3.3垂径定理讲义2025-2026学年浙教版 数学九年级上册

3.3垂径定理 【考点归纳】 考点1：利用垂径定理求线段的长度、求角的度数、求面积 考点2：利用垂径定理作图 考点3：利用垂径定理等知识解决实际问题 考点4：垂径定理的综合运用 【知识梳理】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 考点1：利用垂径定理求线段的长度、求角的度数、求面积 【例题精讲】 1．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　　． 解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OP的最大值为5， ∵OM⊥AB与M， ∴AM=BM， ∵AB=8， ∴AM=4， 在Rt△AOM中，OM=， OM的长即为OP的最小值， ∴3≤OP≤5． 2．如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　　度． 解：∵弦AC与半径OB互相平分， ∴OA=AB， ∵OA=OC， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOC=120°， 故答案为120． 3．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 解：如图，AE=AB=×24=12， CF=CD=×10=5， OE===5， OF===12， ①当两弦在圆心同侧时，距离=OF﹣OE=12﹣5=7； ②当两弦在圆心异侧时，距离=OE+OF=12+5=17． 所以距离为7或17． 故选：C． 4．⊙O内有一定点G，OG=5cm，⊙O的半径为13cm，则过G点的所有弦中，长度为整数的弦共有（　　）条． A．2 B．3 C．4 D．无数 解：如图示，作AB⊥OG于G， AG=BG， 在Rt△AOP中，OG=5，OA=13， AG=， ∴AB=24， 故过点G的弦的长度在24和26之间，弦为25的有2条，还有直径1条， 所以过点G的弦中长度为整数的弦的条数为4． 故选：C． 5.已知点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积． 解：如图1所示：过点O作OE⊥CD，OF⊥AB， 且EF必过点O， ∵AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，圆O的直径为26cm， ∴EC=5cm，BF=12cm， ∴EO=12cm，FO=5cm， 则EF=17cm， 故梯形ABCD的面积为：（10+24）×17=289（cm2）， 如图2，同理可得出：EF=12﹣5=7（cm）， 则梯形ABCD的面积为：（10+24）×7=119（cm2）． 综上所述：梯形ABCD的面积为289cm2或119cm2． 【巩固练习】 1．在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为　　． 解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AE=4cm，CF=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=3cm，OF=4cm， ∴EF=OF﹣OE=1cm； ②当弦A和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AF=4cm，CE=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=4cm，OF=3cm， ∴EF=OF+OE=7cm． 故答案为：1cm或7cm． 2．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　　个． 解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5， ∴点B的坐标为（0，﹣4）， 又∵点P的坐标为（0，﹣7）， ∴BP=3， ①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小， 连接BC， 在Rt△BCP中，CP==4； 故CD=2CP=8， ②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10； 所以，8≤CD≤10， 综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个， 故答案为：3． 考点2：利用垂径定理作图 【例题精讲】 1．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C， （1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R（结果保留根号）； （3）若在（2）题中的R的值满足n＜R＜m（m、n为正整数），试估算m和n的值． 解：（1） （2）作AD⊥BC于D，并延长AD，连接OB， ∵△ABC是等腰三角形， ∴DB=DC， ∴AD的延长线过O点， ∵AB=AC=6cm，BC=10cm， ∴BD=5cm， ∴AD=cm， ∵OB=OA=R， ∴R2=52+（R﹣）2， ∴R=， （3）∵≈3.3166， ∴R=≈5.4272， ∵n＜R＜m（m、n为正整数）， ∴n可取的最大值为5，m可取的最小值为6， ∴n=5，m=6． 【巩固练习】 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　　； （2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）． 解：（1）如图1，∵圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2）， ∴圆心的横坐标为2， 作BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交于D， 则D（2，﹣2） 故答案为：（2，﹣2）； （2）如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E， 在Rt△ADE中，AE=4，DE=2， 则r==2， 所以⊙D的半径为2． 2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　　． 解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M， 即圆心的坐标是（﹣1，1）， 故答案为（﹣1，1） 考点3：利用垂径定理等知识解决实际问题 【例题精讲】 1．据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（　　） A．