第一章 集合与常用逻辑用语 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修1学习材料---集合与常用逻辑用语 集合的概念 考点一：元素与集合的概念 ①元素：一般地，我们把要研究对象统称为元素． ②集合：我们把所要研究的对象放在一起的总体叫做集合． ③两个集合相等：是指构成两个集合的元素是一样的． 考点二：集合中元素的三个特征 给定一个集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，它的三个特征是确定性、无序性、互异性 考点三：元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 考点四：常间数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 题型一：集合中元素的确定性 【例1】下列各组对象中不能形成集合的是（       ） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可； 【详解】 对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合； 对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合 故选：A 【例2】下列选项能组成集合的是（       ） A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的定义判断即可； 【详解】 解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合； 非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合. 故选：B． 【题型专练】 1.下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数 【答案】B 【详解】 A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错. 故选：B 2．下面各组对象中不能形成集合的是（       ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案. 【详解】 所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合， 而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合， 故选：C 题型二：集合中元素互异性 【例1】已知集合中的元素为，若，则__________. 【答案】或； 【详解】 由，， 若，，， 此时，符合题意； 若，则，， 当时，，不符题意， 当时，，符合题意， 综上可得：或. 故答案为：1或2. 【题型专练】 1.已知集合是由三个元素组成，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【详解】 因为，则或或， 当时，，，符合题意； 当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或（舍） 当时，，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或 2.已知集合中的元素为，若，则实数的值为_____________. 【答案】或 【详解】 依题意， 当时，，，符合题意. 当时，，，不满足互异性，错误. 当，（舍去）或， 时，，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故答案为：或 题型三：元素与集合的关系 【例1】下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确. 故选：D. 【例2】集合中的元素满足，则集合中的元素为______________． 答案：0,1,2 解析　∵∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3. 又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2. 【题型专练】 1.下列元素与集合的关系表示正确的是（ ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】 为正整数集，所以，故①不正确； 表示整数集，所以，故②正确； 表示有理数集，则，，故③正确，④不正确； 故选：B 2.给出下列关系： ①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】 根据元素与集合的关系： ①12∈R，正确；②2∈Q，正确；③|﹣3|=3∈N，正确；④|-3|=3∈Z，正确；⑤0∉N，错误， 故正确的个数为4．故选：D． 集合的表示 考点一：集合的表示方法 ①列举法 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．例如，等。 ②描述法 一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．例如，等。 ③Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 题型一：用列举法表示集合 【例1】集合用列举法表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的描述法得到集合的列举法. 【详解】 ∵， ∴． 又， ∴． 故选：A 【例2】集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______. 【答案】          【解析】 【分析】 根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得. 【详解】 由，，，知x可取的值为0，，， 当时，，当时，，当时，， 所以集合； 由题知集合B表示点集， 所以. 故答案为：，. 【题型专练】 1.用列举法表示集合：为________． 【答案】 【解析】 【分析】 因为且 ，所以只能是0，1，2，3，4 ；只能是4，3，2，1，0.用列举法写出即可. 【详解】 由题知： = 故答案为：. 2.设集合，则用列举法表示集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标． 【详解】 ∵，则可得，则 又∵，则当成立，当成立， ∴ 故答案为：． 题型二：用描述法表示集合 【例1】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)； 解：(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}． (2)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}． 【例2】所有正奇数组成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据正奇数的定义得到集合. 【详解】 所有正奇数组成的集合是. 故答案为：. 【题型专练】 1.所有正偶数组成的集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】 直接根据正偶数的定义得到集合. 【详解】 所有正偶数组成的集合是. 故答案为：. 2.【多选】集合用描述法可表示为（       ） A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 利用描述法的定义逐一判断即可. 【详解】 对A，是不大于9的非负奇数表示的集合是，故A正确； 对B，且表示的集合是，故B正确； 对C，表示的集合是，故C错误； 对D，表示的集合是，故D错误. 故选：AB. 题型三：集合中元素个数 【例1】设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 【例2】已知集合中所含元素的个数为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案. 【详解】 解：因为， 所以中含6个元素． 故选：C. 【题型专练】 1.已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 讨论取相同数和不同数时, 的取值即可得出答案. 【详解】 当取相同数时，；当取不同数时，的取值可能为1或2, 故中共有3个元素. 故选:B . 2.已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（       ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数. 【详解】 由题设，又， 由，则， 由，则， 由，则， 同理，均属于集合A， 所以第一象限中有13个点属于集合A. 故选：D 题型四：根据元素个数求参数 【例1】已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【详解】 解：（1）若中只有一个元素， 则当时，原方程变为，此时符合题意， 当时，方程为二元一次方程，，即， 故当或时，原方程只有一个解； （2）中至少有一个元素， 即中有一个或两个元素， 由得综合（1）当时中至少有一个元素； （3）中至多有一个元素， 即中有一个或没有元素 当， 即时原方程无实数解， 结合（1）知当或时中至多有一个元素. 【题型专练】 1.