】因为，，所以 ． 故选：D. 【题型专练】 1．已知，用含的式子表示_________. 【答案】 【解析】.故答案为： 2.若，且，则_____________． 【答案】 【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解. 【详解】解：因为，所以，，，又， 所以， 所以，所以， 故答案为：. 题型五：对数式的应用题 【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设太阳的星等为，对应的亮度为，天狼星的星等为，对应的亮度为， 则由得，即，所以，所以 【例2】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其 中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，所以，即，所以，所以，即，所以，所以 【例3】一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（       ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【答案】B 【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，，即，解得， ，即， 所以， 所以； 故选：B 【题型专练】 1.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（       ） A．128 B．130 C．132 D．134 【答案】B 【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可. 【详解】由题设，，则， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 故选：B 2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可. 【详解】因为，星的星等是，星的星等是， 所以， 故选：A 对数函数 考点一：对数函数的定义 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数，它是指数函数且的反函数． 考点二：对数函数的图像及性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 考点三：对数函数底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型一：对数函数的概念 【例1】下列函数是对数函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的概念即得. 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 【题型专练】 1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（       ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 题型二：对数函数的定义域 【例1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为.故选：C. 【例2】函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数式有意义及二次根式有意义可得． 【详解】由题意，，． 故选：D． 【题型专练】 1.函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，由，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 2.函数的定义域为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，得，所以，所以． 4.函数的定义域为 【答案】 【详解】由题意知，得，所以，所以． 题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别 【例1】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先由对数函数的定义域得到在R上恒成立，再由判别式求出实数a的取值范围即可. 【详解】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是. 故答案为：. 【例2】函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析可知为函数的值域的子集，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：由题可知，函数的值域为， 令，由题意可知为函数的值域的子集. ①当时，，此时， 函数的值域为，合乎题意； ②当时，若为函数的值域的子集， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 【题型专练】 1．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 【答案】          【分析】（1）由题可得恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得； （2）由题可得的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得. 【详解】（1）当时，符合题意； 当时，欲使在上恒成立， 则, 解得， 综上，实数a的取值范围是； （2）当时，，不符合题意； 当时，欲使取遍所有正数，只须使， 解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：；. 题型四：对数函数的定点问题 【例1】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B． 【题型专练】 1.函数的图象过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，令，可得，则， 因此，函数的图象过定点.故选：C. 题型五：对数函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 【解析】（1）由题意知定义域为 ，所以， 所以，所以为奇函数 （2）由题意知定义域为 ，所以 ，所以，所以为奇函数 注：形如类型的函数均为奇函数 【例2】设为偶函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解. 【详解】因为偶函数，且当时，， 因此，当时，，， 所以. 故选：C 【题型专练】 1．关于函数说法正确的是（       ） A．定义域为 B．图象关于轴对称 C．图象关于原点对称 D．在内单调递增 【答案】ACD 【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性. 【详解】因为, 所以， 所以定义域为，故A正确； 因为， 所以图象关于原点对称，故B错误，C正确; 又在上单调递减， 所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 2.设为奇函数，且当时，，若，则 【答案】 【详解】因为为奇函数，所以，所以 题型六：对数函数的单调性 【例1】函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数型复合函数定义域求法可求得定义域；根据复合函数单调性的判断方法可得到单调递减区间. 【详解】由得：，即定义域为； 令，则在上单调递增，在上单调递减； 又在上单调递减， 的单调递减区间为. 故选：B. 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D. 2.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ） A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 【答案】C 【解析】因是定义域为R的偶函数，所以，因，由题意知在单调递减，所以 3.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】令，则，因为的对称轴为，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以，解得，又在上恒大于0，所以，即． 综上，实数a的取值范围是：．故答案为：. 题型七：对数函数的值域 【例1】已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解. 【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意； 若，则在上单调递增，则， 又因为的值域为，所以，解得． 故选：A． 【例2】已知的值域为R，那么a的取值范围是(       ) A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1) 【答案】C 【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得． 【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)， 那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0， 解得：，且a≥﹣1. 故选：C. 【例3】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得，利用二次函数的性质即可求出； （2）令，可得在上恒成立，求出的最大值即可. (1) 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，， 当时，，当时，， 故当时，函数的值域为． (2) 由于对于上恒成立， 令，，则 即在上恒成立，所以在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 所以当时，， 故时，原不等式对于恒成立． 【题型专练】 1.函数的值域是________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可 【详解】令，则， 因为， 所以的值域为， 因为在是减函数， 所以， 所以的值域为， 故答案为： 2.