15m B．17m C．18m D．20m 解：连结OA，如图， ∵CD⊥AB， ∴AD=BD=AB=×24=12， 在Rt△OAD中，OA=5，OD==5， ∴CD=OC+CD=13+5=18（m）． 故选：C． 2．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米 解：连接OF，交AC于点E， ∵BD是⊙O的切线， ∴OF⊥BD， ∵四边形ABDC是矩形， ∴AC∥BD， ∴OE⊥AC，EF=AB， 设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米， OE=R﹣AB=R﹣0.25， ∵AE2+OE2=OA2， ∴0.752+（R﹣0.25）2=R2， 解得R=1.25． 1.25×2=2.5（米）． 答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米． 故选：B． 【巩固练习】 1．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm，则截面中有水部分弓形的面积为　　．（结果精确到1cm） 解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E， ∵弓形的高为6cm，截面半径为12cm， ∴OE=OD﹣DE=12﹣6=6cm， 在Rt△AOE中，OE=OB=6cm， ∴AE===6， ∴AB=2AE=12 ∴∠OAE=30°，∠AOE=60°， ∴∠AOB=2∠AOE=2×60°=120°， ∴S弓形=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×12×6=﹣36≈×3.14﹣36×1.73≈88cm2． 故答案为：88cm2． 考点4：垂径定理的综合运用 【例题精讲】 1．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=　　． 解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC， ∴N、M分别为AC、AB的中点， 即MN为△ABC的中位线， ∵MN=2.5， ∴BC=2MN=5． 故答案为5． 2．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长． 解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD， ∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°， 在Rt△OEM中，∵OE=4， ∴，， ∵， ∴， ∵OM过圆心，OM⊥CD， ∴CD=2DM， ∴， ∵， ∴在Rt△DOM中，， ∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．　 【巩固练习】 1．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2． （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 解：（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC ∴∠AFO=∠CEO=90°， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE， ∴CE=AF， ∵CE=2， ∴AF=2， ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴AB=4． （2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC ∴CE=BE=2， ∵AB=4， ∴， ∵∠AEB=90°， ∴∠A=30°， 又∵∠AFO=90°， ∴cosA===， ∴，即⊙O的半径是． 【课堂检测】 A组--基础训练 1．有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：（1）两边一角，必须是夹角，错误； （2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； （3）应是对角线相等的平行四边形是矩形，错误； （4）两条直径一定互相平分，但是不一定垂直，错误； 只有（2）正确； 故选：A． 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM=x，则x的取值范围是　　． 解：当M与A（B）重合时，OM=x=5； 当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，连接OA， 在Rt△AOM中，OA=5，AM=AB=4， 根据勾股定理得：OM=x==3， 则x的范围为3≤x≤5． 故答案为：3≤x≤5 3．如图，弓形ACB所在圆的半径是5，弦AB=8，则弓形的高CD是　． 解：找出圆心O，连接OA，OC，D必然在OC上， ∴OA=OC=5， ∵OC⊥AB，AB=8， ∴AD=BD=4， 在Rt△AOD中，OA=5，AD=4， 根据勾股定理得：OD==3， 则弓形的高CD=OC﹣OD=5﹣3=2， 故答案为：2． 4．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB=6cm．当油面宽AB为8cm时，油上升了　　cm． 解：连接OA．作OM⊥AB于M， 则在直角△OAM中，AM=4cm， 因为OA=5cm，根据勾股定理得到：OM=3cm，即弦AB的弦心距是3cm， 同理当油面为6时，弦心距是4cm， 当油面没超过圆心O时，油上升了1cm； 当油面超过圆心O时，油上升了7cm． 因而油上升了1或7cm． 5．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC=2，求⊙O半径的长． 解：如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r． ∵=， ∴OC⊥AB， ∴AD=DB=AB=4， 在Rt△ACD中，CD==2， 在Rt△ADO中，∵OA2=AD2+OD2， ∴r2=（r﹣2）2+16， 解得r=5． ∴⊙O的半径为5． 6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD． 解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F， ∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m， ∴OE=0.8m， ∵水管水面上升了0.2m， ∴OF=0.8﹣0.2=0.6m， ∴CF==0.8m， ∴CD=1.6m． 