第三章 函数的概念与性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修1学习材料---函数的概念和性质 函数的概念与表示 考点一：函数的概念 设、是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合到集合的一个函数，记作，. 其中：叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 考点二：函数的三要素 函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 考点三：函数的表示方法 ①解析法 就是把变量，之间的关系用一个关系式来表示，通过关系式可以由的值求出的值. ②图象法 就是把，之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量，的值. ③列表法 就是将变量，的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 考点四：分段函数的概念 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．例如 题型一：函数的概念 【例1】下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（  ） A．B．C．D． 【例2】设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（  ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【例3】设集合，，若对于函数，其定义域为，值域为，则这个函数的图象可能是（  ） A．B．C．D． 【题型专练】 1.下列图象中不能作为函数图象的是（ ） A．B．C．D． 2．若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（       ） A．B．C．D． 题型二：函数定义域 1.已知函数解析式，求定义域 (1)分式型函数：分母不等于零. (2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. 【例1】（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（       ） A． B． C．且 D． 【例2】函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．函数的定义域是（     ） A．[-3，+∞） B．（0，+∞） C．（-3，+∞） D． 2.函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是______. 2.抽象函数定义域 记住两句换：①等价 ②定义域对来说 【例1】已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（       ） A．， B．， C．， D．， 【例2】已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（       ） A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D． 2.已知的定义域为，则的定义域为                      （       ） A． B． C． D． 3.已知函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 题型三：函数的解析式的求法 1. 待定系数法求函数解析式 【例1】已知是二次函数且，，求; 【例2】若是一次函数，且，则= _________________。 【题型专练】 1．一次函数满足：，则的解析式可以是（       ） A． B． C． D． 2．已知是二次函数．且．则________． 2. 换元法求函数解析式 【例1】已知，则函数的解析式是（       ） A． B．（且） C． D． 【例2】已知函数，则的最小值是（       ） A． B．2 C．1 D．0 【题型专练】 1．若函数，则等于（     ） A． B． C． D． 2.已知，则（       ） A． B． C． D． 3.已知，则 （       ） A． B． C． D． 4.已知数，则的解析式为（       ） A． B． C． D． 4.已知且，则a的值为________． 3. 方程组法求函数解析式 【例1】已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（       ） A． B． C． D． 【例2】已知满足，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．若，则______． 2.已知，则的解析式为________. 题型四： 分段函数 【例1】设函数，则（       ） A．6 B．7 C．9 D．10 【例2】已知，函数，若，则（       ） A．0 B．2 C．5 D．6 【例3】设函数若f（a）＝4，则实数a＝（       ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【题型专练】 1.函数则（       ） A． B． C． D． 2.已知函数，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 3.已知，则为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.已知函数，若，则x的值是（       ） A．3 B．9 C．或1 D．或3 函数值域的常见求法 题型一：直接法（直接利用不等式的性质，由定义域的取值范围，推出的取值范围） 【例1】函数的定义域是，求值域。 【例2】函数的值域是 （A） （B） （C） （D） 【例3】函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的值域是（        ） A． B． C． D． 2.下列函数中，值域是的是（   　 ） A． B． C． D． 3.函数（）的值域为（       ） A． B． C． D． 题型二：配方法（一般适用求二次函数的值域，一般看开口方向和对称轴即可） 【例1】已知，定义域为 [1，3]，求其值域。 【例2】函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【例3】函数的值域是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数定义域和值域分别为、，则=（       ） A．[-1，3] B．[-1，4] C．[0，3] D．[0，2] 2.若函数的定义域和值域都是，则（       ） A．1 B．3 C． D．1或3 题型三：换元法（适用于形如，以及） 如：函数，可以令，得到，函数 可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． 【例1】求函数的值域。 【例2】求函数的值域。 【题型专练】 1.函数，的值域为　　 A． B． C． D． 2.若函数的值域是，函数的值域是，则__________． 题型四：图像法（画出函数的图像，直接求出定义域） 【例1】函数的值域为_____. 【例2】定义为中的最小值，设，则的最大值是_____． 【题型专练】 1.对任意，函数，则的最小值为(　　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知函数，函数的最大值为________．最小值为________． 函数的单调性 考点一：函数单调性的定义 如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。 考点二：单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增函数； 在是减函数； 在是减函数。 在是增函数。 考点三：函数单调性的应用 即若在区间上递增（递减）且()； 若在区间上递递减且.(). 考点四：函数单调性的性质 在公共定义域内，则 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数。 考点五：双勾函数及其性质 函数叫做双勾函数 在上单调递增；在上是单调递减。 考点六：复合函数单调性的判断（同增异减） 讨论复合函数的单调性时要注意： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 题型一：用定义法证明函数单调性 证明函数单调性的步骤: (1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； (3)定号:判断差的正负或商与的大小关系； (4)得出结论． 【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。 【题型专练】 1.判断 在 的单调性. 题型二：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样） 【例1】下列命题正确的是（ ） A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数 【题型专练】 1.给出下列命题，其中是错误命题的是（       ） A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4]. B．