已知函数的值域为R，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为， 设时，的值域为，则由的值域为R可得， ∴，解得，即． 故选：D 3.已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 【答案】(1)，；(2)[3，4]. 【分析】(1)利用对数函数的单调性即得； (2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上单调递增，即求. (1)因为函数在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当时，， 当时，． (2)令，则， 由（1）得，因为函数在上是单调增函数， 所以当，即时，；当，即时，， 故的值域为. 题型八：对数函数的图象问题 【例1】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（       ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 【例2】已知函数，则函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由时，和时，排除A、B、D选项即可. 【详解】当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项． 故选：C． 【题型专练】 1．函数的图像是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解. 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 2.已知，则满足的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出函数的图象，根据图象可得的解集，利用换元法即可求解. 【详解】解：图像如图所示: 根据图象得：的解为， 将换成得. 故选：C. 题型九：由函数性质写函数解析式 【例1】已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的条件直接写出符合题意的函数解析式即可. 【详解】因为满足①定义域为；②值域为； ， 所以符合题意， 故答案为：，（答案不唯一）. 【例2】写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________. 【答案】 【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举例． 【详解】是对数函数模型，满足条件. 故答案为：． 【题型专练】 1．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________. 【答案】答案不唯一 【分析】由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数. 【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数， 又因为在上是减函数且， 所以满足条件的一个函数可取， 故答案为：(答案不唯一). 2．已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______． 【答案】（答案为唯一） 【分析】根据可以知道该函数是偶函数，根据定义域、值域、奇偶性写出一个函数即可. 【详解】的定义域为，值域为，且，因此符合题意． 故答案为： 函数与方程 考点一：函数的零点的概念 ①函数零点的定义 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. ②零点存在性定理: 一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根. 注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点二：二分法的概念 ①对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下: ①确定区间，验证，给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; a.若，则就是函数的零点; b.若，则令(此时零点); c.若，则令(此时零点). ④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或); 否则重复②③④. 【典型例题】 题型一：求函数的零点 【例1】已知函数，则函数的零点为（ ） A． B．，0 C． D．0 【答案】 D 【解析】函数 当时，令，解得 当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D. 题型二：函数的零点区间 【例1】函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】因为是连续的减函数， ， ，，， 有，所以的零点所在的区间为．故选：C 【例2】函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数在上是连续增函数， 由于，，所以 【题型专练】 1.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是. 故选：B 题型三：判断函数的零点个数 【例1】方程根的个数为（ ） A．无穷多 B．3 C．1 D．0 【答案】 C 【解析】方程可化为，设函数和， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故方程根的个数为1．故选：C． 【例2】函数的零点个数为(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3 【答案】 B 【解析】令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故零点个数为1．故选：B． 【例3】函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】函数，由，可得，作出和的图象， 由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C. 【题型专练】 1.函数零点的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，所以函数零点的个数为方程 的根的个数，也即为两个函数，的图象交点的个数， 在坐标系中画出两个函数，的图象， 由图知：函数，的图象有个交点，所以函数零点的个数为，故选：D. 2.函数的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 D 【解析】当时，令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为2个．故当时，零点个数为2个 当时，令可得，解得，符合题意 题型四：根据函数零点的存在情况求参数 【例1】已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象， 关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，故选：C. 【题型专练】 1.已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是， 故选D． 2.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】 C 【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．故选：C． 题型五： 二分法的应用 【例1】根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ） A． B．1.5 C．1.562 D．1.7 【答案】C 【解析】，即，令， 则， ， ， ， ， 根据零点存在性定理可知：，使， 又，故的一个近似解可以为：1.562.故选：C. 【题型专练】 1.若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（       ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：因为，，且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为1.4， 所以原方程的一个近似根为1.4． 故选：C. 题型六：函数等高问题 【例1】已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则，所以（舍去）或者，所以 ，又因，所以 【例2】已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】画出的图像，如图所示 则，所以，所以 ，又因，所以， 因为，所以 【题型专练】 1.已知函数, 若， 互不相等，则的取值范围是          . 【答案】 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则，又因，所以 2.已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点. 画出的大致图象，如图所示. 由图可知.不妨设，则，且. 所以，所以，则， 因为，所以，所以，所以， 所以.故选：A 题型七： 函数应用模型 【例1】某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ） A． B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时 【答案】AD 【解析】由函数图象可知， 当时，，即，解得， ，故正确， 药物刚好起效的时间，当，即， 药物刚好失效的时间，解得， 故药物有效时长为小时， 药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确； 注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，故选：． 【例2】2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 【答案】（1）；（2）产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【解析】（1）当时，， 当时，. 