3 勾股定理的应用&问题解决策略：反思-【假期复习计划】2025年新教材七年级数学暑假作业（北师大版2024）

暑假复习计划 3 勾股定 国可点我 M 知识点勾股定理及其逆定理的实际应用 勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的 数量关系，在实际问题中常常用来求距离，测高 度等。 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为 0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4m,如果 保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， 梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m,求小巷有 多宽。 佩器西果W 1.如图，在高为3m,斜坡长为5m的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少要 A.4m B.5m C.6m D.7m 第1题图 第2题图 2.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋 水平放置在桌面上，固定两端A和B,然后 56 BS版七年级数学 理的应用 把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉 长后橡皮筋的长为 A.8cm B.10cm C.12cm D.15cm 3.如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60方向航行 12 n mile至B岛，然后沿北偏东30°方向航行 9 n mile至C岛，则A,C两港相距 () A.6n mile B.15n mile C.8n mile D.10n mile 第3题图 第4题图 4.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高 是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条 到达底部的直吸管在罐内部分的长度为， 若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总 长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不 计)的范围是 () A.12≤b≤13 B.12≤b≤15 C.13≤b≤16 D.15≤b≤16 5.如图，一个梯子AB长2.5m,顶端A靠在墙AC 上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5m, 梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为 0.5m,则梯子顶端A下落了 m。 6.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上 的绳子刚好垂到地面，当他把绳子的下端拉 开5m后，发现绳子下端距离地面1m,则旗 杆的高是 ○月○日星期○今日评价②⊙② 7.如图，要建一个育苗棚，棚宽3.2m,高2.4m, 长15m,那么覆盖在棚顶上的塑料薄膜需多 少平方米？ 2.4m 15m 3.2m 8.“一树新栽益四邻，野夫如到旧山春”，春天是 植树的最佳季节。如图，四边形ABCD为某 林场种植树林的区域，AB⊥BC。经测量AB =9km,BC=12km.CD=8km,AD=17km. (1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞 行到C处进行巡查，求无人机飞行路径 AC的长。 (2)AC⊥CD吗？请说明理由。 复习计划暑假。 9.在一条东西走向河的一侧有村庄C,河边原 有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某 种原因，由C到A的路现在已经不通，某村 为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H(A,H,B在一条直线上)，并新修一条路 CH,测得CB=3km,CH=2.4km,HB= 1.8km. (1)问：CH是否为从村庄C到河边最近的 路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通 过计算加以说明。 (2)求原来的路线AC的长。 暑假复习计划 问题解决 1.如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为 l8cm,一只小虫从下底部点A爬到上底部点 B处，则小虫所爬的最短路径长为（π取3） ( A.50cm B.40cm C.30cm D.20cm B 18 cm 20 16.cm 15 A10 第1题图 第2题图 2.如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为 20cm,点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着 长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖， 需要爬行的最短距离为 ( A.25cm B.20cm C.24cm D.23cm 3.如图，蚂蚁想要从两级 16(单往：分米) 台阶的左上角M处爬 到右下角N处，它只 能沿着台阶的表面爬行，已知每级台阶的长、 宽、高分别是16分米，4分米，2分米，则蚂蚁 从M处爬到N处的最短路程是 4.动手操作： (1)如图1，把长方形AA'B'B卷成以AB为 高的圆柱形，则点A与点 重合，点 B与点 重合。 