1.1 三角形中的线段和角（9大题型）-（题型·技巧培优系列）2025-2026学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版2024）

（苏科版2024）八年级上册数学《第1章 三角形》 1.1 三角形中的线段和角 知识点一：三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点二：三角形的边和角的关系 图示 文字语言 符号语言 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角）. 在△𝐴𝐵𝐶 中， ∵𝐴𝐵>𝐴𝐶，， ， ∴∠𝐶>∠𝐵.  在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大（大角对大边）. 在△𝐴𝐵𝐶 中， ∵∠𝐶>∠𝐵，，  ∴𝐴𝐵>𝐴𝐶.  知识点三：三角形的高、中线与角平分线 一、三角形的高 ◆1、三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间的线段 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：在三角形中,连接一个顶点与它的对边中点的线段. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. 三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 题型一 判断三条线段能否组成三角形 【例1】（2025•沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【变式1-1】（（2024•开福区校级三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 【变式1-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知三条线段的长分别是下列数组，不能构成三角形的是（    ） A．5，6，7 B．5，7，9 C．5，7，12 D．5，12，16 【变式1-3】（2024秋•汕头期末）以下各组线段为边，能成三角形的是（　　） A．1cm，3cm，1cm B．1cm，3cm，2cm C．4cm，4cm，8cm D．1cm，，2cm 【变式1-4】有长为2cm,3cm,4cm,6cm的四根木棒,选其中的三根作为三角形的边,可以圈成的三角形的有几种可能? （ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 题型二 三角形的三边关系的计算 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 在涉及三角形的边长或周长的计算时，要用三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，列出不等式计算即可解答． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式2-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【变式2-4】（2024秋•蒙城县期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 【变式2-5】（2024秋•霍邱县期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． （2）若a＝2，b＝5，且三角形的周长为偶数，求c的值． 题型三 三角形三边关系的证明 【例3】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论. 【变式3-1】如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由． 【变式3-2】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC． 【变式3-3】（2024春·八年级统考课时练习）已知点O在内部，连接OA，OB，OC，说明：． 【变式3-4】（2024春·全国·八年级专题练习）观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 题型四 三角形的边角关系 【例4】如图，已知AB>AC>AD，比较∠B ，∠ADC和∠C 的大小，并说明理由. 1、在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角）. 2、在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大（大角对大边）. 【变式4-1】 教材通过折纸的方式证明了“大边对大角”.“飞翔”数学兴趣小组的学生发现“大角对大边”也可利用线段的对称轴进行类似的证明.如图,在△ABC中,∠ACB＞∠B,为了证明AB>AC，作BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点 E，连接DC.请你帮助“飞翔”数学兴趣小组的学生完成证明过程. 【变式4-2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 题型五 利用三角形的中线求长度 【例5】（20243春•兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　 　. 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线平分三角形的一条对边． 【变式5-1】（2024秋•梁山县期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　 　 ． 【变式5-2】（2024秋•思明区校级期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　 　 ． 【变式5-3】（2024秋•苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长． 【变式5-4】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【变式5-5】（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知三角形一腰上的中线把三角形分成周长为和两部分，求等腰三角形各边的长． 题型六 三角形的中线求面积 【例6】（2024秋•政和县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【变式6-1】（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）三角形的下列三种线段中，一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．以上均不可以 【变式6-2】（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 【变式6-4】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上一点，且，点是边的中点，连接、，若，则 . 【变式6-5】（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 题型七 三角形的角平分线 【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【变式7-1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 【变式7-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【变式7-4】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 题型八 三角形的高 【例8】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式8-1】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在ABC中，BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2024秋•汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 题型九 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 【例9】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题. 【变式9-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【变式9-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【变式9-4】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【变式9-5】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论）； (3)如图2，若是钝角，是边上的高线，是的平分线，请说明（2）中猜想的结论仍然成立． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版2024）八年级上册数学《第1章 三角形》 1.1 三角形中的线段和角 知识点一：三角形的三边关系 ★三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点二：三角形的边和角的关系 图示 文字语言 符号语言 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角）. 在△𝐴𝐵𝐶 中， ∵𝐴𝐵>𝐴𝐶，， ， ∴∠𝐶>∠𝐵.  在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大（大角对大边）. 在△𝐴𝐵𝐶 中， ∵∠𝐶>∠𝐵，，  ∴𝐴𝐵>𝐴𝐶.  知识点三：三角形的高、中线与角平分线 一、三角形的高 ◆1、三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间的线段 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 二、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：在三角形中,连接一个顶点与它的对边中点的线段. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. 三、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 题型一 判断三条线段能否组成三角形 【例1】（2025•沙坪坝区校级开学）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（　　） A．6、4、2 B．6、3、2 C．7、3、2 D．5、5、2 【答案】D． 【分析】根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果． 【详解】解：A、4+2＝6，故6、4、2不能组成三角形，不符合题意； B、3+2＜6，故6、3、2不能组成三角形，不符合题意； C、3+2＜7，故7、3、2不能组成三角形，不符合题意； D、2+5＞5，故5、5、2能组成三角形，符合题意， 故选：D． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【变式1-1】（（2024•开福区校级三模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，7 C．2，6，7 D．3，3，6 【答案】C． 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、2+1＝3，长度是1，2，3的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、2+3＝5＜7，长度是2，3，7的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、2+6＞7，长度是2，6，7的线段能组成三角形，故C符合题意； D、3+3＝6，长度是3，3，6的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【变式1-2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知三条线段的长分别是下列数组，不能构成三角形的是（    ） A．5，6，7 B．5，7，9 C．5，7，12 D．5，12，16 【答案】C 【分析】先把三边从小到大排序，计算两最先线段之和与第三条线段比较大小得出各选项的能否构成三角形． 【详解】解：∵5＜6＜7，5+6＞7，∴能构成三角形，故选项A不合题意； ∵5＜7＜9，5+7＞9，∴能构成三角形，故选项B不合题意； ∵5＜7＜12，5+7=12，∴不能构成三角形，故选项C符合题意； ∵5＜12＜16，5+12＞16，∴能构成三角形，故选项D不合题意； 故选择C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，应灵活掌握先进行排序，两最短线段之和大于第三边是解题关键． 【变式1-3】（2024秋•汕头期末）以下各组线段为边，能成三角形的是（　　） A．1cm，3cm，1cm B．1cm，3cm，2cm C．4cm，4cm，8cm D．1cm，，2cm 【答案】D． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析判断即可． 【详解】解：A、1+1＜3，不能组成三角形，不符合题意； B、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意； C、4+4＝8，不能组成三角形，不符合题意； D、，，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边． 【变式1-4】有长为2cm,3cm,4cm,6cm的四根木棒,选其中的三根作为三角形的边,可以圈成的三角形的有几种可能? （ ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】B 【分析】根据三角形形成的条件:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边进行判断 【解答】解:可围成不同的三角形为: 2cm、3cm、4cm;3cm、4cm、6cm共2个 故选:B. 【点睛】本题主要考査了三角形的三边关系，注意三角形形成的条件:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;当题目指代不明时，一定要分情况讨论,把符合条件的保留下来,不符合的舍去. 题型二 三角形的三边关系的计算 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·期中）已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知三角形的两边分别为3和5， 根据三角形三边关系可知：，， 因此，第三边的取值范围为． 故选：C． 在涉及三角形的边长或周长的计算时，要用三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，列出不等式计算即可解答． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 【变式2-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 【变式2-4】（2024秋•蒙城县期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6． （1）求c的取值范围； （2）若c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长． 【答案】（1）2＜c＜10；（2）14． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜c＜10； （2）由2＜c＜10，c的长为小于6的偶数，得到c的值，即可求出△ABC的周长． 【详解】解：（1）由三角形三边关系定理得到：6﹣4＜c＜6+4， ∴2＜c＜10； （2）由（1）知2＜c＜10， ∵c的长为小于6的偶数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长＝4+6+4＝14． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【变式2-5】（2024秋•霍邱县期末）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|． （2）若a＝2，b＝5，且三角形的周长为偶数，求c的值． 【答案】（1）﹣a+3b﹣c； （2）5． 【分析】（1）利用三角形的三边关系得到a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由a＝2，b＝5，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c| ＝﹣a+b+c+b﹣c﹣a+a+b﹣c ＝﹣a+3b﹣c； （2）∵a＝2，b＝5， ∴3＜c＜7， ∵三角形的周长为偶数，a+b＝7为奇数， ∴c为奇数， ∴c＝5． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． 题型三 三角形三边关系的证明 【例3】如图，△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB+AC＞BP+CP． 【分析】由三角形的三边关系可得AB+AD＞BD，CD+PD＞PC，即可得结论． 【详解】证明：在△ABD中，AB+AD＞BD， 在△PDC中，CD+PD＞PC， ∴AB+AD+CD+PD＞BD+PC ∴AB+AC＞BP+CP． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是本题的关键． 证明线段间不等关系的方法，常先构造三角形，把相关线段尽可能地集中在一个三角形中，然后运用“三角形两边的和大于第三边”这一关系，得出几个同向不等式，最后通过变形得出结论. 【变式3-1】如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD＞AC+BC成立吗？说明理由． 【分析】先根据三角形三边关系定理可得AD+CD＞AC，BD+CD＞BC，再将两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC，即AB+2CD＞AC+BC． 【详解】解：AB+2CD＞AC+BC成立，理由如下： 在三角形ADC中，AD+CD＞AC， 在三角形BCD中，BD+CD＞BC， 两式相加得（AD+BD）+2CD＞AC+BC， 即AB+2CD＞AC+BC． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．同时考查了不等式的性质． 【变式3-2】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC． 【分析】根据三角形的三边关系可得出结论． 【详解】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC． ∴把它们相加，再除以2，得 PA+PB+PCABBCAC． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． 【变式3-3】（2024春·八年级统考课时练习）已知点O在内部，连接OA，OB，OC，说明：． 【答案】证明见解析 【分析】延长BO交AC于D．在△AOB、△BOC、△AOC中，由三角形三边关系定理列式，三式相加可得2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC，即可证明不等式左边部分成立．在△ADO、△BDC中，由三角形三边关系定理列式，两式相加可得OA+BO＜AC+BC，同理可得：OC+OB＜AB+AC，OC+OA＜AB+BC，三式相加即可证明不等式右边部分成立． 【详解】延长BO交AC于D． 在中，，① 在中，② 在中，，③ ①＋②＋③得． 即． 在△ADO中，OA＜AD+OD， 在△BDC中，BD＜DC+BC， ∴OA+BD＜AD+OD+DC+BC， 即OA+BO+OD＜AC+OD+BC， ∴OA+BO＜AC+BC ④ 同理： ⑤ ，⑥ ④＋⑤＋⑥得， 即． ∴． 【变式3-4】（2024春·全国·八年级专题练习）观察并探求下列各问题： (1)如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__ __AB＋AC(填“＞”“＜”或“＝”)． (2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． (3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． 【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＜. 【详解】试题分析：（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果， （2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果， （3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，即可得出结果． 试题解析：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边， （2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由： 如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长， （3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由： 如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M， 可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论. 题型四 三角形的边角关系 【例4】如图，已知AB>AC>AD，比较∠B ，∠ADC和∠C 的大小，并说明理由. 【分析】由在同一个三角形中，较大的边所对的角也较大可以判断得出结论即可解答. 【详解】∠ADC>∠C>∠B .理由如下： 在△ACD中，∵AC>AD， ∴∠ADC>∠C . 在△ABC中，∵AB>AC, ∴∠C>∠B . ∴∠ADC>∠C>∠B . 1、在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角）. 2、在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大（大角对大边）. 【变式4-1】 教材通过折纸的方式证明了“大边对大角”.“飞翔”数学兴趣小组的学生发现“大角对大边”也可利用线段的对称轴进行类似的证明.如图,在△ABC中,∠ACB＞∠B,为了证明AB>AC，作BC的垂直平分线，交AB于点D，交BC于点 E，连接DC.请你帮助“飞翔”数学兴趣小组的学生完成证明过程. 【分析】由垂直平分线的性质可得出BD=CD,然后再通过三角形的边角关系即可解答. 【详解】：∵垂直平分线 DE 是线段BC的对称轴， ∴BD=CD. 在△ACD中, ∵AD+CD>AC, ∴AD+BD>AC, ∴AB>AC. 【变式4-2】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 题型五 利用三角形的中线求长度 【例5】（20243春•兴庆区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 　 　. 【答案】6． 【分析】依据三角形中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大6，即可得出AB与AC的差为6． 【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大6， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6， 即AB﹣AC＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线平分三角形的一条对边． 