3.1.2 函数的概念与表示（二）讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

3.1.2 函数的概念与表示方法（二） 一．函数值域知识梳理 1. 基本初等函数的值域——定义域+图象性质 一次函数 二次函数 反比例函数 2. 求函数的值域的方法 （1） 图象观察法(有界函数）：结合初等函数的图象去判断。 ①一些特殊的函数值域： ②常用初等函数的图象：一次、二次、反比例 （2）配方法：用于二次函数 （3）分离常数法：用于分式型函数； 【注】分离常数既是求值域的方法也是化简解析式的方法 （4）换元法：用一个字母整体代换，转化为新字母的函数 （5）判别式法：二次分式型的函数，当定义域为R，且分母为二次时，可转化为二次方程在实数范围内有解，进而通过根的判别式△求解范围 二．分段函数及应用 1．分段函数定义 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【考点一 函数值】典例剖析 【题型一 知x求y】——代入计算 【总结归纳】知自变量x求函数值y 1、 具体函数：将自变量代入对应解析式中 2、抽象函数：赋值法，根据题目信息进行赋值，代入解析式进行计算　 （具体函数） 1．已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以． 【变式】（24宁夏高一上期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求出的值，再将其作为自变量代入求出的值. 【详解】已知，此时函数. 把代入可得：. 由上一步得到，那么. 因为，此时函数. 把代入可得：. 故选：C. 2．（25广西柳州高一下月考）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. （抽象函数） 3．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【详解】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 【变式】（24河北高一上月考）定义在上的函数满足:，则 . 【答案】0 【分析】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【详解】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 【题型二 知y求x】——代入解方程 4．（24海南海口高一上期中）已知函数，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令 . 故答案为：. 5．设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 【变式】已知函数若，则 ． 【答案】或 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解. 【详解】若，则，当且仅当时，等号成立； 若，则，当且仅当时，等号成立； 令，则，可得或． 当时，即，显然，因此； 当时，即，显然，因此， 综上所述：或． 故答案为：或. 【考点二 求函数值域】 【题型一 初等函数的值域】 【总结归纳】初等函数值域的求法 1、 直接列举法 2、根据一些特殊的函数值域进行变化： 3、利用初等函数的图象求解 (1)先画出完整图象 (2)将定义域标注在图象上 (3)观察图象，图象的最高点即为最大值，图象的最低点即为最小值，所有能取到的函数值构成值域　 6．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 7．（24四川攀枝花高一上月考）（多选）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 8．（1）（24四川南充高一上期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： （2）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的性质进行求解即可. 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 【题型二 复合函数的值域】——的函数 9．求下列函数的值域 （1）． 【答案】 【分析】利用图象法或者利用不等式的性质即可求解. 【详解】解法一：图象法： 由题意知函数是由向右平移个单位得到， 画出函数图象易得值域为. 解法二：直接利用不等式性质： 因为或，所以或， 所以或，所以或， 故函数的值域为. （2） 【答案】 【分析】先求出分母的范围，然后根据倒数关系即可得的值域. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 10．求下列函数的值域 (1)； 【答案】(1) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】（1）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． (2)； 【答案】(2) 【分析】（2）将原函数化简为，根据二次函数的性质和根号的取值，即可得到值域； 【详解】（2）因为，所以，所以函数的值域为； 【题型三 根式型函数】 【归纳总结】形如的函数求值域——换元法 1、特征：根式和一次同时出现，表现为相对二次关系； 2、具体操作：令根式部分为新的元t ，用其表示出相对二次部分，整体替换，得一新函数 11．（24江苏苏州高一上期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 【练习】（25江西南昌高一上期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 【题型四 分式型函数】 类型1： → 分离常数/除法——变形后最终可转换为标准初等函数或复合函数 12．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分离常量法知，则在上递减，进而可求上值域. 【详解】由，对称中心为，且在上递减， ∴在上值域为， 故选：A 【练习】（24河北石家庄高一上期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为， 且， 则， 即， 故选：C. 13．函数的值域是_________ 【答案】 【解析】化简函数的解析式为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数， 因为，所以，则，可得， 故函数的值域是. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 类型2： → 分离常数/除法——最终可转换基本不等式或双勾型函数 14．（24浙江杭州高一上期中）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意结合基本不等式求值域； 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 类型3： → 法1：上下同除——转化为反比例型的复合函数 法2：判别式法 15．（1）函数，的值域为 . 【答案】 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： （2）已知函数．求函数的值域； 【答案】(1) 【分析】(1)根据倒数代换和二次函数的值域以及反比例函数的特点即可求解.(2)根据函数不动点的定义即可求解. 【详解】（1），设，则有，所以函数的值域为； 16．求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 【题型五 分段函数的值域】 17．（24重庆江津高一上月考）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)写出的值域； (2)写出不等式的解集； (3)求的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象可得函数的值域； （2）根据函数图象可得不等式的解集； （3）利用待定系数法可求的解析式． 【详解】（1）结合图象可得函数的值域为. （2）结合图象可得不等式的解集为. （3）当时，设，则即， 此时， 当时，设，而， 故，故此时， 故. 【变式】（25江苏徐州高二下月考）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【详解】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 【考点三 已知函数值域求参数】 18．已知二次函数的值域为，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据二次函数的值域，分析函数的开口和顶点，即可列式求解. 【详解】由二次函数的值域为得： ． 解得：或（舍去）． 故答案为： 19．已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 20．（25山东威海高三模拟）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 第 2 页 共 14 页 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 函数的概念与表示方法（二） 一．函数值域知识梳理 1. 基本初等函数的值域——定义域+图象性质 一次函数 二次函数 反比例函数 2. 求函数的值域的方法 （1） 图象观察法(有界函数）：结合初等函数的图象去判断。 ①一些特殊的函数值域： ②常用初等函数的图象：一次、二次、反比例 （2）配方法：用于二次函数 （3）分离常数法：用于分式型函数； 【注】分离常数既是求值域的方法也是化简解析式的方法 （4）换元法：用一个字母整体代换，转化为新字母的函数 （5）判别式法：二次分式型的函数，当定义域为R，且分母为二次时，可转化为二次方程在实数范围内有解，进而通过根的判别式△求解范围 二．分段函数及应用 1．分段函数定义 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 【考点一 函数值】典例剖析 【题型一 知x求y】——代入计算 【总结归纳】知自变量x求函数值y 1、 具体函数：将自变量代入对应解析式中 2、抽象函数：赋值法，根据题目信息进行赋值，代入解析式进行计算　 （具体函数） 1．已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（24宁夏高一上期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．2 2．（25广西柳州高一下月考）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 （抽象函数） 3．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【变式】（24河北高一上月考）定义在上的函数满足:，则 . 【题型二 知y求x】——代入解方程 4．（24海南海口高一上期中）已知函数，且，则 ． 5．设函数若，则实数 ． 【变式】已知函数若，则 ． 【考点二 求函数值域】 【题型一 初等函数的值域】 【总结归纳】初等函数值域的求法 1、 直接列举法 2、根据一些特殊的函数值域进行变化： 3、利用初等函数的图象求解 (1)先画出完整图象 (2)将定义域标注在图象上 (3)观察图象，图象的最高点即为最大值，图象的最低点即为最小值，所有能取到的函数值构成值域　 6．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 7．（24四川攀枝花高一上月考）（多选）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 8．（1）（24四川南充高一上期中）函数的值域为 . （2）函数的值域是 . 【题型二 复合函数的值域】——的函数，3步 9．求下列函数的值域 （1）． （2） 10．求下列函数的值域 (1)； (2)； 【题型三 根式型函数】 【归纳总结】形如的函数求值域——换元法 1、特征：根式和一次同时出现，表现为相对二次关系； 2、具体操作：令根式部分为新的元t ，用其表示出相对二次部分，整体替换，得一新函数 11．（24江苏苏州高一上期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【练习】（25江西南昌高一上期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型四 分式型函数】 类型1： → 分离常数/除法——变形后最终可转换为标准初等函数或复合函数 12．（24河北石家庄高一上期中）已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【练习】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 13．函数的值域是_________ 类型2： → 分离常数/除法——最终可转换基本不等式或双勾型函数 14．（24浙江杭州高一上期中）求下列函数的值域： (1) (2) 类型3： → 法1：上下同除——转化为反比例型的复合函数 法2：判别式法 15．（1）函数，的值域为 . （2）已知函数．求函数的值域； 16．求函数的最大值、最小值. 【题型五 分段函数的值域】 17．（24重庆江津高一上月考）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)写出的值域； (2)写出不等式的解集； (3)求的解析式． 【变式】（25江苏徐州高二下月考）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【考点三 已知函数值域求参数】 18．已知二次函数的值域为，则实数 ． 19．已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 20．（25山东威海高三模拟）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$