综上所述，． （2）当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元. 【题型专练】 1.随着国家宝藏的热播，人们对文物考古的兴趣日益高涨，越来越多的人走进博物馆．某市博物馆为了保护一件文物，需要在馆内一种透明且密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①需支付保护液体的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米液体的费用为500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为时，支付的保险费用为4000元． （1）求该博物馆支付的总费用元与保护罩容积之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付的总费用的最小值． 【答案】(1)(2)3750 【解析】(1)设需支付的保险费用为元， 当时，，得， 所以； (2) ， 当且仅当，即时等号成立， 所以该博物馆支付的总费用的最小值为3750元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修1学习材料---指数函数与对数函数 指数及指数运算 考点一：指数及指数运算 ①根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． ②根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. ③指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. ④有理数指数幂的运算 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义． ⑤有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 考点二：指数运算中的平方差、立方和差公式 , 题型一：根式指数式的运算 【例1】 . 【例2】（多选题）下列根式与分数指数幕的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.计算： （1）______；（2）______． 2.求值. 题型二：指数式运算应用题 【例1】某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（       ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【例2】Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，的值为（       ） A．60 B． C． D． 【题型专练】 1.国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（       ） A． B． C． D． 2.有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（       ） A．50 B．53 C．60 D．66 3.核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（       ），（参考数据：，） A． B． C． D． 指数函数及性质 考点一：指数函数的定义及图像 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 考点二：指数函数底数大小与图象的关系 1.函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则； 即，(底大幂大)；时，． 图1 图2 2.特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示． 考点三：指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． 题型一：指数函数的概念 【例1】函数是指数函数，求的值． 【例2】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）． 【题型专练】 1.下列函数是指数函数的有（        ） A． B． C． D． 2.若函数(，且)是指数函数，则______，______. 题型二：指数函数的图像 【例1】已知,则函数的图像必定不经过（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【例2】如图所示，函数的图像是（       ） A．B．C．D． 【例3】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【题型专练】 1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ） A．B．C．D． 2.函数的部分图象大致为（       ） A．B．C．D． 3.函数的图象的大致形状是（       ） A．B．C． D． 题型三： 指数函数的定点 【例1】当且时，函数必过定点 . 【题型专练】 1.函数的图像恒过定点______. 2.函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（       ） A． B． C． D． 题型四： 指数函数的奇偶性、单调性 【例1】设函数是偶函数，则实数a的值为________． 【例2】已知，则下列正确的是（ ） A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数 【例3】若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为 A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8) 【题型专练】 1.已知函数是偶函数，则__________． 2.函数的单调递减区间是 . 3.已知函数，下面说法正确的有（　　） A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的值域为 D．，且， 题型五：利用指数函数性质比较大小 【例1】判断下列各数的大小关系： (1)1.8a与1.8a+1； (2) (3)，(2.5)0， 【例2】设<()b<()a<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 【例3】已知，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【例4】已知，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2.下列判断正确的是（ ） A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83 C．4＜π D．0.90.3＞0.90.5 3.已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 题型六：解指数函数不等式 【例1】若，则实数a的取值范围是 . 【例2】已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若满足不等式，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 题型七：指数函数的值域问题 【例1】已知，求的最小值与最大值。 【题型专练】 1.函数在上的最大值与最小值的和为3，则=( ) A. B.2 C.4 D. 2.函数的值域为____. 题型八：指数函数解答题 【例1】已知函数是上的奇函数 （1）求实数的值 （2）解不等式 【例2】设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求实数k的值； (2)若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【题型专练】 1.已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在时的值域. 2.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)当取何值时，方程在上有实数解. 对数及对数式运算 考点一：对数式的运算 ①对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． ②常见对数的写法： 1.一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； 2.常用对数：以为底，记为； 3.自然对数：以为底，记为； ③对数的性质： 1.特殊对数：；；其中且 2.对数恒等式：(其中且，) 3.对数换底公式： 如：． 倒数原理： 如：． 约分法则： ④对数的运算法则： 1.； 2.； 3.，； 4.和． 题型一：对数的定义 【例1】在中，实数的取值范围为______. 【题型专练】 1．使式子有意义的的取值范围是（       ） A． B． C． D．且 题型二: 指数对数的互化 【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. （1）53=125； （2）4-2=； （3）log3=-3. 【题型专练】 1.指数式和对数式互相转化： （1）____________．（2）____________． （3）____________．（4）____________． 题型三: 对数的运算求值 【例1】已知，则（       ） A．25 B．5 C． D． 【例2】计算：（1）_________． （2）_________． （3）_________． （4）__________． （5）__________． 【例3】计算：__________ 【题型专练】 1.若，则_________. 2.计算：______ 3.计算___________ 4.计算:________． 题型四：换底公式的应用 【例1】已知，，则（       ） A．1 B．2 C．5 D．4 【例2】设，且，则（ ） A． B．10 C．20 D．100 【例3】已知，，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知，用含的式子表示_________. 题型五：对数式的应用题 【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A． B． C． D． 