【变式5-1】（2024秋•梁山县期末）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝9﹣7＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【变式5-2】（2024秋•思明区校级期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　 　 ． 【答案】24． 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为22， ∴AC+AD+CD＝22， ∴AC+AD+BD＝22， ∵AC＝8， ∴AD+BD＝14， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝10+14＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【变式5-3】（2024秋•苍梧县期中）如图，已知△ABC的周长为16cm，，AD＝4cm，AD是BC边上的中线，△ABD的周长是12cm，求△ABC各边的长． 【答案】见详解 【分析】首先求出AB＝5cm，然后根据△ABD的周长是12cm，求出BD＝12﹣5﹣4＝3cm，再根据中线的定义可求出CD＝BD＝3cm，由△ABC的周长为16cm，即可求出AC＝16﹣5﹣6＝5cm． 【详解】解：∵，AD＝4cm， ∴AB＝5cm， ∵△ABD的周长是12cm， ∴BD＝12﹣5﹣4＝3cm， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD＝3cm， ∴BC＝BD+CD＝6cm， ∵△ABC的周长为16cm， ∴AC＝16﹣5﹣6＝5cm． 【点睛】考查了三角形的周长和中线，解题本题的关键是由周长得到BD＝12﹣5﹣4＝3cm． 【变式5-4】（2024春•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【答案】（1）4； （2）1cm或3cm． 【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm； （2）分两种情况讨论． 【详解】解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差， ∵AB﹣AC＝4（cm）， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm， 故答案为：4； （2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时， 即BE﹣（AE+AC）＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝1cm， ②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时， 即AE+AC﹣BE＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm， 综上，线段AE的长为1cm或3cm． 【点睛】本题考查了三角形的中线，关键是注意分类讨论． 【变式5-5】（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知三角形一腰上的中线把三角形分成周长为和两部分，求等腰三角形各边的长． 【答案】这个等腰三角形各边的长为，，，或，，． 【分析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验． 【详解】解：①如图，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴能构成三角形， ∴腰长为，底边为 ②如图，， 同理得：， ∵， ∴能构成三角形 ∴腰长为，底边为    故这个等腰三角形各边的长为，，，或，，． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键． 题型六 三角形的中线求面积 【例6】（2024秋•政和县期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是48，则△ABE的面积是　 　 ． 【答案】12． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵在△ABC中，AD是BC上的中线， 根据中线的性质可得： S△ABD＝S△ACDS△ABC， 同理S△ABE＝S△BEDS△ABD， ∴S△ABES△ABC， ∵△ABC的面积是12， ∴S△ABE48＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形． 【变式6-1】（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）三角形的下列三种线段中，一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（    ） A．角平分线 B．中线 C．高 D．以上均不可以 【答案】B 【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等． 【详解】解：A.三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定，不符合题意； B.如图，三角形的中线AD把三角形分成两部分， ∵△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为 •CD•AE； ∵AD为中线， ∴D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴△ABD的面积等于△ACD的面积． ∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，符合题意． C.三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定，不符合题意； D.明显不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查中线，高，角平分线的意义，及中线，高在实际运算中的应用． 【变式6-2】（24-25八年级上·广西百色·期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即 ，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式6-3】（23-24八年级上·四川甘孜·期末）如图，是中边上的中线，，分别是，的中点．若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】48 【分析】由于F是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的2倍，同理由于E是的中点，得出的面等于面积2倍，由于是边上的中线，得出的面积等于面积的2倍，代入求解即可． 【详解】∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 同理， 故答案为：48． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 【变式6-4】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是边上一点，且，点是边的中点，连接、，若，则 . 【答案】6 【分析】先根据三角形中线平分三角形面积得到，再推出，即可利用同高三角形面积之比等于底边之比得到答案． 【详解】解；∵点是边的中点，， ∴， ∵是边上一点，且， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【变式6-5】（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 【答案】9平方厘米 【分析】本题考查三角形的中线，连接，根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 题型七 三角形的角平分线 【例7】如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D． 【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析． 【详解】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确； B、CE是△BCD的角平分线，正确； C、∠3∠ACB，正确； D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误． 故选：D． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 【变式7-1】（2025·河南信阳·三模）如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 【变式7-2】如图，DE∥BC，CD是△ACB的平分线，∠ACB＝60°，那么∠EDC＝　　度． 【答案】30． 【分析】利用平行线的性质得出∠EDC＝∠DCB，利用角平分线的性质得出∠EDC＝∠ECD进而求出即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB， ∵CD是△ACB的平分线， ∴∠ECD＝∠DCB， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°． 故答案为：30． 【变式7-3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【答案】30°、40°、80°． 【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC30°．由CE平分∠BCA，得∠BCE＝∠ACE40°，进而解决此题． 【详解】解：∵AD平分∠ABC， ∴∠DAC30°． ∵CE平分∠BCA， ∴∠BCE＝∠ACE40°． ∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°． 故答案为：30°、40°、80°． 【变式7-4】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，试问：EF是△BDE的角平分线吗？说说你的理由． 【答案】见详解 【分析】由平行线的性质得出同位角相等、内错角相等∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD，由角平分线得出∠BAD∠BAC，得出∠BEF∠BED即可． 【详解】解：EF是△BDE的角平分线；理由如下： ∵DE∥AC，EF∥AD， ∴∠BED＝∠BAC，∠BEF＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC， ∴∠BEF∠BED， 即EF平分∠BED， ∴EF是△BDE的角平分线． 题型八 三角形的高 【例8】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：，交的延长线于， 为中边上的高． 故选：D． 1、从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 2、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 【变式8-1】（23-24八年级上·湖北荆州·期中）下列四个图形中，BE不是△ABC的高线的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的高的定义可得答案． 【详解】解：BE不是△ABC的高线的图是C， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 【变式8-2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在ABC中，BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案． 【详解】解：A、为AB边上的高，故错误； B、为BC边上的高，故正确； C、不是BC边上的高，故错误； D、为AC边上的高，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，解题的关键是正确理解三角形的高的定义． 【变式8-3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图， 在中， ， ， 于点 ， 且， 若点 在边上移动，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等面积法，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，最短，然后用等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据垂线段最短，得到时，最短， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：． 【变式8-4】（2024秋•汕尾校级月考）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． （1）试说明CD是△ABC的高； （2）如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）由等量代换可得到∠B+∠BCD＝90°，故△BDC是直角三角形，即CD⊥AB； （2）由面积法可求得CD的长． 【详解】解：（1）∵∠1+∠BCD＝90°，∠1＝∠B ∴∠B+∠BCD＝90° ∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB， ∴CD是△ABC的高； （2）∵∠ACB＝∠CDB＝90° ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10， ∴CD． 题型九 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 【例9】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确， ∵是的高， ∴，故B选项正确， ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， ∵是中线，不是角平分线， ∴无法得出，故C选项无法得出， 故选：C 三角形的高、中线、角平分线的综合应用主要是利用他们的性质来解决综合问题. 【变式9-1】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 【变式9-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形的面积，中线，高线，解题的关键是理解题意． 根据的面积是24，算出，再根据中线得出，根据，即可算出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的高线，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又 ， ∴， ∴． 【变式9-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 【变式9-4】（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 【变式9-5】（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论）； (3)如图2，若是钝角，是边上的高线，是的平分线，请说明（2）中猜想的结论仍然成立． 【答案】(1) (2) (3)仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出； （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想； （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）解：在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）解：当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$