函数的单调递减区间是 C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数. D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数. 题型三：基本初等函数的单调性 1.一次函数：①当时，为增函数②当时，为减函数 2.反比例函数：①当时，在和上为减函数②当时，在和上为增函数，注意：不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成，只能用“和”或者“，” 3.二次函数：，看开口方向和对称轴 【例1】函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 【例2】函数与的单调递增区间分别为（       ） A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞) C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞) 【例3】已知，，设，则关于的说法正确的是（       ） A．最大值为3，最小值为 B．最大值为，无最小值 C．单调递增区间为和，单调递减区间为和 D．单调递增区间为和，单调递减区间为和 【题型专练】 1.下列说法正确的是( ) 若，当时，，则在上为增函数 函数在上为增函数 函数 在定义域内为增函数 函数的单调增区间为 2.下列函数中，满足“对于任意，都有”的是 3.函数 的单调递减区间是________． 题型四：函绝对值函数的单调性判断 1.注意函数和函数图象的画法 2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值 【例1】函数的递增区间是______. 【例2】求函数的单调递增区间________. 【例3】函数的单调递减区间是________. 【例4】函数的单调递增区间为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.求函数的单调增区间为 2.已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 3.函数的单调递增区间是（       ） A． B．和 C． D．和 题型五：已知函数的单调性求参数范围 【例1】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【例2】已知函数与在区间上都是减函数，那么（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（       ） A． B． C． D． 2.若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______． 3.若是上的严格减函数.则实数的取值范围是________． 题型六：分段函数的单调性求参数范围 【例1】已知函数 若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（       ） A．2 B． C． D．1 【例2】已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（       ） A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D． 【题型专练】 1.函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（       ） A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4] 2.已知函数在上是减函数，则a的取值范围为 A． B． C． D． 3.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是 　 A． ﹣3≤a＜0 B． ﹣3≤a≤﹣2 C． a≤﹣2 D． a＜0 题型七：复合函数单调性（同增异减） 【例1】函数的增区间为 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为______. 2.函数的单调增区间是___________, 单调减区间是___________; 题型八：抽象函数单调性解不等式 【例1】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为______. 【例2】已知函数f(x)＝，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【题型专练】 1.已知是定义在上的减函数，并且，求实数m的取值范围． 2.已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 函数的奇偶性 考点一：函数的奇偶性的定义 对于函数的定义域内任意一个，都满足： ① 是偶函数； ②奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 考点二：函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性：是偶函数； 是奇函数； ④等价性：； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 考点三：函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． ②，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括，则． ④若函数是偶函数，则． ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． ⑥若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数． 考点四：函数的奇偶性的判断方法 利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称； ②数量关系哪个成立； 题型一：判断函数的奇偶性 【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）； （7） （8） 【例2】判断函数的奇偶性。 【例3】设是上的任意函数，下列叙述正确的是（　　） 是奇函数 是奇函数 是偶函数 是偶函数 【例4】（2022江苏高一单元测试）关于函数，描述不正确的是（       ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在定义域上是增函数 D．的图像关于原点对称 【题型专练】 1.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数 2.（多选题）下列对函数奇偶性判断正确的是（ ） A. 奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数 3.已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 A. B. C. D. 4.下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 题型二：奇偶函数的图像特征 【例1】下面四个结论中，正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R) A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】若是奇函数，则下列说法正确的是（       ） A．一定是偶函数 B．一定是偶函数 C． D． 【例3】设奇函数的定义域为．若当时，的图像如图所示，则不等式的解集是_________． 【题型专练】 1.函数是奇函数，其图象上有一点，则函数的图象必过点（       ） A． B． C． D． 2.设奇函数的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，的图象如图，则不等式＜0的解集是________. 3.若为R上的奇函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 题型三：已知函数奇偶性求参数 【例1】已知为奇函数，则________。 【例2】已知为偶函数，则 ________。 【例3】如果定义在区间上的函数为奇函数，则=_____ 【题型专练】 1.已知为偶函数，则在区间上为 A．增函数 B．增函数 C．先增后减 D．先减后增 2.已知是定义在区间上的偶函数，则______. 题型四：利用奇偶性求函数值 【例1】已知为奇函数，且当时，，则 【例2】已知函数是偶函数，且则 【例3】函数为定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知函数为偶函数，且当时，，则 ． 2.已知函数是偶函数，是奇函数，则，则 A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知函数与满足，且当在上为奇函数，，则 题型五：利用奇偶性求函数解析式 【例1】已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________ 【例2】已知为偶函数，，求解析式？ 【题型专练】 1.已知是定义在上的奇函数，当时，，则___________，在上的解析式为___________. 