第二章 一元二次函数、方程和不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修1学习材料---一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变，即：； ②两个同号实数相乘，积是正数，即：； ③两个异号实数相乘，积是负数，即： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：，. 考点二：比较两个实数大小的方法 ①作差法：对任意两个实数, 1.；2.；3.. ②作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. 1.；2.；3.. ③中间量法： 若且，则，一般选择0或1为中间量. 考点三：不等式的性质 ①基本性质有： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：(c∈R) 4.可乘性：a>b， ②运算性质 1.可加法则： 2.可乘法则： 3.可乘方性： 【典型例题】 题型一：作差法比较两数(式)的大小 【例1】已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】 作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】 ， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 【例2】若，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质，对选项逐一判断 【详解】 对于A，，因为，故，即，故A错； 对于B，不确定符号，取则，故B错误； 对于C， ，因为， 故，即，故C正确； 对于D，，因为， 故，即，故D错误． 故选：C 【题型专练】 1.设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用作差法计算可得； 【详解】 解：因为，，所以， 所以； 故选：A 2.（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）求差法进行大小比较即可； （2）求差法去证明即可解决. 【详解】 （1）由， 可得． （2）， ∵，∴，，， ∴，∴． 题型二：作商法比较两数(式)的大小 【例1】，则的大小关系为_______． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 【题型专练】 1.设，比较与的大小 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法； 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【例1】如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论． 【详解】 解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 【例2】如果，则正确的是（       ） A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质即可逐一求解. 【详解】 对于A:取则，故A错， 对于B:若，则，故B错误， 对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确， 对于D:若，则，，故D错误. 故选：C 【例3】已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】 因为实数a，b，c满足，， 所以， 对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误， 对于B，若，则，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误， 故选：C 【题型专练】 1.若，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．，若，则 C．若，则 D．，，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C. 【详解】 对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，当时，，故D错误， 故选：C. 2.已知，则下列不等关系中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C、D； 【详解】 解：因为，所以，故A正确； 对于B：当时，故B错误； 对于C：当，，显然满足，但是，故C错误； 对于D：当，，显然满足，但是，故D错误； 故选：A 3.已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案. 【详解】 为正数，为负数，所以，， ， 所以. 故选：C 4.下列命题为真命题的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断. 【详解】 A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确； B. 当时，，故错误； C.当时，故错误； D.，因为，，，所以，故正确； 故选：AD 题型四：利用不等式的性质比较大小 【例1】（多选题）已知，，下列不等式中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据不等式性质及特殊值判断即可. 【详解】 对于A，由不等式性质，可得，正确； 对于B，时，显然不成立，故错误； 对于C，时，，故错误； 对于D，由可得，所以， 即，故正确. 故选 ：AD 【例2】如果，那么下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质即可逐一判断. 【详解】 由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确. 故选：D 【题型专练】 1.（多选题）对于实数，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】 A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断. 【详解】 A：当时，不成立，错误； B：由，有，则，正确； C：由，则，错误； D：若或，有，与题设矛盾，故，正确. 故选：BD 2.（多选题）下列说法正确的有（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】 对于A：利用同向不等式相加可以证明； 对于B：利用同向不等式相乘可以证明； 对于C：利用不等式的可乘性可以判断； 对于D：取特殊值可以判断. 【详解】 对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确； 对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确； 对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误； 对于D：取特殊值满足，但是，，所以 .故D错误. 故选：AB 题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例1】设，，求，，的范围. 【答案】，， 【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可. 【详解】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 【例2】若，，，则t的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案. 【详解】设，则，解得．因为，，所以，即． 故答案为：. 【题型专练】 1.已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围. 【详解】 因为，所以， 由，得. 故选：A. 2.若实数满足，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，解得，，再由不等式的性质即可求解. 【详解】设，解得， 所以． 又，，， 所以. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 基本不等式 考点一：重要不等式 若，则，当且仅当时取等号； 考点二：基本不等式 若，则（或），当且仅当时取等号. 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 考点三：几个常见重要的不等式 ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型一 直接利用基本不等式求最值 【例1】若正实数满足.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当且仅当时取等号， 即xy的最大值为故选：B 【例2】已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为.故选：D. 【题型专练】 1.若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 【答案】C 【解析】由题意可得，当且仅当时，即等号成立. 故选：C． 2.已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【详解】由于二次函数（）的值域为， 所以，所以，所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B 题型二 “1”的代换，乘1法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 【例1】设为正数，且，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】因为为正数，且， 所以, 当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4 【例2】已知，且，则的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 当且仅当，取等号.故选：B. 【例3】已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当即，时，有最小值.故选：B. 【题型专练】 1.已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】9 【解析】 【分析】 由得，则，展开利用基本不等式可求得最值. 【详解】 由得，所以， 当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9. 故答案为：9 题型三 常规凑配法 【例1】已知，函数的最小值为（ ） A．4 B．7 C．2 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B 【例2】函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A． 【例3】若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】，因，所以 【题型专练】 1.函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.若，则函数的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】 由，及，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】 由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 题型四 换元法 【例1】函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，设，所以 所以， 当且仅当，即，所以时取等号， 所以函数（）的最小值为，故选：B 【题型专练】 1.函数的最小值是___________. 【答案】4 【解析】令，则，当且仅当，即时，. 所以函数的最小值是4.故答案为：4 题型五 消参法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【例1】已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因，所以，所以 当且仅当，即时取等号 【例2】若实数，满足，则的最小值为　 　． 【答案】 【解析】因，所以，所以，因此 当且仅当时取等号 【题型专练】 1.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据变形得，进而转化为， 用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即取等号. 故选：B. 二次函数与一元二次方程、不等式 考点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 考点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点四： 一元二次不等式恒成立问题 ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 考点五：简单的分式不等式的解法 ； ； 考点六：简单的绝对值不等式的解法 ； 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接解一元二次不等式即可得答案. 【详解】 解：原式化为，即，故不等式的解集为. 故选:D 【例2】记集合 ，， 则（       ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合，再由交集的定义即得. 【详解】 ∵或，， 所以. 故选：A. 【例3】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先解出不等式，再判断充分性和必要性即可. 【详解】 由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件． 故选：A. 【例4】不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】 【分析】 将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集； 【详解】 解：依题意可得，故，解得或， 所以不等式的解集为或 【题型专练】 1.设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合，，再求二者交集 【详解】 ，， 则． 故选：B． 2.不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接用因式分解求得解集即可. 【详解】 因为不等式可化为: 解得: 所以解集为:. 故选:C. 3.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接解不等式即可求解. 【详解】 由得，解得，即解集为. 故选：C. 4.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 将不等式化简为，即可求出其解集. 【详解】 由可得：，所以不等式的解集为：. 故选：C. 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【例1】若不等式 ​的解集为​， 则​=（       ） A．​ B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理. 【详解】 因为不等式 ​的解集为​ 所以 ，-2和1是方程​的两实数根 所以 ，解得 所以.故A，B，C错误. 故选：D. 【例2】若不等式的解集是，则不等式的解集是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可. 【详解】 解：因为不等式的解集是， ∴和是方程的两个实数根， 由，解得：，，        故不等式即， 即，即，解得：， 所以所求不等式的解集是：. 故选：C． 【题型专练】 1.若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m. 【详解】 由题可知，－7和－1是二次方程的两个根， 故.经检验满足题意 故答案为：3. 2.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的解集，得到，代入中即可求解. 【详解】 由题意得，即， 所以即，解得． 故选：B 3.若不等式的解集是，则的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可. 【详解】 不等式的解集是 则根据对应方程的韦达定理得到：， 解得， 则的解集为 故选：A 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【例1】解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式 【详解】 解：关于x的不等式 可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}，． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}， 【题型专练】 1.设函数. (1)若，解不等式； (2)若，解关于x的不等式 【答案】(1)或； (2)详见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解. (1)当时，由，解得或， 故当时，不等式的解集为或. (2)由可得， 当时，方程的两根分别为，. 当时，，解原不等式可得； 当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 题型四：不等式的恒成立问题 【例1】关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　 A． B．， C．，， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的范围即可． 【详解】 解：时，成立， 时，， 故， 综上：， 故选：B． 【例2】若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 写出命题的否定，则，从而可得出答案. 【详解】 :解：命题“”的否定为“”为真命题， 所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：B. 【例3】若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】 分离参数，求出的取值范围即可得到答案. 【详解】 解：∵不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又 所以. 故答案为：. 【题型专练】 1.若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【详解】 本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围． 【解答】 当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解， 所以， 综上可得，实数a的取值范围是或. 2.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】 若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为：. 故选：A. 3.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 求出的最大值，然后可得，解出即可. 【详解】 因为关于的不等式在上有解， 的最大值为4 所以，解得 故答案为： 题型五：一次分式不等式的解法 分式不等式转化为整式不等式 （1） （2） （3）且 （4）且 【例1】已知集合，则A∩B=（       ） A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1} 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，而或， 故， 故选：D. 【例2】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可. 【详解】 由不等式的解集为， 可知方程有两根，故， 则不等式即等价于， 不等式的解集为， 则不等式的解集为， 故答案为：. 【例3】不等式的解集是____________. 【答案】## 【解析】 【分析】 根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可. 【详解】 可化为， ，等价于， 解得， 所以不等式的解集是， 故答案为：. 【题型专练】 1.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式不等式的解法法则即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2.不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】 将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可. 【详解】 ， 解得不等式解集为或 故答案为：或. 3.不等式的解集是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】 原不等式转化为，即，进而可解得结果. 【详解】 等价于，即， 等价于， 解得. 故答案为：. 题型六：实际问题中的一元二次不等式问题 【例1】经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为： (1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？ 【答案】(1)大于且小于 (2)；10千辆/． 【解析】 【分析】 （1）由已知解不等式可得； （2）由基本不等式可得结论． (1) 由已知，整理得，解得， 所以若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应大于25且小于64； (2) 由题意， 当且仅当，即时，等号成立． 所以当汽车的平均速度是40时，轩流量最大，最大车流量是10千辆． 【例2】为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人 (2)存在，7 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由条件可得，，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1) 依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则，() 解得， 又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2) 假设存在实数m满足条件. 由技术人员年人均投入不减少有，解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，，所以当时，取得最大值7，所以， ，即存在这样的m满足条件，其范围为. 【题型专练】 1.经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） (2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时； (2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论； （2）解不等式即可得解. (1) 解：，（千辆/小时）， 当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时. (2) 解：据题意有，即，即， 解得， 所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）. 2.考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. 【答案】(1)； (2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升； 当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升. 【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围； （2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. (1) 解：由题意可知，当时，，解得：， 由，即，解得：， 因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内， 即，所以， 故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围. (2) 解：设该汽车行驶100千米的油耗为升， 则， 令，则， 所以，， 可得对称轴为，由，可得， 当时，即时， 则当时，； 当，即时， 则当时，； 综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升； 当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修1学习材料---一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变，即：； ②两个同号实数相乘，积是正数，即：； ③两个异号实数相乘，积是负数，即： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：，. 考点二：比较两个实数大小的方法 ①作差法：对任意两个实数, 1.；2.；3.. ②作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. 1.；2.；3.. ③中间量法：若且，则，一般选择0或1为中间量. 考点三：不等式的性质 ①基本性质有：1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：(c∈R) 4.可乘性：a>b， ②运算性质 1.可加法则： 2.可乘法则： 3.可乘方性： 【典型例题】 题型一：作差法比较两数(式)的大小 【例1】已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【例2】若，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设，，，则P、Q的大小为（       ） A． B． C． D． 2.（1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 题型二：作商法比较两数(式)的大小 【例1】，则的大小关系为_______． 【题型专练】 1.设，比较与的大小 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【例1】如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【例2】如果，则正确的是（       ） A．若a>b，则 B．若a>b，则 C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【例3】已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．，若，则 C．若，则 D．，，若，则 2.已知，则下列不等关系中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 3.已知，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 4.下列命题为真命题的是（       ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 题型四：利用不等式的性质比较大小 【例1】（多选题）已知，，下列不等式中正确的是（       ） A． B． C． D． 【例2】如果，那么下列不等式成立的是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.（多选题）对于实数，下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2.（多选题）下列说法正确的有（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例1】设，，求，，的范围. 【例2】若，，，则t的取值范围为______． 【题型专练】 1.已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2.若实数满足，，则的取值范围为________． 基本不等式 考点一：重要不等式 若，则，当且仅当时取等号； 考点二：基本不等式 若，则（或），当且仅当时取等号. 其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 考点三：几个常见重要的不等式 ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型一 直接利用基本不等式求最值 【例1】若正实数满足.则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 2.已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 题型二 “1”的代换，乘1法 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 【例1】设为正数，且，则的最小值为_______. 【例2】已知，且，则的最小值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．9 【例3】已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 题型三 常规凑配法 【例1】已知，函数的最小值为（ ） A．4 B．7 C．2 D．8 【例2】函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例3】若对任意，恒成立,则的取值范围是__________. 【题型专练】 1.函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 2.若，则函数的最小值为___________. 题型四 换元法 【例1】函数（）的最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.函数的最小值是___________. 题型五 消参法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【例1】已知，则的最小值是 ． 【例2】若实数，满足，则的最小值为　 　． 【题型专练】 1.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 二次函数与一元二次方程、不等式 考点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 考点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点四： 一元二次不等式恒成立问题 ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 考点五：简单的分式不等式的解法 ； ； 考点六：简单的绝对值不等式的解法 ； 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【例1】不等式的解集是（       ） A． B． C．或 D． 【例2】记集合 ，， 则（       ） A． B．或 C． D． 【例3】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】不等式的解集为（       ） A． B．或 C． D．或 【题型专练】 1.设集合，，则（       ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 3.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 4.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【例1】若不等式 ​的解集为​， 则​=（       ） A．​ B．0 C．1 D．2 【例2】若不等式的解集是，则不等式的解集是（　） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______. 2.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A．或 B． C．或 D． 3.若不等式的解集是，则的解集为（       ） A． B． C． D． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【例1】解关于x的不等式 【题型专练】 1.设函数. (1)若，解不等式； (2)若，解关于x的不等式 题型四：不等式的恒成立问题 【例1】关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　 A． B．， C．，， D．， 【例2】若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3】若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________. 【题型专练】 1.若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 2.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 题型五：一次分式不等式的解法 分式不等式转化为整式不等式 （1） （2） （3）且 （4）且 【例1】已知集合，则A∩B=（       ） A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1} 【例2】若不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【例3】不等式的解集是____________. 【题型专练】 1.不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 2.不等式的解集为______． 3.不等式的解集是_________ 题型六：实际问题中的一元二次不等式问题 【例1】经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为： (1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？ 【例2】为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【题型专练】 1.经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到） (2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 2.考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$