【例2】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其 中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ） A． B． C． D． 【例3】一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（       ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【题型专练】 1.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（       ） A．128 B．130 C．132 D．134 2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（       ） A． B． C． D． 对数函数 考点一：对数函数的定义 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数，它是指数函数且的反函数． 考点二：对数函数的图像及性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 考点三：对数函数底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型一：对数函数的概念 【例1】下列函数是对数函数的是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（       ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 题型二：对数函数的定义域 【例1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例2】函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的定义域是__________． 2.函数的定义域为（ ）. A． B． C． D． 4.函数的定义域为 题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别 【例1】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 【例2】函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【题型专练】 1．（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________； （2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________. 题型四：对数函数的定点问题 【例1】函数（，且）的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的图象过定点（ ） A． B． C． D． 题型五：对数函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性： （1） （2） 【例2】设为偶函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．关于函数说法正确的是（       ） A．定义域为 B．图象关于轴对称 C．图象关于原点对称 D．在内单调递增 2.设为奇函数，且当时，，若，则 题型六：对数函数的单调性 【例1】函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 2.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ） A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 题型七：对数函数的值域 【例1】已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知的值域为R，那么a的取值范围是(       ) A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1) 【例3】已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围. 【题型专练】 1.函数的值域是________. 2.已知函数的值域为R，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.已知． (1)设，求t的最大值与最小值； (2)求的值域． 题型八：对数函数的图象问题 【例1】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（       ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【例2】已知函数，则函数的图象是（　　） A．B．C．D． 【题型专练】 1．函数的图像是（       ） A．B．C．D． 2.已知，则满足的的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型九：由函数性质写函数解析式 【例1】已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________. 【例2】写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________. 【题型专练】 1．已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________. 2．已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______． 函数与方程 考点一：函数的零点的概念 ①函数零点的定义 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. ②零点存在性定理: 一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根. 注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 考点二：二分法的概念 ①对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ②对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下: ①确定区间，验证，给定精确度; ②求区间的中点; ③计算; a.若，则就是函数的零点; b.若，则令(此时零点); c.若，则令(此时零点). ④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或); 否则重复②③④. 【典型例题】 题型一：求函数的零点 【例1】已知函数，则函数的零点为（ ） A． B．，0 C． D．0 题型二：函数的零点区间 【例1】函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【例2】函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 题型三：判断函数的零点个数 【例1】方程根的个数为（ ） A．无穷多 B．3 C．1 D．0 【例2】函数的零点个数为(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3 【例3】函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型专练】 1.函数零点的个数为（ ） A． B． C． D． 2.函数的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 题型四：根据函数零点的存在情况求参数 【例1】已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ） A． B． C．（0，1） D． 题型五： 二分法的应用 【例1】根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ） A． B．1.5 C．1.562 D．1.7 【题型专练】 1.若函数的部分函数值如下，那么方程的一个近似根（精确到0.1）可以是（       ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 题型六：函数等高问题 【例1】已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【例2】已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【题型专练】 1.已知函数, 若， 互不相等，则的取值范围是          . 2.已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型七： 函数应用模型 【例1】某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ） A． B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时 【例2】2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 【题型专练】 1.随着国家宝藏的热播，人们对文物考古的兴趣日益高涨，越来越多的人走进博物馆．某市博物馆为了保护一件文物，需要在馆内一种透明且密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体，该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①需支付保护液体的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少，且每立方米液体的费用为500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为时，支付的保险费用为4000元． （1）求该博物馆支付的总费用元与保护罩容积之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付的总费用的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$