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）画出当时，函数图象； （2）求出解析式. 题型六：给出函数性质，写函数解析式 【例1】已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②是偶函数；③在上是减函数，则的一个解析式是___________. 【例2】请写出一个同时满足以下三个条件的函数（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则______. 【题型专练】 1.请写出一个同时满足下列三个条件的函数______. （1）是偶函数；（2）在上单调递增；（3）的值域是. 2.若f（x）是R上的偶函数，且在（0，）上单调递减，则函数f（x）的解析式可以为f（x）=___________.（写出符合条件的一个即可） 题型七：奇函数+常数模型（） 【例1】已知且，求的值____ 【题型专练】 1.已知，则= 题型八：单调性和奇偶性综合求不等式范围问题 【例1】已知定义在R上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为 A. B. C. D. 【例2】函数满足，在（0，）上是单调递减函数，且f（2）=0，则的解集是（       ） A． B． C． D． 【例3】已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3.设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 幂函数及其性质 考点一：幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 考点二：常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减， 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 公共点 考点三：幂函数的单调性 在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数. 题型一 幂函数的概念 【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】已知是幂函数，求、的值． 【题型专练】 1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：幂函数的三要素 【例1】幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（       ） A．5 B．1 C．2 D．4 【题型专练】 1.已知幂函数的图象经过点，则的值为___． 2.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 题型三：幂函数的性质 【例1】幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（       ） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1 【例2】幂函数在区间上单调递增，则（       ） A．27 B． C． D． 【题型专练】 1．若幂函数在上单调递减，则（       ） A．或2 B．2 C． D． 2．已知幂函数上单调递增，则（       ） A．0 B． C． D． 题型四：幂函数的图象 【例1】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （       ） A． B． C． D． 【例2】已知幂函数的图象为曲线，有下列四个性质： ①为偶函数； ②曲线不过原点； ③曲线C在第一象限呈上升趋势； ④当时，. 写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数___________. 【题型专练】 1.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（       ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 2.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ） A．B．C．D． 题型五： 幂函数的综合运用 【例1】已知幂函数在区间)上单调递增. （1）求的解析式； （2）用定义法证明函数在区间上单调递减. 【例2】已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【题型专练】 1．若幂函数在其定义域上是增函数. （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围. 2.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若实数，（，）满足，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$必修1学习材料-函数的概念和性质 函数的概念与表示 考点一:函数的概念 设、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么称为从集合到集合的一个函数,记作,. 其中:叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域 与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 考点二:函数的三要素 函数的三要素:定义域、值域和对应关系. 同一(相等)函数:如果两个函数的定义和对应关系完全一致,则这两个函数相等. 考点三:函数的表示方法 ①解析法 就是把变量,之间的关系用一个关系式来表示,通过关系式可以由的值求出的值. ②图象法 就是把,之间的关系绘制成图象,图象上每个点的坐标就是相应的变量,的值. ③列表法 就是将变量,的取值列成表格,由表格直接反映出两者的关系. 考点四:分段函数的概念 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.例如 题型一:函数的概念 【例1】下列四个图形中,不是以为自变量的函数的图象是( ) A.B.C.D. 【答案】C 由函数定义:定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应, A、B、D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的函数值与之对应,不符合函数定义. 故选:C 【例2】设集合,,那么下列四个图形中,能表示集合到集合的函数关系的有( ) A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 【答案】C 由题意,函数的定义域为, 对于①中,函数的定义域不是集合,所以不能构成集合到集合的函数关系; 对于②中,函数的定义域为集合,值域为集合,所以可以构成集合到集合的函数关系; 对于③中,函数的定义域为集合,值域为集合,所以可以构成集合到集合的函数关系; 对于④中,根据函数的定义,集合中的元素在集合中对应两个函数值,不符合函数的定义,所以不正确. 故选:C 【例3】设集合,,若对于函数,其定义域为,值域为,则这个函数的图象可能是( ) A.B.C.D. 【答案】D 对于A,函数的定义域为,不满足题意,故A不正确; 对于B,一个自变量对应多个值,不符合函数的概念,故B不正确; 对于C,函数的值域为,不符合题意,故C不正确; 对于D,函数的定义域为,值域为,满足题意,故D正确. 故选:D 【题型专练】 1.下列图象中不能作为函数图象的是( ) A.B.C.D. 【答案】B 能作为函数图象,需满足:按照图像得出的对应关系,对于自变量x的取值范围内的每一个值,按照图像得出的对应关系,都有唯一的一个y值和它对应;从图像直观来看,平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B 2.若函数的定义域为,值域为,则的图象可能是( ) A.B.C.D. 【答案】B 【分析】利用函数的定义,数形结合即可对选项进行判断. 【详解】选项A中,当时,,不符合题意,排除A;选项C中,存在一个x对应多个y值,不是函数的图象,排除C;选项D中,x取不到0,不符合题意,排除D. 故选:B. 题型二:函数定义域 1.已知函数解析式,求定义域 (1)分式型函数:分母不等于零. (2)偶次根型函数:被开方数大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 (4)的定义域是. 【例1】(2022 新疆喀什 高一期末)函数中,自变量x的取值范围是( ) A. B. C.且 D. 【答案】B 由题意知,,解得,即函数的定义域为. 故选:B 【例2】函数的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】C 要使函数有意义,则有,解得且,所以其定义域为. 故选:C. 【题型专练】 1.函数的定义域是( ) A.[-3,+∞) B.(0,+∞) C.(-3,+∞) D. 【答案】D 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意且, 所以函数的定义域是. 故选:D 2.函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由分母中根式内部的代数式大于0,0指数幂的底数不为0联立不等式组求解. 【详解】由,解得且. 函数的定义域为. 故选:C. 3.函数的定义域是_. 【答案】 【分析】由根式内部的代数式大于等于且分式的分母不等于,联立不等式组求解的取值集合得答案. 【详解】由,得且, 函数的定义域为; 故答案为:. 2.抽象函数定义域 记住两句换:①等价 ②定义域对来说 【例1】已知函数的定义域为,值域为,那么函数的定义域和值域分别是( ) A., B., C., D., 【答案】C 【详解】令得,即为函数的定义域, 而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象, 故其值域不变. 故选:C. 【例2】已知函数的定义域为,则的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵函数的定义域为,∴,则, 即的定义域为,由,得,∴的定义域是, 故选:A 【题型专练】 1.已知函数的定义域为(-2,0),则的定义域为( ) A.(-1,0) B.(-2,0) C.(0,1) D. 【答案】C 【分析】由题设函数的定义域,应用换元法求出的定义域,进而求的定义域即可. 【详解】由题设,若,则, ∴对于有,故其定义域为. 故选:C 2.已知的定义域为,则的定义域为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由求出的范围,然后可得答案. 【详解】因为的定义域为,所以,所以,所以的定义域为. 故选:C 3.已知函数的定义域为,则的定义域为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意函数的定义域为, , 所以, 解得或, 所以的定义域为. 故选:B 题型三:函数的解析式的求法 1. 待定系数法求函数解析式 【例1】已知是二次函数且,,求; 【答案】 【详解】设 ,由题意可知, 所以 有待定系数可知,解得,所以 【例2】若是一次函数,且,则= _。 【答案】或 【详解】设 ,由题意可知 有待定系数可知,解得或者, 所以或者 【题型专练】 1.一次函数满足:,则的解析式可以是( ) A. B. C. D. 【答案】AD 【分析】根据待定系数法,设出,可得,再根据对应项系数相等即可求出. 【详解】设,则,所以 ,解得或,即或. 故选:AD. 2.已知是二次函数.且.则_. 【答案】 【分析】设,化简整理对应系数得到,解方程组即可求出结果. 【详解】设, 则, , 所以,又, 因此,解得,所以, 故答案为:. 2. 换元法求函数解析式 【例1】已知,则函数的解析式是( ) A. B.(且) C. D. 【答案】B 【分析】根据换元法求解析式即可. 【详解】解:由题知且,令,则(且), ∴(且), ∴(且). 故选:B. 【例2】已知函数,则的最小值是( ) A. B.2 C.1 D.0 【答案】B 【分析】利用换元法求出函数解析式,根据二次函数求最值即可. 【详解】令,则,且, 所以, 所以, 当时,. 故选:B 【题型专练】 1.若函数,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】换元法求出函数的解析式,代入计算即可求出结果. 【详解】令,得,所以, 从而. 故选:A. 2.已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】令,,利用换元法求函数解析式. 【详解】令,,则, 由得,,, 即,. 故选:C. 3.已知,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据,利用整体思想求出的解析式,求得,从而即求出. 【详解】解:因为, 所以, , 所以. 故选:D. 4.已知数,则的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】首先换元,设,再代入求函数的解析式. 【详解】设,则, 则,即. 故选:B 4.已知且,则a的值为_. 【答案】 【分析】利用换元法求得函数的解析式,根据,列出方程,即可求解. 【详解】设,则, 因为,所以,即, 又因为,可得,解得. 故答案为:. 3. 方程组法求函数解析式 【例1】已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且,则f(x)=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得. 【详解】∵,①, ∴,② ①②联立方程组可解得(). 故选:B. 【例2】已知满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由,可得,解方程组求出,结合选项逐一判断即可. 【详解】, 化简得 两式相加得,解得 故,A正确,B错误; 又,则,C正确,D错误; 故选:AC 【题型专练】 1.若,则_. 【答案】 【分析】将用代替又可得一个等式,将两个等式联立解方程即可得出结果. 【详解】由①, 将用代替得②, 由①②得. 故答案为:. 2.已知,则的解析式为_. 【答案】 【解析】由,,联立可求解. 【详解】因为,(1) 所以, 所以,(2) (2)-(1)可得,. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式,意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 题型四: 分段函数 【例1】设函数,则( ) A.6 B.7 C.9 D.10 【答案】B 故选:B 【例2】已知,函数,若,则( ) A.0 B.2 C.5 D.6 【答案】B 因为,所以, 故选:B 【例3】设函数若f(a)=4,则实数a=( ) A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2 【答案】B 当时,,解得; 当时,,解得, 因为,所以, 综上,或, 故选: 【题型专练】 1.函数则( ) A. B. C. D. 【答案】D . 故选:D. 2.已知函数,则( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【详解】 因函数,则, 所以. 故选:C 3.已知,则为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 因,则, 所以为2. 故选:A 4.已知函数,若,则x的值是( ) A.3 B.9 C.或1 D.或3 【答案】A 当时,,解得(舍去); 当时,,解得或(舍去). 故选:A 函数值域的常见求法 题型一:直接法(直接利用不等式的性质,由定义域的取值范围,推出的取值范围) 【例1】函数的定义域是,求值域。 【答案】 【详解】解法一:图象法:由题意知函数是由向右平移个单位得到,画出函数图象易得值域为 解法二:直接利用不等式性质:因为,所以,所以,所以 【例2】函数的值域是 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【详解】因为,所以,所以,所以 【例3】函数的值域是( ) A. B. C. D. 【答案】A 解: 又,所以函数的值域为 故选:A 【题型专练】 1.函数的值域是( ) A. B. C. D. 【答案】B 因为,所以,因此,函数的值域是. 故选:B. 2.下列函数中,值域是的是( ) A. B. C. D. 【答案】CD 【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义,即可得到结果. 【详解】对于A,,值域为,A不正确; 对于B,,值域为,B不正确; 对于C,,值域为,C正确; 对于D,,值域为,D正确. 故选:CD. 3.函数()的值域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先分离常数,再求出,从而得到即可得到答案. 【详解】,由于,∴,,, 于是,故函数的值域为. 故选:A. 题型二:配方法(一般适用求二次函数的值域,一般看开口方向和对称轴即可) 【例1】已知,定义域为 [1,3],求其值域。 【答案】 【详解】由题意知函数的开口向上,对称轴为,所以在上为单调递增函数,所以 , 得值域为 【例2】函数的值域为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为,且, 所以,即的值域为. 故选:A 【例3】函数的值域是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由得,得, 设,则, 所以,即函数的值域是. 故选:C 【题型专练】 1.函数定义域和值域分别为、,则=( ) A.[-1,3] B.[-1,4] C.[0,3] D.[0,2] 【答案】D 解:要使函数有意义,则解得,故; 由,所以.故. 则选:D 2.若函数的定义域和值域都是,则( ) A.1 B.3 C. D.1或3 【答案】B 因为函数在上为增函数,且定义域和值域都是, 所以,,解得或(舍), 故选:B 题型三:换元法(适用于形如,以及) 如:函数,可以令,得到,函数 可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制. 【例1】求函数的值域。 【答案】 【详解】设,则的对称轴为,所以在上单调递增,所以当时,,所以的值域为 【例2】求函数的值域。 【答案】 【详解】设,则,函数可化为 ,对称轴为,所以函数在上单调递减,所以当时,,所以原函数的值域为 【题型专练】 1.函数,的值域为 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设,则,函数可化为,对称轴为,所以当时,函数,当时,,所以原函数的值域为 2.若函数的值域是,函数的值域是,则_. 【答案】 【分析】先求出集合,再求得解. 【详解】由题得,所以函数的值域为. 对于函数,函数的定义域为, 设,所以,所以, 函数的对称轴为,所以函数的值域为. 所以. 故答案为: 题型四:图像法(画出函数的图像,直接求出定义域) 【例1】函数的值域为_. 答案: 【详解】 由图可知:的值域为 【例2】定义为中的最小值,设,则的最大值是_. 【答案】 2 【详解】本题若利用的定义将转为分段函数,则需要对三个式子两两比较,比较繁琐,故考虑进行数形结合,将三个解析式的图像作在同一坐标系下,则为三段函数图像中靠下的部分,从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点,即,所以. 【题型专练】 1.对任意,函数,则的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【详解】画出图像可知:在处取最小值,因为,所以 2. 已知函数,函数的最大值为_.最小值为_. 【答案】 2 - 【详解】作出f(x)的图象如图. 由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当x=时,f(x)取最小值为-.所以f(x)的最大值为2,最小值为-. 函数的单调性 考点一:函数单调性的定义 如果函数对区间内的任意,当时都有,则在内是增函数;当时都有,则在内时减函数。 考点二:单调性的定义的等价形式: 设,那么在是增函数; 在是减函数; 在是减函数。 在是增函数。 考点三:函数单调性的应用 即若在区间上递增(递减)且(); 若在区间上递递减且.(). 考点四:函数单调性的性质 在公共定义域内,则 ①增函数增函数是增函数; ②减函数减函数是减函数; ③增函数减函数是增函数; ④减函数增函数是减函数。 考点五:双勾函数及其性质 函数叫做双勾函数 在上单调递增;在上是单调递减。 考点六:复合函数单调性的判断(同增异减) 讨论复合函数的单调性时要注意: ①若,在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则为增函数; ②若,在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则为减函数.列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单性相同时递增;单性相异时递减. 【典型例题】 题型一:用定义法证明函数单调性 证明函数单调性的步骤: (1)取值:设,是定义域内一个区间上的任意两个量,且; (2)变形:作差变形(变形方法:因式分解、配方、有理化等)或作商变形; (3)定号:判断差的正负或商与的大小关系; (4)得出结论. 【例1】证明函数在(0,1)上是减函数。 证明:设,且,则 因为,且,所以,所以,所以,所以函数在(0,1)上是减函数。 【题型专练】 1.判断 在 的单调性. 【答案】函数在 内单调递减,在 内单调递增. 【分析】根据单调性的定义,假设自变量的大小,作差比较函数值的大小,进而可判断单调性. 【详解】设, 则 (1)假如,则 又,所以故函数单调递减; (2)假如,则 又所以故函数单调递增; 所以函数在内单调递减,在内单调递增. 题型二:函数单调性定义的理解(注意对于任意字样) 【例1】下列命题正确的是( ) A.若对于,,,都有,则函数 在R上是增函数 B.若对于,,,都有,则函数在R上是增函数 C.若对于,都有成立,则函数 在R上是增函数 D.若对于,都有,为增函数,则函数在R上也是增函数 【答案】AB 【详解】A选项中,化简为, 故函数在R上是增函数; B选项中, 故函数在R上是增函数; C选项中,令,表示不超过x的最大的整数, 满足,但在R上不是增函数; D选项中,令,但函数在R上不单调. 【题型专练】 1.给出下列命题,其中是错误命题的是( ) A.若函数的定义域为[0,2],则函数的定义域为[0,4]. B.函数的单调递减区间是 C.若定义在R上的函数在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数,则在R上是单调增函数. D.、是在定义域内的任意两个值,且<,若,则减函数. 【答案】ABC 【解析】对于A,由于的定义域为[0,2],则由可求出的定义域;对于B,反比例函数的两个单调区间不连续,不能用并集符号连接;对于C,举反例可判断;对于D,利用单调性的定义判断即可 【详解】解:对于A,因为的定义域为[0,2],则函数中的,,所以的定义域为,所以A错误; 对于B,反比例函数的单调递减区间为和,所以B错误; 对于C,当定义在R上的函数在区间上是单调增函数,在区间上也是单调增函数,而在R上不一定是单调增函数,如下图,显然, 所以C错误; 对于D,根据函数单调性的定义可得该选项是正确的, 故选:ABC 题型三:基本初等函数的单调性 1.一次函数:①当时,为增函数②当时,为减函数 2.反比例函数:①当时,在和上为减函数②当时,在和上为增函数,注意:不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数,不连续的函数一定要注意,不能写成,只能用“和”或者“,” 3.二次函数:,看开口方向和对称轴 【例1】函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得解; 【详解】解:因为定义域为,函数在和上单调递减, 故函数的单调递减区间为和; 故选:A 【例2】函数与的单调递增区间分别为( ) A.[1,+∞),[1,+∞) B.(﹣∞,1],[1,+∞) C.(1,+∞),(﹣∞,1] D.(﹣∞,+∞),[1,+∞) 【答案】A 【解析】先对,进行化简,再求单调区间即可. 【详解】解: , 在上单调递增, , 在上单调递增, 故选:A. 【例3】已知,,设,则关于的说法正确的是( ) A.最大值为3,最小值为 B.最大值为,无最小值 C.单调递增区间为和,单调递减区间为和 D.单调递增区间为和,单调递减区间为和 【答案】BC 【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象,结合图象即可得出的性质,判断各选项. 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象, 当时,,表示的图象在的图象下方就留下的图象, 当时,,表示的图象在的图象下方就留下的图象, 然后根据定义画出, 就容易看出有最大值,无最小值, 故A错误, 当时,由,得舍或, 此时的最大值为:,无最小值, 故B正确, 时,由,解得:(舍去), 故F在,递增,在和递减 故C正确,D错误, 故选:BC. 【题型专练】 1.下列说法正确的是( ) 若,当时,,则在上为增函数 函数在上为增函数 函数 在定义域内为增函数 函数的单调增区间为 【答案】B 【详解】对A,由函数单调性的定义知,应为对于任意,所以没有任意二字,不对 对B,对称轴为,开口向上,所以函数在上为增函数 对C,所以在和上分别为增函数,但不能说定义域内单调递增 对D,在和上分别为减函数,,但中间不能用这个符号 2.下列函数中,满足“对于任意,都有”的是 【答案】C 【详解】因为“对于任意,都有”,所以在上为增函数 3.函数 的单调递减区间是_. 【答案】(-∞,1),(1,+∞) 【分析】根据函数单调性的定义求得函数 的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),设x1,x2∈(-∞,1),且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=-=.因为x1<x2<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,同理函数f(x)在(1,+∞)上单调递减. 综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,1),(1,+∞). 故答案为:(-∞,1),(1,+∞) 题型四:函绝对值函数的单调性判断 1.注意函数和函数图象的画法 2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值 【例1】函数的递增区间是_. 【答案】[1,+∞) 【分析】画出函数y=|x﹣1|的图象,数形结合可得函数的增区间. 【详解】解:函数y=|x﹣1|的图象如图所示: 数形结合可得函数的增区间为[1,+∞), 故答案为:[1,+∞). 【点睛】本题主要考查函数的图象特征,函数的单调性的判断,体现了数形结合的数学思想,属于基础题. 【例2】求函数的单调递增区间_. 【答案】和 【解析】分类讨论去绝对值,求出分段函数的解析式,转化为二次函数的单调性,结合函数图像,即可求解. 【详解】, 作出函数图象如图所示. 函数的单调递增区间是和. 故答案为:和. 【点睛】本题考查分段函数和二次函数的单调性,属于中档题. 【例3】函数的单调递减区间是_. 【答案】 【解析】由,分段讨论出函数的单调区间,从而得出答案. 【详解】由 当时,开口向上,对称轴方程为,所以在上单调递增. 当时,开口向下,对称轴方程为 所以此时在上单调递增,在上单调递减. 故答案为: 【例4】函数的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】去绝对值,将化为分段函数,转化为二次函数的单调区间,即可求解. 【详解】, 所以递增区间是. 故选:C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性,注意二次函数单调性的应用,属于基础题. 【题型专练】 1.求函数的单调增区间为 【答案】和 【详解】画出函数的图象(如图所示)可知 2.已知函数,则下列结论正确的是( ) A.增区间是 B.减区间是 C.增区间是 D.增区间是 【答案】D 【解析】根据题意,将写成分段函数的形式,结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间,综合可得答案. 【详解】根据题意,函数, 当时,,在区间上为减函数,在区间上为增函数; 当时,,在区间上为增函数,在区间上为减函数; 综合可得:在区间和上为减函数,在区间上为增函数, 故选:D. 3.函数的单调递增区间是( ) A. B.和 C. D.和 【答案】B 【解析】作出函数的图象,由图象求解单调区间. 【详解】, 作出其图象如图所示: 由图象可知,函数的增区间为和. 故选:B 题型五:已知函数的单调性求参数范围 【例1】已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【详解】的对称轴为,因为在区间上是减函数,所以,解得 【例2】已知函数与在区间上都是减函数,那么( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】二次函数在区间单减,则区间在二次函数的减区间范围内,从而求得的范围;反比例函数在区间单调递减,得,取交集即可 【详解】根据二次函数的表达式可知,的对称轴为,开口向下,若在区间上是减函数,则,是反比例函数,若在区间是减函数,则,所以 故选:C 【题型专练】 1.函数在区间上单调递增,则的取值范围是有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】首先求出函数的对称轴,根据二次函数的性质得到不等式,解得即可; 【详解】解:因为函数,开口向下,对称轴为,依题意,解得,即 故选:D 2.若函数在上是严格增函数,则实数a的取值范围是_. 【答案】 【分析】由题意知函数是严格增函数,故前面的系数大于零,即可得到答案. 【详解】 函数在上是严格增函数,. 故答案为:. 3.若是上的严格减函数.则实数的取值范围是_. 【答案】 【分析】当时,符合题意,当时,求出对称轴,由二次函数的性质可得或即可求解. 【详解】当时,在上单调递减,所以符合题意; 当时,对称轴为, 若是上的严格减函数, 则或,可得或, 综上所述:实数的取值范围是, 故答案为:. 题型六:分段函数的单调性求参数范围 【例1】已知函数 若对任意,,且,有成立,则实数a的值是( ) A.2 B. C. D.1 【答案】D 【分析】根据,得出函数在R上单调递减,分段函数递减必须满足,每一段是减函数,同时保证在分端点左右两端相等或递减,列式即可求解. 【详解】因为成立, 所以函数在R上单调递减, 由题意,得 , . 故选:D. 【例2】已知函数是R上的增函数,则a的取值范围为( ) A.[-4,0) B.[-4,-2] C. D. 【答案】B 【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值,即可得到不等式组,解得即可; 【详解】解:因为且在上单调递增, 所以,解得,即 故选:B 【题型专练】 1.函数,若对任意,都有成立,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,1] B.(1,5) C.[1,5) D.[1,4] 【答案】D 【分析】由函数的单调性可求解. 【详解】因为对任意,都有成立,所以是减函数, 则,解得. 故选:D. 2.已知函数在上是减函数,则a的取值范围为 A. B. C. D. 答案:B 解析:因为函数在上是减函数, 所以,解得 3.已知函数是R上的增函数,则a的取值范围是 A. ﹣3≤a<0 B. ﹣3≤a≤﹣2 C. a≤﹣2 D. a<0 答案:B 解析:因为函数在上是减函数, 所以,解得 题型七:复合函数单调性(同增异减) 【例1】函数的增区间为 答案: 解析:函数的定义域为,解得 设,对称轴,所以函数的增区间为 【题型专练】 1.函数的单调递增区间为_. 【答案】 【分析】先求函数的定义域,再由复合函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得,即,解得:, 所以函数的定义域是, 是由和 复合而成, 因为对称轴为,开口向下, 所以在区间上单调递增,在区间上单调递减, 而单调递增, 所以的单调递增区间是, 故答案为:. 2.函数的单调增区间是_, 单调减区间是_; 解析:函数的定义域为,解得 设,对称轴,所以函数的单调增区间是和,单调减区间是和 3.函数在上是单调递减函数,则的单调递增区间是 答案: 解析:函数的定义域为,解得 设,对称轴,开口向下,所以函数的单调递增区间是为 题型八:抽象函数单调性解不等式 【例1】已知是定义在区间上的增函数,且,则的取值范围为_. 【答案】 【分析】由增函数的定义求解. 【详解】由题意,得解得①. 因为是定义在区间上的增函数,且, 所以,解得②.由①②得. 所以满足题设条件的的取值范围为. 故答案为: 【例2】已知函数f(x)=,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案:C 解析:函数,由函数解析式可知,在上是单调递增函数,因f(2-a2)>f(a),得,即,解得 【题型专练】 1.已知是定义在上的减函数,并且,求实数m的取值范围. 答案: 解析:是定义在上的减函数,并且,所以,所以,解得 2.已知函数对于任意的,都有,则的大小关系为 答案: 解析:因为函数对于任意的,都有,所以在区间上是减函数, 所以,所以 函数的奇偶性 考点一:函数的奇偶性的定义 对于函数的定义域内任意一个,都满足: ① 是偶函数; ②奇函数; 函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。 考点二:函数的奇偶性的几个性质 ①对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立; ③可逆性:是偶函数; 是奇函数; ④等价性:; ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称; ⑥可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 考点三:函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ②,在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括,则. ④若函数是偶函数,则. ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. ⑥若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数,为奇, 为偶函数. 考点四:函数的奇偶性的判断方法 利用奇、偶函数的定义,考查是否与、 相等,判断步骤如下: ①定义域是否关于原点对称; ②数量关系哪个成立; 题型一:判断函数的奇偶性 【例1】判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) (6); (7) (8) 【答案】见解析 【解析】(1)定义域: 因为对于任意且 所以为奇函数 (2)定义域: 因为对于任意且 所以为偶函数 (3)定义域:,即,所以为非奇非偶函数 (4)定义域: 所以为非奇非偶函数 (5)定义域:,解得,所以为非奇非偶函数 (6) 定义域:,即,所以 所以,所以,所以函数为奇函数 (7)定义域:,解得,所以,所以既是奇函数又为偶函数 (8)定义域:,即,所以为非奇非偶函数 【例2】判断函数的奇偶性。 【答案】奇函数 【解析】法一:当时,,所以 当时, 当时,,所以 所以为奇函数 法二:画出函数图象即可知:函数图象关于原点对称,所以为奇函数 【例3】设是上的任意函数,下列叙述正确的是( ) 是奇函数 是奇函数 是偶函数 是偶函数 【答案】C 【解析】对A 设,则,所以为偶函数 对B设,则,所以为非奇非偶函数 对C 设,则,所以为偶函数 对D 设,则,所以为奇函数 【例4】(2022江苏高一单元测试)关于函数,描述不正确的是( ) A.的定义域为 B.的值域为 C.在定义域上是增函数 D.的图像关于原点对称 【答案】C 【分析】求出函数的定义域,值域,函数的单调性,对称性, 对选项ABCD分别进行判断即可得. 【详解】解:由题设有,解得或, 故函数的定义域为,故A正确. 当时,,此时, 所以为上的奇函数,故其图象关于原点对称,故D正确. , 当时, 当时,, 故的值域为,故B正确. 由可得不是定义域上的增函数,故C错误. 故选:C. 【题型专练】 1.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数 【答案】C 【解析】若为奇函数,则为偶函数,若为偶函数,则仍为偶函数 奇函数奇函数=偶函数,偶函数偶函数=偶函数,奇函数偶函数=偶函数 所以选C 2.(多选题)下列对函数奇偶性判断正确的是( ) A. 奇函数 B. 是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】AD 【解析】对A ,所以为奇函数对B当时,,所以 当时,,所以,所以为偶函数 对C 定义域:,即,所以 所以,所以,所以函数为奇函数 对D 定义域:,解得,所以,所以既是奇函数又为偶函数 3.已知函数是定义在上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对A 设,则 ,所以为奇函数 对B 因为为奇函数,是定义在上的奇函数,奇函数+奇函数=奇函数 对C 定义域:,奇函数除奇函数=偶函数 对D 定义域:,所以为非奇非偶函数 4.下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对于A,为奇函数,所以A不符合题意; 对于B,为偶函数,在上单调递减,所以B不符合题意; 对于C,既是偶函数,又在上单调递增,所以C符合题意; 对于D,为奇函数,所以D不符合题意. 故选:C. 题型二:奇偶函数的图像特征 【例1】下面四个结论中,正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】偶函数的图象关于轴对称,但不一定与y轴相交,因此①错,③正确; 奇函数的图象关于原点对称,但不一定通过原点,只有在原点处有定义才通过原点,因此②错 若既为奇函数,又为偶函数,由定义知,但定义域不一定,定义域只要关于原点对称即可,因此④错 【例2】若是奇函数,则下列说法正确的是( ) A.一定是偶函数 B.一定是偶函数 C. D. 【答案】AB 【分析】根据奇函数和偶函数的定义可判断A,B;计算可判断C;计算可判断D. 【详解】∵是奇函数,∴. A中,,∴是偶函数,故A正确; B中,令,则, ∴是偶函数,故B正确; C中,,故C错误; D中,不―定成立,故D错误. 故选:AB. 【例3】设奇函数的定义域为.若当时,的图像如图所示,则不等式的解集是_. 【答案】 【分析】不等式,即或,再根据函数的奇偶性及函数图像即可得出答案. 【详解】解:由图可知:当时,,当时,, 因为函数为奇函数, 所以当时,,当时,, 不等式, 即或, 解得. 故答案为:. 【题型专练】 1.函数是奇函数,其图象上有一点,则函数的图象必过点( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用函数是奇函数可得答案. 【详解】函数的定义域为D,因为函数是奇函数,,所以, 且,所以函数的图象必过点. 故选:C. 2.设奇函数的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,的图象如图,则不等式<0的解集是_. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质,结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】利用函数的图象关于原点对称. 的解集为. 故答案为: 3.若为R上的奇函数,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【分析】利用奇函数的定义和性质即可作出判定,注意判定CD时要考虑到特殊情况. 【详解】∵在R上为奇函数,∴.∵,∴,∴,故A正确. ,故B正确. 当时,,故C不正确. 当时,无意义,故D不正确. 故选:AB. 题型三:已知函数奇偶性求参数 【例1】已知为奇函数,则_。 【答案】 【详解】法一:因为为奇函数,所以,所以,解得 法二:特殊值法:因为为奇函数,所以,所以,解得 法三:定义法:因为为奇函数,所以,所以,解得 【例2】已知为偶函数,则 _。 【答案】 【详解】法一:特殊值法:因为为偶函数,所以,所以,解得 法二:定义法:因为为偶函数,所以,所以,解得 【例3】如果定义在区间上的函数为奇函数,则=_ 【答案】 【详解】因为为奇函数,所以定义域关于原点对称,则,解得 【题型专练】 1.已知为偶函数,则在区间上为 A.增函数 B.增函数 C.先增后减 D.先减后增 【答案】C 【详解】因为为偶函数,所以,所以,对称轴为,所以在上先增后减 2.已知是定义在区间上的偶函数,则_. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义域可求得实数的值,结合二次函数的对称轴可计算出实数的值,即可得解. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称,则,解得, 因为定义在区间上的偶函数,则,得. 因此,. 故答案为:. 题型四:利用奇偶性求函数值 【例1】已知为奇函数,且当时,,则 【答案】 【详解】因为奇函数,所以 【例2】已知函数是偶函数,且则 【答案】 【详解】设,因为为偶函数,所以,即,所以 【例3】函数为定义在上的奇函数,当时,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先由为定义在上的奇函数,可得,可求出的值,从而可得时的函数解析式,然后利用奇函数的性质可求得的值 【详解】由函数为定义在上的奇函数,得,解得, 所以. 所以.所以. 故选:B. 【题型专练】 1.已知函数为偶函数,且当时,,则 . 【答案】 【详解】因为偶函数,所以 2.已知函数是偶函数,是奇函数,则,则 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【详解】令,则①,令,则 因与分别是定义域上的偶函数与奇函数,所以②,由①②解得,因为偶函数,所以 3.已知函数与满足,且当在上为奇函数,,则 【答案】 【详解】因,所以,所以,因在上为奇函数,所以,所以 题型五:利用奇偶性求函数解析式 【例1】已知函数在是奇函数,且当时,,则时,的解析式为_ 【答案】 【详解】设,则,所以 又因是定义域上的奇函数,所以,所以, 所以 【例2】已知为偶函数,,求解析式? 【答案】 【详解】设,则,所以 又因是定义域上的偶函数,所以,所以, 【题型专练】 1.(2021 台州市书生中学高一开学考试)已知是定义在上的奇函数,当时,,则_,在上的解析式为_. 【答案】, 【详解】 设,则,所以 又因是定义域上的奇函数,所以,所以, 所以 当时,,所以 2.已知函数是定义在上的奇函数,当时,. (1)画出当时,函数图象; (2)求出解析式. 【答案】(1)见解析;(2) . 【分析】(1)根据函数奇偶性的性质即可画出当时,函数的函数图象; (2)根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式. 【详解】解:(1)是奇函数,且当时,. 函数的函数图象关于原点对称,则当时,函数图象: ; (2)若,则,当时,., 则当时,.即 . 题型六:给出函数性质,写函数解析式 【例1】已知函数同时满足下列条件:①定义域为;②是偶函数;③在上是减函数,则的一个解析式是_. 【答案】或者(答案不唯一,符合题意即可) 【例2】请写出一个同时满足以下三个条件的函数(1)是偶函数;(2)在上单调递减;(3)的值域是.则_. 【答案】或者(答案不唯一,符合题意即可) 【题型专练】 1.请写出一个同时满足下列三个条件的函数_. (1)是偶函数;(2)在上单调递增;(3)的值域是. 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的性质求解 【详解】因为是偶函数,在上单调递增,的值域是, 所以同时满足三个条件的函数可以为. 故答案为:(答案不唯一) 2.若f(x)是R上的偶函数,且在(0,)上单调递减,则函数f(x)的解析式可以为f(x)=_.(写出符合条件的一个即可) 【答案】-(答案不唯一) 【分析】根据奇偶函数与增减函数的定义直接得出结果. 【详解】若,则, 故f(x)为偶函数,且易知f(x)在(0,+∞)上单调递减, 故f(x)在(0,)上单调递减,符合条件. 故答案为:. 题型七:奇函数+常数模型() 【例1】已知且,求的值_ 【答案】 【详解】设,则为奇函数,则,所以 所以,所以,所以 【题型专练】 1.已知,则= 【答案】 【详解】设,则为奇函数,则,所以 所以,所以 题型八:单调性和奇偶性综合求不等式范围问题 【例1】已知定义在R上的奇函数,且为减函数,又知,则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【详解】是定义在R上的奇函数,且为减函数,并且,所以,所以,即,解得 【例2】函数满足,在(0,)上是单调递减函数,且f(2)=0,则的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意判断出函数的单调性并将条件化简,进而结合函数的单调性求得答案. 【详解】函数f(x)满足,所以是奇函数, 则,在(0,+∞)上单调递减,且, 所以的解集为(0,2]; 在(-∞,0)上单调递减,且, 所以的解集为[-2,0). 故选:C. 【例3】已知定义域为R的函数在单调递增,且为偶函数,若,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意,由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称,结合函数的单调性以及特殊值分析可得,解可得的取值范围,即可得答案. 【详解】解:根据题意,函数为偶函数,则函数的图象关于直线对称, 又由函数在,单调递增且f(3), 则, 解可得:,即不等式的解集为; 故选:D. 【题型专练】 1.定义在上的偶函数满足:对任意的,,有,且,则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据已知可得函数在上单调递减,由为偶函数,可得在上单调递增,进而可得,然后利用单调性即可求解不等式. 【详解】解:由对任意的,,,,可知函数在上单调递减, 因为为偶函数, 所以在上单调递增, 因为,所以, 所以当或时,,当时,, 因为, 所以或, 所以或,即. 故选:D. 2.已知函数是定义在上的奇函数,当时,有恒成立,若,则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】依据题意可知函数的单调性,然后结合奇函数可得,最后计算即可. 