图1 图2 探究与发现： (2)如图2，若圆柱的底面周长是30cm,高是 40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈 58 BS版七年级数学 策略：反思 丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的 最小长度是多少？ 5.(1)如图1，长方体的长为4cm,宽为3cm,高 为12cm,求该长方体中能放人木棒的最 大长度。 (2)如图2，若将题(1)中的长方体换成透明 圆柱形容器（容器厚度忽略不计），该容器 的高为12cm,底面周长为12cm,在容器 内壁离底部5cm的点B处有一饭粒，此 时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上 沿1cm与饭粒相对的点A处。求蚂蚁吃 到饭粒需要爬行的最短路程是多少。 图 图2参考答案 在Rt△BOC中，由勾股定理，得OB十OC =BC2, 所以3+(9-x)2=x2, 解方程得出x=5。 答：机器人行走的路程BC是5cm. 2一定是直角三角形吗 预习点拨 C 跟踪训练 1.C2.D3.C4.B5.B6.C7.C 8.合格9.120cm210.90°11.99101 12.9或41 13.解：连接AC,因为∠ADC=90°，CD=3, AD=4,所以AC=3+4=25,又因为 BC=122=144,AB=133=169,AC+ BC=AB,所以△ACB是直角三角形，所 以SaBD=SAe-Sax=号X12X 5-7×3x4=24. 答：图形的面积是24. 14.解：(1)设∠A=2k°，则∠B=3k°，∠C= 4k°， 由题意，得2k十3k十4k=180, 解得k=20,所以∠C=4×20°=80°： (2)因为AB=8,AC=15,BC=17,所以 BC2=AB2+AC, 所以△ABC是直角三角形， 所以BC边上的高=AB,AC=8X15= BC 17 120 17。 复习计划暑假 15.解：(1)因为CD是AB边上的高，所以 △BDC是直角三角形， 所以CD=BC-BD=32-1.82=5.76, 所以CD=2.4: (2)由(1)可知△ADC也是直角三角形， 所以AD2=AC-CD2=4°-2.42= 10.24,所以AD=3.2, 所以AB=AD+BD=3.2+1.8=5: (3)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AC=4,BC=3,AB=5, 所以AC十BC=AB, 所以△ABC是直角三角形。 16.解：连接AC, 在R△ABC中，AC=AB+BC=6+8 =102,所以AC=10, 在△DAC中，CD=262,AD=24, 因为242+10=262， 所以AD+AC2=CD, 所以∠DAC=90°，Sm边形ABD=S△C+ Sc-2BC,AB+2AD·AC-2×8X 6+号×24×10=14(m). 即四边形空地ABCD的面积是144m。 3勾股定理的应用 预习点拨 解：在Rt△ACB中，因为∠ACB=90°，BC= 0.7m.AC=2.4m,所以AB2=0.72十2.42= 6.25,在Rt△A'BD中，因为∠A'DB=90°， A'D=1.5m,BD+A'D=AB2,所以BD+ 1.52=6.25,所以BD=4,所以BD=2m, 所以CD=BC+BD=0.7+2=2.7(m). 答：小巷有2.7m宽。 79) 暑假复习计划 跟踪训练 1.D2.B3.B4.D 5.0.56.13m 7.解：设塑料薄膜的宽为xm,则有x=2.4十 3.22=16,所以x=4,因为15×4=60(m2), 所以覆盖在棚顶上的塑料薄膜需60m。 8.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= AB+BC2=92+12=152, 所以AC=15km. 答：无人机飞行路径AC的长为15km。 (2)AC⊥CD,理由如下： 因为AD=172=289,CD+AC=82+15 =289,所以AD=CD+AC°， 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， 所以AC⊥CD 9.解：(1)是，理由如下：在△CHB中， 因为CH2+BHP=2.42+1.82=9,BC=9, 所以CH十BH=BC,所以CH⊥AB, 所以CH是从村庄C到河边最近的路。 (2)设AC的长为xkm,在Rt△ACH中，由 已知得AH=(x一1.8)km,CH=2.4km,由 勾股定理，得AC=AH+CHP, 所以x2=(x-1.8)2+2.4, 解这个方程，得x=2.5, 故原来的路线AC的长为2.5km。 问题解决策略：反思 1.C2.A3.20分米 4.(1)A'B 解：(2)如图，连接AB 这条丝线的最小长度即为AB的长， 由勾股定理，得AB=AA2十A'B 302十402=502， 所以AB'=50cm,即这条丝线的最小长度是 50cm. 80 BS版七年级数学 5.解：(1)如图1，由题意得BD2=3+42=25, DF=25+12=169, 所以该长方体中能放入木棒的最大长度是 13cm. (2)容器的侧面展开图如图2所示，作A关 于EF的对称点A', 连接A'B,则A'B即为最短距离， 由题意得A'D=6cm,BD=12-5十1= 8(cm), 所以A'B2=A'D2+BD=62+82=100, 所以A'B=10cm。 D.- 图 图2 第二章实数 1认识实数 预习点拨 1.D2.D3.D 跟踪训练 1.C2.B3.B4.A5.D6.D7.C8.B 9.解：(1)自然数有：0，（一2014）°： (2)无理数有：1一π，2.1611611161111…（每个6 后增加1个1)： (3)整数有：一2,0，（一2014）°。 10.整数集合：{一3,0，…}： 分数集合：-30.36,3号3.1415926…： 正数集合：10.36,37吾0.10101001 …,3.1415926,…}: 。1 负数集合：{-3，-3…： 有理数集合：(-3，-30,036,32 1 3.1415926,…}: