第二十四章 圆 第10课 切线长定理及三角形的内切圆- 课件 -2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 第10课 切线长定理及三角形的内切圆 　　知识点1 切线长定理 　　切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的 长，叫做这点到圆的切线长． 　　 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A，B. 则 PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？并说明理由． 　　解：PA PB，∠APO ∠BPO. 　　理由如下：如图，连接OA，OB. 　　∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA AP，OB BP. 　　又OA＝ ，OP＝ ⁠， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP( )． 　　∴PA PB，∠APO ∠BPO. ＝ ＝ ⊥ ⊥ OB OP HL ＝ ＝ 　　 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 ⁠ 相等，这一点和圆心的连线 ⁠两条切线的夹角． 切 线长 平分 　　1． 【例1】(人教九上P99探究改编)如图，点P为⊙O外一点，PA， PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝ ⁠． 3 　　2． 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，点A，B是切点，若∠APB ＝60°，PO＝4，则⊙O的半径为 ⁠． 2 　　知识点2 三角形的内切圆与内心 　　3． 三角形的内切圆： 　　是指与三角形各边都 的圆．如图，⊙O就是△ABC的内 切圆． 　　三角形的内心：是指内切圆的圆心，是三角形三条 ⁠的 交点，它到三角形的三边的距离相等．如图，点O就是△ABC的内心． 相切 角平分线 　　4． 【例2】(人教九上P100【例2】改编)如图，△ABC的内切圆⊙O 与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝26 cm，CA＝28 cm，求AF，BD，CE的长． 　　解：根据切线长定理，得AE＝AF， 　　BF＝BD，CE＝CD. 　　设AF＝AE＝x，则CE＝CD＝28－x，BF＝BD＝18－x. 　　∵BC＝26，∴(18－x)＋(28－x)＝26. 　　解得x＝10. 　　∴AF＝10 cm，BD＝8 cm，CE＝18 cm. 　　5． (北师九下P95例题改编)如图，在△ABC中，内切圆I和边BC， AC，AB分别相切于点D，E，F. 若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求 △ABC内切圆的半径． 　　解：如图，连接ID，IE. 　　∵BC2＋AC2＝32＋42＝25，AB2＝25， 　　∴BC2＋AC2＝AB2. 　　∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°. 　　由题可知∠IDC＝∠C＝∠IEC＝90°，ID＝IE. 　　∴四边形DCEI为正方形． 　　∴ID＝CD＝CE＝IE. 　　由题可知，BD＝BF，AE＝AF. 　　∴CD＋CE＝BC－BD＋AC－AE＝BC＋AC－(BD＋AE)＝BC ＋AC－(BF＋AF)＝BC＋AC－AB＝2. 　　∴IE＝CD＝CE＝1. 　　∴△ABC内切圆的半径为1. 　　1． 如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝60°，PA ＝4，则弦AB的长是 ⁠． 4 　　2． (人教九上P100练习T1改编)如图，点O为△ABC的内心，且∠A ＝50°，则∠BOC的度数为 ⁠． 115° 　　3． (北师九下P96习题T1改编)如图，PA，PB分别切⊙O于点A， B，PA＝17 cm，点C是劣弧AB上的点(不与点A，B重合)，过点C的切 线分别交PA，PB于点E，F，则△PEF的周长为(　C　) A． 17 cm B． 25 cm C． 34 cm D． 35 cm C 　　4． 如图所示是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用 料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 　　解：作法：(1)分别作∠ABC，∠ACB的平分线交于点P； 　　(2)过点P作线段BC的垂线交BC于点E； 　　(3)以点P为圆心，线段PE长为半径画圆． 　　如图，⊙P即为所求． 　　5． (人教九上P102习题T11改编)如图，直线AB，BC，CD分别与 ⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，若OB＝6 cm，OC＝8 cm，则 BE＋CG的值为(　D　) A． 13 cm B． 12 cm C． 11 cm D． 10 cm D 　　6． (广州中考)如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相 切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则(BF＋CE－BC)的值 和∠FDE的大小分别为(　D　) A． 2r，90°－α B． 0，90°－α C． 2r，90°－ D． 0，90°－ D 　　7． 推理能力如图，△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l， 求证：S△ABC＝ lr.(提示：连接OA，OB，OC) 　　证明：如图，连接OA，OB，OC. 　　∵S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC， 　　∴S△ABC＝ AB·r＋ AC·r＋ BC·r 　　＝ (AB＋AC＋BC)·r. 　　∵l＝AB＋AC＋BC， 　　∴S△ABC＝ lr. $$