【详解】根据已知条件:当时,有恒成立, 得函数是定义在上的减函数, 又因为函数是定义在上的奇函数,所以, 故等价于, 所以,即. 故选:B 3.设函数是奇函数,在内是增函数,又,则的解集是( ) A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】D 【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数,,然后分,和三种情况求解即可 【详解】∵函数是奇函数,在内是增函数, ∴在内也是增函数. 又,∴. ∵, ∴①当时,,∴; ②当时,,∴; ③当时,不等式的解集为. 综上,的解集为或. 故选:D. 幂函数及其性质 考点一:幂函数的定义 一般地,(为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数. 幂函数的特征:同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1; ②的底数是自变量; ③指数为常数. 考点二:常见的幂函数图像及性质: 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上 单调递增 在上 单调递减, 在上 单调递增 在上 单调递增 在上 单调递增 在和上 单调递减 公共点 考点三:幂函数的单调性 在区间上,当时,是增函数;当时,是减函数. 题型一 幂函数的概念 【例1】在函数,,,中,幂函数的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】)因为,所以是幂函数;由于出现系数2,因此不是幂函数; 是两项和的形式,不是幂函数;(),可以看出,常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点,所以常数函数不是幂函数.故选:B. 【例2】已知是幂函数,求、的值. 【答案】 【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组. 由题意得解得 即为所求. 【题型专练】 1.现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式,故,满足条件,共2个 故选:B 2.已知函数为幂函数,则_. 【答案】 【解析】由于函数为幂函数,则,即, ,解得或,所以,, 因此,. 故答案为:. 题型二:幂函数的三要素 【例1】幂函数中a的取值集合C是的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域,得到答案. 【详解】当时,定义域和值域均为,符合题意; 时,定义域为,值域为,故不合题意; 时,定义域为,值域为,符合题意; 时,定义域与值域均为R,符合题意; 时,定义域为R,值域为,不符合题意; 时,定义域与值域均为R,符合题意. 故选:C 【例2】已知幂函数的图象不过原点,则实数的取值可以为( ) A.5 B.1 C.2 D.4 【答案】BC 【分析】由幂函数的系数为,列方程求出实数的值,并检验函数的图象是否过原点,得出答案. 【详解】令,解得或, 当时,图象不过原点,成立; 当时,图象不过原点,成立; 故选:BC 【题型专练】 1.已知幂函数的图象经过点,则的值为_. 【答案】##0.5 【分析】由幂函数所过的点求解析式,进而求的函数值. 【详解】幂函数过点, ,解得, ,故. 故答案为: 2.设 ∈,则使函数y=x 的定义域为R的所有 的值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 【答案】A 【解析】当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立; 当时,函数y=的定义域为,不是R,所以不成立; 当或时,满足函数y=x 的定义域为R,故选:A. 题型三:幂函数的性质 【例1】幂函数在x(0,+∞)上是减函数,则m=( ) A.﹣1 B.2 C.﹣1或2 D.1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义,令m2﹣m﹣1=1,求出m的值,再判断m是否满足幂函数在x(0,+∞)上为减函数即可. 【详解】∵幂函数,∴m2﹣m﹣1=1, 解得m=2,或m=﹣1;又x(0,+∞)时f(x)为减函数, ∴当m=2时,m2+m﹣3=3,幂函数为y=x3,不满足题意; 当m=﹣1时,m2+m﹣3=﹣3,幂函数为,满足题意; 综上,. 故选:A. 【例2】幂函数在区间上单调递增,则( ) A.27 B. C. D. 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念及性质,求得实数的值,得到幂函数的解析式,即可求解. 【详解】由题意,令,即,解得或, 当时,可得函数,此时函数在上单调递增,符合题意; 当时,可得,此时函数在上单调递减,不符合题意, 即幂函数,则. 故选:A. 【题型专练】 1.若幂函数在上单调递减,则( ) A.或2 B.2 C. D. 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义以及其在上单调递减,列出方程以及不等式,即可求得答案. 【详解】由题意可得,解得, 故:C. 2.已知幂函数上单调递增,则( ) A.0 B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意可得且,从而可求出的值 【详解】因为幂函数上单调递增, 所以且, 解得, 故选:A 题型四:幂函数的图象 【例1】幂函数在第一象限的图像如图所示,则的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据幂函数的性质,在第一象限内,的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大,即可判断; 【详解】根据幂函数的性质, 在第一象限内,的右侧部分的图像,图像由下至上,幂指数增大, 所以由图像得:, 故选:D 【例2】已知幂函数的图象为曲线,有下列四个性质: ①为偶函数; ②曲线不过原点; ③曲线C在第一象限呈上升趋势; ④当时,. 写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数_. 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④,可取,证明即可. 【详解】解:设幂函数的解析式为, 若曲线不过原点,则, 此时函数在,故②不成立, 则当时,,故③不成立, 所以幂函数不能满足②性质, 不妨取, 函数为偶函数,曲线C在第一象限呈上升趋势,当时,, 所以幂函数满足性质①③④. 故答案为:.(答案不唯一) 【题型专练】 1.图中,,分别为幂函数,,在第一象限内的图象,则,,依次可以是( ) A.,3, B.,3, C.,,3 D.,,3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象,结合幂函数的性质判断参数的大小关系,即可得答案. 【详解】由题图知:,,, 所以,,依次可以是,,3. 故选:D 2.在同一直角坐标系中,二次函数与幂函数图像的关系可能为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】对于A,二次函数开口向上,则,其对称轴,则,即幂函数为减函数,符合题意; 对于B, 二次函数开口向下,则,其对称轴,则,即幂函数为减函数,不符合题意; 对于C,二次函数开口向上,则,其对称轴,则,即幂函数为增函数,且其增加的越来越快,不符合题意; 对于D, 二次函数开口向下,则,其对称轴,则,即幂函数为增函数,且其增加的越来越慢快,不符合题意; 故选:A 题型五: 幂函数的综合运用 【例1】已知幂函数在区间)上单调递增. (1)求的解析式; (2)用定义法证明函数在区间上单调递减. 【答案】(1);(2)证明见解析. 【解析】(1)解:由题可知:,解得或. 若,则在区间上单调递增,符合条件; 若,则在区间上单调递减,不符合条件. 故. (2)证明:由(1)可知,. 任取,,且, 则. 因为, 所以,,, 所以, 即,故在区间上单调递减. 【例2】已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1),定义域为;(2). 【分析】(1)设,由,求出的值,可得出函数的解析式,进一步可求得该函数的定义域; (2)分析可知函数是定义在上的减函数,根据所求不等式可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数的取值范围. (1)解:设,则,可得,解得, 所以,,由可得,所以,函数的定义域为. (2)解:由幂函数的性质可知,函数的定义域为,且在定义域上为减函数, 由可得,可得. 【题型专练】 1.若幂函数在其定义域上是增函数. (1)求的解析式; (2)若,求的取值范围. 【答案】(1);(2)或. 【解析】(1)因为是幂函数,所以,解得或, 又是增函数,即,,则; (2)因为为增函数,所以由可得,解得或 的取值范围是或. 2.已知幂函数()是偶函数,且在上单调递增. (1)求函数的解析式; (2)若,求的取值范围; (3)若实数,(,)满足,求的最小值. 【答案】(1);(2);(3)2. 【解析】(1)., , () 即或 在上单调递增,为偶函数 即 (2) ,,, ∴ (3)由题可知, , 当且仅当,即,时等号成立. 所以的最小值是2. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$