第十五章 轴对称 暑期提前练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 暑期提前练 2025-2026学年人教版数学八年级上册 一、单选题 1．第七届重庆市运动会于9月29日在合川闭幕．我区体育健儿在本届市运会上奋力拼搏，取得优异成绩，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列属于轴对称的图形是（　　） A． B． C． D． 3．若点 和点 关于 轴对称，则点 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，已知，与A关于直线轴对称，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，为BC边上的一点，且，连结AD，BP平分交AD于点，连结PC.若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（　　） A．∠1＋∠2＝90° B．2∠1＋∠2＝180° C．∠1－∠2＝90° D．2∠2－∠1＝30° 7．如图，四边形中，已知，点在上，平分，平分．如下结论中正确结论的个数是（　　） ①；②是的中点；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．在中，和的平分线交于点F，过点F作的平行线，分别交，于点D，E．给出下面四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④若，，则的周长为． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为　 　． 10．如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有　 　个． 11．（1）在直角坐标系中，点A（2，-3）在第　 　象限． （2）把点P（2，1）向左平移2个单位，所得点的坐标是　 　 （3）如果点M（t-1，t+2）在y轴上，那么t=　 　． （4）若点A（a，b）和点B关于y轴对称，则点B的坐标是　 　 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，角平分线AE交CD于点H，EF⊥AB于点F.有下列结论： ①∠ACD=∠B； ②CH=CE=EF； ③AC=AF； ④CH=HD. 其中正确的是　 　.(填写序号) 13．在△ABC中，，AD是△ABC的角平分线，E在AB的垂直平分线上，，F为AD上的动点，则的最小值为　 　． 三、解答题 14．如图，是等边三角形，延长至点，将点关于直线对称得到点，延长线段至点使得，连接，，，，记线段交直线于点，线段交直线于点，连接请你补全图形，判断的形状，并证明你的结论． 15．如图，一艘船从A处出发，以的速度向正北航行，经过到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得，．求从B处到灯塔C的距离． 16．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）若，求的长． 17．一个等腰三角形的周长为20cm． （1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． （2）若其中一边的长为7 cm，求这个等腰三角形其余两边的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发． (1)经过多少秒，△BMN为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN为直角三角形． 19．如图，点A，B分别在两互相垂直的直线，上． （1）如图1，在三角形尺子中，，如果点C到直线的距离是5，求的长； （2）如图2，若，点B在射线上运动时，分别以，为边作与图1中相同形状的，，，连接交射线于点P． ①当时，，求的大小； ②当点B在射线上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 【解析】【解答】点A（a−2，3）和点B（−1，b＋5）关于x轴对称， 得a−2＝-1，b＋5＝-3. 解得a＝1，b＝−8. 则点C（a，b）在第四象限， 故答案为：D. 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】把A点和直线，向左移动1个单位得：和直线， 点关于的对称点为， 把再向右平移1个单位得：， 故答案为：C． 【分析】先把A点和直线 向左移动1个单位，求出关于y轴的对称点，再向右平移1个单位. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵BD＝BA，BP平分∠ABC， ∴AP＝PD， ∴S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC， ∵S△ABC=2， ∴S△BPC＝×S△ABC＝1， 故答案为：B． 【分析】先利用“三线合一”的性质求出AP＝PD，再利用三角形中线的性质可得S△APB＝S△DPB，S△APC＝S△DPC，最后求出S△BPC＝×S△ABC＝1即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P， 则MP+PQ+QN最小， 由三角形外角性质得∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°， ∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN， ∴∠OPM=∠QPN=∠1−30°， ∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1−30°) ∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2， ∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA ∴∠OQP=∠3=30°+∠2， 在△MQP中，由内角和定理得∠1+∠OQP+∠QPM=180°， 即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1−30°)=180°， 化简得∠1−∠2=90°. 故答案为：D. 【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，由三角形外角性质得∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，由轴对称及对顶角相等可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1−30°)，同理可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1+30°+∠2+180°-2(∠1−30°)=180°，化简可得∠1−∠2=90°. 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】 10．【答案】4 11．【答案】（1）四 （2）（0，1） （3）1 （4）（-a，b） 【解析】【解答】解：（1）在直角坐标系中，点A（2，-3）在第四象限. 故答案为：四. （2）把点P（2，1）向左平移2个单位，所得点的坐标是（2-2，1）即（0，1）. 故答案为：（0，1）. （3）∵点M（t-1，t+2）在y轴上， ∴t-1=0. 解之：t=1. 故答案为：1 （4）∵点A（a，b）和点B关于y轴对称， ∴点B的坐标是（-a，b）. 故答案为：（-a，b）. 【分析】（1）由点A的横坐标为正数，纵坐标为负数，可得到点A所在的象限. （2）利用点的坐标平移规律：上加下减（纵坐标），左减右加（横坐标），据此可得平移后的点的坐标. （3）在y轴上的点的坐标特点：横坐标为0，可得到关于t的方程，解方程求出t的值. （4）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点B的坐标. 12．【答案】①②③ 【解析】【解答】解： ∵CD是斜边AB上的高线， ∴∠ADC=90°， ∵∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B，故①正确； ∵AE是∠CAB的角平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 在△ACE和△AEF中，， ∴△ACE≌△AFE（AAS）， ∴∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，故③正确； ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴EF∥CD， ∴∠AEF=∠CHE， ∴∠CEH=∠CHE， ∴CH=CE=EF，故②正确； CH=CE=EF＞HD，故④错误． 故正确的结论为①②③． 故答案为：①②③. 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余以及等角的余角相等可得∠ACD=∠B，判断①正确、根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠CAE=∠BAE，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△ACE≌△AFE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，判断③正确、根据垂直于同一直线的两直线互相平行得出EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEF=∠CHE，推得∠CEH=∠CHE，根据等角对等边得出CH=CE=EF，判断②正确、结合图形即可判断④错误. 13．【答案】6 【解析】【解答】解：如图，连接BE，BF． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴FC＝FB， ∵E在AB的垂直平分线上， ∴EA＝EB， ∴EF＋CF＝EF＋BF≥BE， ∴EF＋CF的最小值为BE，即AE的长， ∵AE：EC＝3：2， ∴设AE＝3k，EC＝2k， ∵AE＋EC≥AC， ∴5k≥10， ∴k≥2， ∴AE的最小值为6， ∴EF＋CF的值的最小值为6， 故答案为：6． 【分析】连接BE，BF，根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，BD＝CD，则FC＝FB，根据垂直平分线性质可得EA＝EB，再根据边之间的关系可得EF＋CF的最小值为BE，即AE的长，设AE＝3k，EC＝2k，根据三角形三边关系建立不等式，解不等式即可求出答案. 14．【答案】解：补全图形如下： 是等边三角形，证明如下： 是等边三角形， ，， ，关于对称， ，， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ， 在和中，， ≌， ， ， 是等边三角形． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，再根据点的对称性及三角形内角和定理得出，，再根据全等三角形判定定理得出≌，≌，再根据全等三角形性质及等边三角形判定定理即可求出答案。 15．【答案】． 16．【答案】（1） （2）5 17．【答案】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为2xcm， 由题意可得：x+2x+2x=20， 解得：x=4， 腰长为：2×4=8. 答： 这个等腰三角形各边的长为：4cm，8cm，8cm； （2）解：当7cm为底边时，腰长为：； 当7cm为腰长时，底边为：20-2×7=6； 答： 若其中一边的长为7 cm，这个等腰三角形其余两边的长为6.5cm，6.5cm或7cm，6cm. 【解析】【分析】（1）设底边长为xcm，由题意可列关于x的方程，解方程可求解； （2）由题意可分两种情况：①当7cm为底边时，②当7cm为腰长时，根据三角形的周长和等腰三角形的性质可求解. 18．【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形． 19．【答案】（1）解：过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知：CD=5 ∵OM⊥ON，CD⊥OM ∴∠AOB=∠BDC=∠ABC=90° ∴∠BAO＋∠ABO=90°，∠CBD＋∠ABO=90° ∴∠BAO=∠CBD 在△AOB和△BDC中， ∴△AOB≌△BDC ∴OB=CD=5； （2）解：①∵， ∴∠BAO=∠EAO－∠EAB=30° ∵∠BOA=90° ∴∠ABO=90°－∠BAO=60° ∵∠ABE=90° ∴∠EBP=180°－∠ABO－∠ABE=30°； ②不变， 过点E作EG⊥OM于G，如下图所示 由题意可知：，都是等腰直角三角形 ∴∠ABE=∠OBF=90°，BE=AB，OB=FB ∴∠EBG＋∠ABO=180°－∠ABE=90°，∠FBP=180°－∠OBF=90° ∵∠BGE=∠AOB=90°， ∴∠BAO＋∠ABO=90°， ∴∠EBG=∠BAO 在△EBG和△BAO中， ∴△EBG≌△BAO ∴BG=OA=6，EG=OB， ∴EG=FB， 在△EGP和△FBP中， ∴PB=PG ∵PB＋PG=BG ∴PB=BG=3． 【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，根据垂直的定义得到：利用"AAS"证明即可求出OB的长度； （2）①根据角的运算求出的度数，进而求出的度数，最后角的运算即可求出的度数； ②过点E作EG⊥OM于G，根据等腰三角形的性质得到利用"AAS"证明得到再利用"AAS"证明得到，最后根据线段间的数量关系，即可知PB是一个定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$