已知集合. (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时集合，当时集合； (3) 【解析】 【分析】 （1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． (1) 解： 是空集， 且， ，解得， 的取值范围为：； (2) 解：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所求，当时集合，当时集合； (3) 解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得时中至少有一个元素，即 集合之间的关系 考点一：子集的概念 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A) 用图形表示为 考点二：真子集的概念 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作 用图形表示为 考点三：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B 考点四：子集的性质 ①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. ②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 考点五：空集的概念 定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 规定：空集是任何集合的子集． 题型一：简单集合间关系的判断 【例1】已知集合，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】（1）由题得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正确： 因为，所以CD正确，B错误.故选ACD. 【例2】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于集合A，当，时，， 当，时，,所以或，所以A， 故选：B． 【题型专练】 1.集合，，则集合与的关系是（ ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】 因为，且，，所以且． 故选：D. 2.已知集合则的关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，即可判断集合的关系. 【详解】 解：因为，， 所以. 故选：C． 题型二：集合之间的关系 【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为；④错误，表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系． 【例2】以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可. 【详解】 对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对； 对于②：空集是任何集合的子集，，②对； 对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对； 对于④：根据集合的无序性可知，④对； 对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对； 正确的是：②④． 故选：B． 【题型专练】 1.下列写法：（1）；（2）；（3）；（4），其中错误写法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误； 故选：B 2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误. 【详解】 ①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确. 故选：B. 题型三：集合的子集、真子集 【例1】定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B. 【例2】集合非空子集的个数是（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】 ∵集合A＝{a，b，c，d}中有4个元素， ∴非空子集的个数为：24﹣1＝15， 故选：C. 【题型专练】 1．集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　） A．31 B．63 C．32 D．64 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数． 【详解】 解：根据题意得，，则中有6个元素， ∴的真子集个数为26﹣1＝63个． 故选：B． 2．已知则集合的子集的个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由，可得为的正约数，又，从而即可求解. 【详解】 解：因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个． 故选：B． 题型四：两个集合相等 【例1】下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用集合相等的定义逐一判断求解. 【详解】 解：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故； B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故； C选项中因为，则集合，故； D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 【例2】已知，，若集合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【题型专练】 1.已知集合，，（，），若，则（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】 ∵集合，，且， ∴，或， 先考虑，解得， 此时，，满足题意， ∴； 再考虑，解得， 此时，，不满足题意， 综上， 故选：D 2.下列集合与集合相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 集合表示数字和的集合. 对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误； 对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误； 对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确； 对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误. 故选：C. 根据集合之间的关系求参数 题型一：简单集合之间的关系求参数 【例1】集合，，若，则由实数组成的集合为____ 【答案】. 【解析】 【分析】 由集合的包含关系可得或或，再求出对应的a值，即可得结果. 【详解】 集合，，且， 或或， ．则实数组成的集合为. 故答案为：. 【例2】已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为集合，， 所以. 故选：D 【题型专练】 1．集合，，若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据集合的包含关系求解，即由求解． 【详解】 因为，所以， 显然， 若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去； 若，则或（舍去）， 综上，． 故答案为：0． 2.已知，若，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，∵，∴． 故选：D． 题型二：先求集合，在利用集合之间的关系求参数 【例1】已知，，若，则实数取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 又， 当时，方程无解，则，此时满足； 当时，，此时，为使，只需或， 解得或， 综上，实数取值的集合为. 故选：A. 【例2】已知集合，集合，若，则实数的值是（ ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】 ，， 当时，，；当时，，；当时，. 即或或. 故选：C. 【题型专练】 1.若集合，，且，则实数取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，，， 若，则方程无解，所以满足题意； 若，则， 因为，所以，则满足题意； 故实数取值的集合为. 故选：D. 2.已知集合，且. （1）求集合； （2）如果集合，且，求的值组成的集合. 【答案】（1）；（2）. 【详解】 （1）因为，直接将代入方程：得，， 所以，方程为， 即， 解得或， 所以，集合； （2）因为是的子集，分两类讨论： ①当时，，由于空集是任何集合的子集， 所以，，符合题意； ②当，则或， 代入解得，或， 综合以上讨论得，的取值集合为：. 集合的基本运算 考点一：并集的概念 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示为： 考点二：并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： ①，； ②；③； ④． 考点三：交集的概念 一般地，由集合和集合中的公共元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： 考点四：交集的性质 ①； ②；③； ④． 考点五：全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 注意：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在自然数范围内研究问题时，就把自然数集看作全集． 考点六：补集的概念 对于一个集合A，由全集U中除去集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 题型一：集合的交集运算 【例1】已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】集合和中相同的元素为，所以 【例2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答. 【详解】 因集合，， 所以. 故选：C 【题型专练】 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 2.已知集合P=，，则PQ=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 题型二：集合的并集运算 【例1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接运用集合并集的定义进行求解即可. 【详解】 因为， 所以， 故选：A 【例2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，，，再根据集合并集运算求解即可. 【详解】 解：因为，， 所以 故选：C 【题型专练】 1.设集合，则(A∩C)∪B＝ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D。 2．已知集合，，那么 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用数轴，取中的所有元素，得． 故选A. 题型三：集合的补集运算 【例1】设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误，故选: 【例2】设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D. 【例3】设集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据补集运算得，再根据交集运算求解即可. 【详解】 解：因为， 所以， 所以 故选：B 【题型专练】 1.已知全集，集合，，则（       ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2} 【答案】A 【解析】 【分析】 求出，再根据集合的并集运算，求得答案。 【详解】 由题意得：，则， 故， 故选：A 2.设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 结合交集的定义可得： 故选B. 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【例1】（多选题）图中的阴影表示的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系. 【详解】 由题可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成， 所以对应的集合为. 故选：AB. 【例2】已知全集，，集合． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）根据集合的并运算，结合已知条件，即可求得结果； （2）先求，再求交集即可. (1) 全集，，集合， 故. (2) 集合，故或，      故. 【题型专练】 1.已知全集，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】 先求集合A的补集，再求A的补集与集合B的交集即可. 【详解】 由得， 又，则 故答案为： 2.设集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求得，由此求得正确答案. 【详解】 ， ， ， 所以. 故答案为： 题型五：已知集合的交集、并集求参数 【例1】设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【答案】C 【解析】 【分析】 由知， ，x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，解出，代入集合，用列举写出即可. 【详解】 解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}， ∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0， 解得m＝4， ∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}． 故选：C． 【例2】已知集合为全体实数集，或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】 （1）将代入，求出M的补集，再利用交集的定义求解作答. （2）根据包含关系的定义，按集合N是否是空集分类求解作答. (1)当时，，而， 所以. (2)因，则当，即时，，此时满足，即， 当，即时，，则有或，即或，因此， 所以实数的取值范围为. 【题型专练】 1.已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)时，故. (2)因为，故， 若即时，，符合； 若，则，解得， 综上，. 2.已知全集，集合，集合． (1)若集合中只有一个元素，求的值； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为集合中只有一个元素，所以， (2)当时，，，， 此时，， 3.已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围. 【答案】(1)5 (2)﹛或﹜ 【解析】 (1)由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}， 因为A＝B，所以，解得， 故a＝5. (2)因为A∩C＝C，所以C⊆A. 当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a； 当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解； 当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0. 综上，a的取值范围为﹛或﹜. 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【例1】设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 图中阴影部分表示的集合为，结合题意运算求解，注意集合的元素． 【详解】 ，图中阴影部分表示的集合为． 故选：A． 【例2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人? 【答案】     3     9 【解析】 【分析】 结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】 解：如图所示： 设A={游泳}，B={田径}，C={球类}， 由题意得：， ， 所以， 则， ， 所以， 所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人， 故答案为：3，9 【题型专练】 1.如图所示，阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 由图可得，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，从而得解． 【详解】 由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于， ∴阴影部分表示的集合为：或， 故选：AD． 2.高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人． 【答案】 【解析】 【分析】 设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，利用容斥原理可得出关于的等式，即可得解. 【详解】 设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为， 以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合， 集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示： 由题意可得，解得. 故答案为：. 3.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________． 【答案】172 【解析】 【分析】 画出韦恩图求解即可. 【详解】 ， （人． 故答案为：172 充分条件与必要条件 考点一：充分条件与必要条件充要条件的基本概念 ①推出符号的含义：“若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. ②充分条件、必要条件与充要条件 1.若，称是的充分条件. 2.若，称是的必要条件. 3.若，称是的充要条件. 考点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 ①从逻辑推理关系看 1.若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； 2.若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； 3.若，且，即，则、互为充要条件； 4.若，且，则是的既不充分也不必要条件. ②从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B，则 1.若AB，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； 3.若A=B，则、互为充要条件； 4.若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 考点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 题型一：充分条件与必要条件的判断 【例1】“0<x<2”成立是“”成立的（       ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】解：“0<x<2”成立时，“”一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的充分条件； “”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的非必要条件. 所以“0<x<2”成立是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 【例2】若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：若，，则，充分性不成立； 必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立. 因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 【例3】已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（       ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据题意得到，且，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 由题意，集合，， 可得，且， 所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立. 故选：AD. 【题型专练】 1.“”是的（       ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 若，则，反过来，若，只能推出，不一定，例如，此时，所以“”是的充分不必要条件. 故选：A 2.“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】 解：因为，所以，，， 或， 当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件； 当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3.设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】 当时，，则成立， 而当时，或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 题型二：充分、必要条件的选择 【例1】（2022浙江高考模拟（多选））“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设,选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC 【题型专练】 1.一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 方程有实数解，则，解得m范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】 解：因为方程有实数解， 所以，解得， 所以方程有实数解的一个必要不充分条件为. 故选：D. 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【例1】若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【分析】 转化“”是“”的充分不必要条件为，分析即得解 【详解】 由题意，“”是“”的充分不必要条件 故 故 故选：B 【题型专练】 1.设p：x＞a，q：x＞3. (1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1)a＜3 (2)a＞3 【解析】 【分析】 设， （1）若p是q的必要不充分条件，则，进而可得的范围． （2）若p是q的充分不必要条件，则，进而可得的范围． (1)设，∵p是q的必要不充分条件，∴，∴ (2)∵p是q的充分不必要条件，∴，∴． 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【例1】已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】，，且是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以或，解得， 【题型专练】 1.已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围． 【详解】 ∵“”是”的必要条件，∴， 当时，，则； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知或，解得或， 综上可得，实数a的取值范围为或． 2.已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解析】 【分析】 （1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案. （2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围. (1) 当时，集合，或， ． (2) 若“”是“”的必要条件，则， ①当时，； ②，则且，. 综上所述，或． 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【例1】方程至少有一个负实根的充要条件是（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】 当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 【题型专练】 1.若“”是“”的充要条件，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意可知，由此求出的值，即可求出结果. 【详解】 由题意可知，，解得，所以. 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了充要条件的应用，属于基础题. 2.已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围或. （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 全称量词与存在量词 考点一：全称量词与全称量词命题的概念 ①全称量词：一般地，把含有“任意”“所有”“每一个”“一切”，这些在陈述句中表示所述事物的全体词语，称为全称量词，用符号“”表示，读作：“对于任意”. ②全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. ③全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，均具有一类性质，简记为：对. 考点二：存在量词与存在量词命题的概念 ①存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示，读作：“存在”. ②存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. ③存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，均具有一类性质，简记为：对. 考点三：全称量词命题，存在量词命题的否定 ①命题的否定及真假判断 1.一般地，对命题p进行否定，就会得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定. 2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. ②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . ③存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 考点四：常见量词的否定： 量词 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 量词 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 题型一：判断语句是否为命题 【例1】下列语句中，命题的个数是　(　　) ①空集是任何集合的真子集;②请起立; ③ 的绝对值为1;④你是高一的学生吗? A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 【解析】①③是命题;②是祈使句，不是命题;④是疑问句，不是命题. 题型二：命题真假的判断 【例1】（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（       ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】 举例证明选项AC正确；举反例否定选项B；依据等边三角形定义判断选项D. 【详解】 选项A：当时，成立.判断正确； 选项B：2是素数，但是2不是奇数.判断错误； 选项C：正整数35和70能被5和7整除. 判断正确； 选项D：三条边都相等的三角形是等边三角形. 判断正确. 故选：ACD 【题型专练】 1.已知集合，，则下列说法正确的是（       ） A．对任意，有 B．对任意，有 C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案. 【详解】 由于，，所以，故存在，使得． 故选：D． 2.（多选题）下列命题是假命题的为（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】 A选项，若，则，A正确. B选项，若，则，B错误. C选项，时，不能得到，C错误. D选项，，但，D错误. 故选：BCD 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例1】下列命题中是存在量词命题的是（       ） A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B．正方形都是平行四边形 C．空间中不相交的两条直线相互平行 D．