7．如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离． 解：如图1所示，过O作OM⊥AB， ∵AB∥CD，∴ON⊥CD． 在Rt△BMO中，BO=25cm． 由垂径定理得BM=AB=×40=20cm， ∴OM===15cm． 同理可求ON===7cm， ∴MN=OM﹣ON=15﹣7=8cm． 当两弦位于圆心的两旁时，如图2所示： 过O作OM⊥AB， ∵AB∥CD，∴ON⊥CD． 在Rt△BMO中，BO=25cm． 由垂径定理得BM=AB=×40=20cm， ∴OM===15cm． 同理可求ON===7cm， 则MN=OM+ON=15+7=22（cm）． 综上所示，AB与CD之间的距离为8cm或22cm． B组--巩固训练 1．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH=HD，AH=HB，所以AD=BC，AC=BD． 所以共有4组相等的线段． 故选：D． 2．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=　　． 解：∵AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5， 设OE为x，由垂径定理可得：， 解得：x=， 即OE=， 故答案为： 3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A=28°，则∠D=　　． 解：连接OC， ∵∠A=28°， ∴∠COB=56°， ∵在⊙O中，直径AB⊥弦CD， ∴∠D=∠OCD=90°﹣56°=34°， 故答案为：34°． 4．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则蔬菜大棚的高度CD=　　m． 解：∵CD是中间柱， 即=， ∴OC⊥AB， ∴AD=BD=AB=×16=8（m）， ∵半径OA=10m， 在Rt△AOD中，OD==6（m）， ∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）． 故答案为：4 5．如图，是一个隧道的截面，若路面 AB 宽为6米，净高CD为9米，那么这个隧道所在圆的半径OA是　　米． 解：因为CD为高， 根据垂径定理：CD平分AB， 又路面AB宽为6米 则有：AD=3 m， 设圆的半径是x米， 在Rt△AOD中，有OA2=AD2+OD2， 即：x2=32+（9﹣x）2， 解得：x=5， 所以圆的半径长是 5米． 故答案为5 6．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 解：（1）连结OA， 由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2， 解得，r=34； （2）连结OA′， ∵OE=OP﹣PE=30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302， 解得：A′E=16． ∴A′B′=32． ∵A′B′=32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 7．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， （1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R． 解：（1）如图1所示； （2）连接OA．如图2． 由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10， ∴AD=AB=20． ∵CD=10， ∴OD=R﹣10． 在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2， ∴R2=202+（R﹣10）2． 解得：R=25． 即桥弧AB所在圆的半径R为25米． 8．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径． （1）证明：∵CD⊥AB ∴∠CEB=90° ∴∠C+∠B=90°， 同理∠C+∠CNM=90° ∴∠CNM=∠B， ∵∠CNM=∠AND ∴∠AND=∠B， ∵， ∴∠D=∠B， ∴∠AND=∠D， ∴AN=AD； （2）解：设OE的长为x，连接OA ∵AN=AD，CD⊥AB ∴DE=NE=x+1， ∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1， ∴OA=OD=2x+1， ∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2， ∴x2+42=（2x+1）2． 解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去）， ∴OA=2x+1=2×+1=， 即⊙O的半径为． C组--提升训练 1．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC=3，PC=a， 把x=3代入y=x得y=3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD=3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=3， ∴PE=， ∴PD=PE=， ∴a=3+． 故选：B． 2．如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，则线段CE、BD的长度差是　　． 解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE． ∵在Rt△AOB中，OA=20，AB=OC=12， ∴OB===16， ∴OM===， 在Rt△OCM中， CM===， ∵BM=BC﹣CM=20﹣=， ∴CE﹣BD=（EM﹣CM）﹣（DM﹣BM）=BM﹣CM=﹣=． 故答案为：． 3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为　　cm． 解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x，则ON=OF， ∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2， 在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2 即：（4﹣x）2+22=x2 解得：x=2.5 故答案为：2.5 4．一座拱型桥，桥下的水面宽度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，则水面宽度EF为多少？ （1）若把它看作抛物线的一部分，在坐标系中（如图①），可设抛物线的表达式为y=ax2+c．请你填空：a=　　，c=　　，EF=　　米； （2）若把它看作圆的一部分，可构造图形（如图②）请你计算： （3）请你估计（2）中EF与（1）中的EF的差的近似值（误差小于0.1米）． 解：（1）设解析式为y=ax2+c 令x=0，y=4， 所以c=4；令x=10，100a+4=0，a=﹣0.04=﹣ ∴解析式为y=﹣x2+4 令y=3，x=±5， 所以EF=10米 ∴a=，c=4，EF=10；（每格1分） （2）设半径为x，在Rt△BOC中，OC=x﹣4 ∴（x﹣4）2+102=x2 ∴x= 在Rt△FOG中，FG==2 ∴EF=4；（3分） （3）4﹣10≈4×2.646﹣10≈0.6（2分）． 【课后巩固】 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是　　． 解：连接OC， 由题意，得 OE=OA﹣AE=4﹣1=3， CE=ED==， CD=2CE=2， 故答案为2． 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，若⊙O的半径是5，CD=8，则AE=　　． 解：设AE为x， 连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8， ∴∠CEO=90°，CE=DE=4， 由勾股定理得：OC2=CE2+OE2， 52=42+（5﹣x）2， 解得：x=2， 则AE是2， 故答案为：2 3．如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，若CD=1，OA=3，则弦AB的长为　　． 解：Rt△OAD中，OD=2，OA=3； 根据勾股定理，得：AD=； ∴AB=2AD=2； 故答案为：2 4．已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是　　厘米． 解：过圆心O作OD⊥AB，交弧与C．则CD=1，连接OA． 在直角△AOD中，OA=13，OD=13﹣CD=12， 则AD===5， ∴AB=2AD=10． 那么弓形的弦长是10厘米． 故答案是：10． 5．如图所示，截面为圆形油槽内，放入一些油，若圆的直径为150cm，油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是　　cm． 解：则OC⊥AB于点D，OC=OB=×150=75cm，OD=OC﹣CD=75﹣30=45cm． 在直角△OBD中，BD==60（cm）， 则AB=2BD=120cm． 故答案是：120． 6．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米？ 解：如图，设弧AB所在圆心为O，半径为R， 经过圆心O作AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB中点，C是弧AB中点，由题意可知 AB=492米，CD=100米， 所以AD=AB=×492=246米，AD=×100=50米 OD=OC﹣CD=R﹣100， 在直角三角形OAD中，根据勾股定理，得： OA2=AD2+OD2，R2=2462+（R﹣100）2 解得 R=352.58米， 因此，该拱桥的半径是352.58米． 7．如图所示，OM，ON为相交成30°角的两条公路，在OM上距O点80O米处的A点有一所学校，一拖拉机以每小时36千米的速度从O点向N点行驶，若它与学校的距离不超过500米时会学校产生影响，试问：拖拉机对小学噪音影响时间多长？ 解：由图可知：以500为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=800m， ∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°， ∴AD=OA=×800=400m， 在Rt△ABD中，AB=500，AD=400，由勾股定理得：BD===300m， 故BC=2×300=600米，即拖拉机在经过BD时对学校产生影响． ∵拖拉机的速度为36千米/小时，即=600米/分钟，拖拉机经过BD时需要600÷600=1分钟． 8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF． （1）求证：BF⊥AF； （2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明． （1）证明：∵EF∥AB， ∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB， ∵∠E=∠EFA， ∴∠FAB=∠CAB， 在△ABC和△ABF中，， ∴△ABC≌△ABF（SAS）， ∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF⊥AF； （2）解：当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．理由如下： ∵∠CAB=60°， ∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°， ∴EF=AD=AE， ∴四边形ADFE是菱形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3垂径定理 【考点归纳】 考点1：利用垂径定理求线段的长度、求角的度数、求面积 考点2：利用垂径定理作图 考点3：利用垂径定理等知识解决实际问题 考点4：垂径定理的综合运用 【知识梳理】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。 考点1：利用垂径定理求线段的长度、求角的度数、求面积 【例题精讲】 1．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是　　． 2．如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　　度． 3．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 4．⊙O内有一定点G，OG=5cm，⊙O的半径为13cm，则过G点的所有弦中，长度为整数的弦共有（　　）条． A．2 B．3 C．4 D．无数 5.已知点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积． 【巩固练习】 1．在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为　　． 2．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有　　个． 考点2：利用垂径定理作图 【例题精讲】 1．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A、B、C， （1）用尺规作图法，找出弧ABC所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R（结果保留根号）； （3）若在（2）题中的R的值满足n＜R＜m（m、n为正整数），试估算m和n的值． 【巩固练习】 1．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题： （1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为　　； （2）连结AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）． 2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是　　． 考点3：利用垂径定理等知识解决实际问题 【例题精讲】 1．据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（　　） A．15m B．17m C．18m D．20m 2．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米 【巩固练习】 1．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm，则截面中有水部分弓形的面积为　　．（结果精确到1cm） 考点4：垂径定理的综合运用 【例题精讲】 1．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=　　． 2．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长． 　 【巩固练习】 1．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2． （1）求AB的长； （2）求⊙O的半径． 【课堂检测】 A组--基础训练 1．有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，动点M在弦AB上运动（可运动至A和B），设OM=x，则x的取值范围是　　． 3．如图，弓形ACB所在圆的半径是5，弦AB=8，则弓形的高CD是　． 4．在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB=6cm．当油面宽AB为8cm时，油上升了　　cm． 5．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC=2，求⊙O半径的长． 6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD． 7．如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离． B组--巩固训练 1．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=　　． 3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，∠A=28°，则∠D=　　． 4．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则蔬菜大棚的高度CD=　　m． 5．如图，是一个隧道的截面，若路面 AB 宽为6米，净高CD为9米，那么这个隧道所在圆的半径OA是　　米． 6．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？ 7．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米， （1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R． 8．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD． （1）求证：AD=AN； （2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径． C组--提升训练 1．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A．4 B． C． D． 2．如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，则线段CE、BD的长度差是　　． 3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为　　cm． 4．一座拱型桥，桥下的水面宽度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，则水面宽度EF为多少？ （1）若把它看作抛物线的一部分，在坐标系中（如图①），可设抛物线的表达式为y=ax2+c．请你填空：a=　　，c=　　，EF=　　米； （2）若把它看作圆的一部分，可构造图形（如图②）请你计算： （3）请你估计（2）中EF与（1）中的EF的差的近似值（误差小于0.1米）． 【课后巩固】 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是　　． 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，若⊙O的半径是5，CD=8，则AE=　　． 3．如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，若CD=1，OA=3，则弦AB的长为　　． 4．已知弓形的高是1厘米，弓形的半径长是13厘米，那么弓形的弦长是　　厘米． 5．如图所示，截面为圆形油槽内，放入一些油，若圆的直径为150cm，油的最大深度DC为30cm，那么油面宽度AB是　　cm． 6．巫山长江公路大桥是一个中承式钢管砼圆弧形拱桥，主跨度AB=492米，拱桥最高点C距水面100米，求该拱桥的半径是多少米？ 7．如图所示，OM，ON为相交成30°角的两条公路，在OM上距O点80O米处的A点有一所学校，一拖拉机以每小时36千米的速度从O点向N点行驶，若它与学校的距离不超过500米时会学校产生影响，试问：拖拉机对小学噪音影响时间多长？ 8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF，DF． （1）求证：BF⊥AF； （2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$