存在大于等于9的实数 【答案】D 【解析】 【分析】 直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案. 【详解】 选项A中，“所有的”是全称量词； 选项B中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词； 选项C中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词； 选项D中，“存在”是存在量词. 故选：D. 【例2】下列命题不是存在量词命题的是（       ） A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0 D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全称量词命题与存在量词命题的定义与性质，判断即可. 【详解】 解：对于A，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题； 对于B，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题； 对于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题； 对于D，有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题. 故选：B. 【题型专练】 1.下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】 根据全程量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案. 【详解】 解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题； 对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题； 对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题； 对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题. 故选：B. 2.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 【答案】     ①②③     ④ 【解析】 【分析】 根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】 解：④含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ①②③含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题． 故答案为：①②③；④． 3.下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0       B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式       D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【解析】 【详解】 A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题． B选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称量词命题． C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题． D选项中，“存在”是特称量词，它是存在量词命题． 故选：D． 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例1】下列四个命题： ①           ② ③                            ④至少有一个实数，使得 其中真命题的序号是（       ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称量词命题与存在量词命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于①中，由成立，所以命题①为真命题； 对于②中，由无法判定真假，所以②不是命题，不符合题意； 对于③中，例如当时，此时，所以命题为假命题； 对于④中，由，解得，所以命题④为真命题； 故选：D. 【例2】（多选）下列命题错误的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【解析】A. 由，得，故错误； B.由得：或，故正确； C. 由得：，故错误； D. 由，故正确； 故选：AC 【题型专练】 1.在下列命题中，是真命题的是（       ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【解析】 【分析】 可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/ 【详解】 选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 2.（多选题）已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（       ） A．，有 B．，使得 C．，有 D．，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据且确定正确选项. 【详解】 由于是全集的非空子集，且， 所以是的真子集， 所以，使得、，有，即BC选项正确. 故选：BC 题型五：由全称、存在量词命题的真假确定参数取值范围 【例1】已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由根的判别式列出不等关系，求出实数a的取值范围. 【详解】 “，方程有解”是真命题，故，解得：， 故选：B 【题型专练】 1.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】 命题为假命题时，二次方程无实数解，据此可求a的范围. 【详解】 若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解， ∴. ∴a的取值范围是：. 故答案为：. 题型六：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例1】命题“”的否定（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为原命题“”，所以其否定为“”， 故选：D. 【例2】已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（       ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A 【题型专练】 1.命题“，”的否定为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 【分析】 由特称命题的否定是全称命题即可. 【详解】 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“，”的否定为，， 故选：C. 2.命题“”的否定为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由全称量词命题的否定判断 【详解】 命题“”的否定为“” 故选：D 3.命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 由存在量词命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案. 【详解】 由存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以原命题的否定为，. 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修1学习材料---集合与常用逻辑用语 集合的概念 考点一：元素与集合的概念 ①元素：一般地，我们把要研究对象统称为元素． ②集合：我们把所要研究的对象放在一起的总体叫做集合． ③两个集合相等：是指构成两个集合的元素是一样的． 考点二：集合中元素的三个特征 给定一个集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，它的三个特征是确定性、无序性、互异性 考点三：元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 考点四：常间数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 题型一：集合中元素的确定性 【例1】下列各组对象中不能形成集合的是（       ） A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长 C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生 【例2】下列选项能组成集合的是（       ） A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人 【题型专练】 1.下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数 2．下面各组对象中不能形成集合的是（       ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 题型二：集合中元素互异性 【例1】已知集合中的元素为，若，则__________. 【题型专练】 1.已知集合是由三个元素组成，若，则实数的值为__________. 2.已知集合中的元素为，若，则实数的值为_____________. 题型三：元素与集合的关系 【例1】下列关系中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【例2】集合中的元素满足，则集合中的元素为______________． 【题型专练】 1.下列元素与集合的关系表示正确的是（ ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 2.给出下列关系：①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 集合的表示 考点一：集合的表示方法 ①列举法 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法．例如，等。 ②描述法 一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．例如，等。 ③Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 题型一：用列举法表示集合 【例1】集合用列举法表示为（       ） A． B． C． D． 【例2】集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______. 【题型专练】 1.用列举法表示集合：为________． 2.设集合，则用列举法表示集合为______． 题型二：用描述法表示集合 【例1】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)； 【例2】所有正奇数组成的集合是______． 【题型专练】 1.所有正偶数组成的集合是______． 2.【多选】集合用描述法可表示为（       ） A．是不大于9的非负奇数 B．且 C． D． 题型三：集合中元素个数 【例1】设集合，则中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】已知集合中所含元素的个数为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型专练】 1.已知集合，则集合中元素的个数是（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知表示正整数集合，若集合，则中元素的个数为（       ） A．16 B．15 C．14 D．13 题型四：根据元素个数求参数 【例1】已知集合． （1）若中只有一个元素，求的值； （2）若中至少有一个元素，求的取值范围； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【题型专练】 1.已知集合. (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 集合之间的关系 考点一：子集的概念 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A) 用图形表示为 考点二：真子集的概念 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作 用图形表示为 考点三：集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B 考点四：子集的性质 ①任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. ②对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 考点五：空集的概念 定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 规定：空集是任何集合的子集． 题型一：简单集合间关系的判断 【例1】已知集合，则有（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.集合，，则集合与的关系是（ ） A． B． C． D．且 2.已知集合则的关系为（       ） A． B． C． D． 题型二：集合之间的关系 【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 【例2】以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型专练】 1.下列写法：（1）；（2）；（3）；（4），其中错误写法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：集合的子集、真子集 【例1】定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ） A．12 B．14 C．15 D．16 【题型专练】 1．集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　） A．31 B．63 C．32 D．64 2．已知则集合的子集的个数是（       ） A． B． C． D． 题型四：两个集合相等 【例1】下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知，，若集合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知集合，，（，），若，则（ ） A． B．2 C． D．1 2.下列集合与集合相等的是（ ） A． B． C． D． 根据集合之间的关系求参数 题型一：简单集合之间的关系求参数 【例1】集合，，若，则由实数组成的集合为____ 【例2】已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1．集合，，若，则的值为__________. 2.已知，若，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 题型二：先求集合，在利用集合之间的关系求参数 【例1】已知，，若，则实数取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，集合，若，则实数的值是（ ） A．0 B． C．0或 D．0或 【题型专练】 1.若集合，，且，则实数取值的集合为（ ） A． B． C． D． 2.已知集合，且. （1）求集合； （2）如果集合，且，求的值组成的集合. 集合的基本运算 考点一：并集的概念 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示为： 考点二：并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： ①，； ②；③； ④． 考点三：交集的概念 一般地，由集合和集合中的公共元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示： 考点四：交集的性质 ①； ②；③； ④． 考点五：全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 注意：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在自然数范围内研究问题时，就把自然数集看作全集． 考点六：补集的概念 对于一个集合A，由全集U中除去集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示： 题型一：集合的交集运算 【例1】已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【题型专练】 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 题型二：集合的并集运算 【例1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设集合，则(A∩C)∪B＝ A． B． C． D． 2．已知集合，，那么 A． B． C． D． 题型三：集合的补集运算 【例1】设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【例2】设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【例3】设集合，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.已知全集，集合，，则（       ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2} 2.设全集为R，集合，，则 A． B． C． D． 题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 【例1】（多选题）图中的阴影表示的集合是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知全集，，集合． (1)求； (2)求． 【题型专练】 1.已知全集，，，则______． 2.设集合，则________. 题型五：已知集合的交集、并集求参数 【例1】设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【例2】已知集合为全体实数集，或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【题型专练】 1.已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 2.已知全集，集合，集合． (1)若集合中只有一个元素，求的值； (2)若，求． 3.已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围. 题型六：韦恩图在集合运算中的应用 【例1】设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（       ） A． B． C． D． 【例2】学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人? 【题型专练】 1.如图所示，阴影部分表示的集合是（　　） A． B． C． D． 2.高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人． 3.某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________． 充分条件与必要条件 考点一：充分条件与必要条件充要条件的基本概念 ①推出符号的含义：“若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：. ②充分条件、必要条件与充要条件 1.若，称是的充分条件. 2.若，称是的必要条件. 3.若，称是的充要条件. 考点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 ①从逻辑推理关系看 1.若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； 2.若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； 3.若，且，即，则、互为充要条件； 4.若，且，则是的既不充分也不必要条件. ②从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B，则 1.若AB，则是的充分条件，是的必要条件； 2.若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； 3.若A=B，则、互为充要条件； 4.若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 考点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 题型一：充分条件与必要条件的判断 【例1】“0<x<2”成立是“”成立的（       ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例2】若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（       ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件 【题型专练】 1.“”是的（       ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 2.“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：充分、必要条件的选择 【例1】（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件为（       ） A． B． C． D． 题型三：根据充分条件求参数取值范围 【例1】若“”是“”的充分不必要条件，则（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.设p：x＞a，q：x＞3. (1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围. 题型四：根据必要条件求参数取值范围 【例1】已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________． 【题型专练】 1.已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________． 2.已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 题型五：根据充要条件求参数取值范围 【例1】方程至少有一个负实根的充要条件是（       ） A． B． C． D．或 【题型专练】 1.若“”是“”的充要条件，则的值为________. 2.已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数a的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 全称量词与存在量词 考点一：全称量词与全称量词命题的概念 ①全称量词：一般地，把含有“任意”“所有”“每一个”“一切”，这些在陈述句中表示所述事物的全体词语，称为全称量词，用符号“”表示，读作：“对于任意”. ②全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题. ③全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，均具有一类性质，简记为：对. 考点二：存在量词与存在量词命题的概念 ①存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示，读作：“存在”. ②存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题. ③存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，均具有一类性质，简记为：对. 考点三：全称量词命题，存在量词命题的否定 ①命题的否定及真假判断 1.一般地，对命题p进行否定，就会得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定. 2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然. ②全称量词命题的否定 一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： . ③存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： . 考点四：常见量词的否定： 量词 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 量词 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 题型一：判断语句是否为命题 【例1】下列语句中，命题的个数是　(　　) ①空集是任何集合的真子集;②请起立; ③ 的绝对值为1;④你是高一的学生吗? A.0 B.1 C.2 D.3 题型二：命题真假的判断 【例1】（多选题）下列说法中，以下是真命题的是（       ）． A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．至少存在一个正整数，能被5和7整除. D．三条边都相等的三角形是等边三角形 【题型专练】 1.已知集合，，则下列说法正确的是（       ） A．对任意，有 B．对任意，有 C．存在，使得 D．存在，使得 2.（多选题）下列命题是假命题的为（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定 【例1】下列命题中是存在量词命题的是（       ） A．所有的二次函数的图象都关于y轴对称 B．正方形都是平行四边形 C．空间中不相交的两条直线相互平行 D．存在大于等于9的实数 【例2】下列命题不是存在量词命题的是（       ） A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0 D．有一个m，使2﹣m与|m|﹣3异号 【题型专练】 1.下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．存在一个实数与它的相反数的和为0 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 2.下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)． ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 3.下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0       B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式       D．一定存在没有最大值的二次函数 题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 【例1】下列四个命题： ①           ② ③                            ④至少有一个实数，使得 其中真命题的序号是（       ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【例2】（多选）下列命题错误的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【题型专练】 1.在下列命题中，是真命题的是（       ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 2.（多选题）已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（       ） A．，有 B．，使得 C．，有 D．，使得 题型五：由全称、存在量词命题的真假确定参数取值范围 【例1】已知命题：“，方程有解”是真命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【题型专练】 1.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 题型六：全称量词命题与存在量词命题的否定 【例1】命题“”的否定（ ） A． B． C． D． 【例2】已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（       ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 【题型专练】 1.命题“，”的否定为（       ） A．， B．， C．， D．， 2.命题“”的否定为（       ） A． B． C． D． 3.命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$