导数对称轮换式构造单调性同构讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 对称轮换式 • 构造单调性同构 一、24年天津高考导数构造单调性同构 二、对称轮换式同构 三、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 2、指对同构常用恒等式 3、指对同构找外函数三种方式 （1）对于积型： （2）对于商型： （3）对于和差型： 4、隐蔽性指对同构 5、指对同构常见10种外函数图像 四、朗博不等式型 1、朗博不等式 2、拓展的一些不等式 五、对称轮换式构造单调性同构模考题 一、24年天津高考导数构造单调性同构 【2024年天津高考T20】 设函数 . （1） 求 图像上点 处切线方程； （2） 若 在 时恒成立，求 的取值范围； （3） 若 ，证明： 解析： （1） （2） 令 ， 在 上 ，在 上 ① 当 时， 在 上 ， ，不符合题意 ② 当 时， 在 上 ，在 上 ，符合题意 ③ 当 时， 在 上 ， ，不符合题意 综上所述， ， 的取值范围为 （3） 可以看出原不等式是对称轮换式，也就是改变 的位置，式子等价不变，即 也就是 的地位等价，不妨设 ，则 ① 对于左边不等式： 易知当 时， ，则 即 要证 只需证 即证 令 ， 得证 ② 对于右边不等式： 易知当 时， 要证 只需证 即证 令 ，， ，， 在 得证 二、对称轮换式同构 这种同构多见于双变量中，并且两个变量在等式或不等式中地位等价。例如，对于不等式 ，将 、交换位置（轮换）后不改变原不等式，即 . 另外，这两个变量不能含有隐藏等式关系，虽然要证明的式子是对称结构 ，但是因为 并不是毫无关联的，它们都是方程 的根，通过方程联系起来。如果通过构造单调性证明，就相当于忽略了这个条件，很有可能证明失败。 这种同构形式主要有两种常见模型， （1） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。（2） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。 对于含有地位等价的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解。 三、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 指对同构的基础是高中刚开始时，指数函数与对数函数中的两个恒等式： 当 且 时， 其中， 时，便是指对同构中两个最常用的指对恒等式：， 2、指对同构常用恒等式 下面再归纳一下常用于指对同构，变形转化用的恒等式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 3、指对同构找外函数三种方式 指对同构找外函数三种方式，左同构、右同构、取对数 （1）对于积型： ① 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ② 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ③ 式（1）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： （2）对于商型： ① 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ② 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ③ 式（2）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： （3）对于和差型： ① 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： ② 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： 4、隐蔽性指对同构 对于隐蔽性指对同构，需要补因式，例如， （1） 对于 ，两边需同乘以 ，转化为积型 （2） 对于 两边需同加上 ，转化为和型 ， （3） 反函数型 5、指对同构常见10种外函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 四、朗博不等式型 1、朗博不等式 朗博不等式： （ 处取等） 此不等式是结合指对恒等式与常见放缩不等式复合而来的，即上小节中的指对恒等式 （1） 与上一期中的常见放缩不等式 注： 朗博不等式，经常出现在导数压轴中，不过现在已经烂大街了。。。 2、拓展的一些不等式 基于朗博不等构造过程拓展的一些不等式 （1） （由于 ，所以不等式取不到等号） （2） （由于 ，所以不等式取不到等号） （3） （仅当 时取等号） （4） （仅当 时取等号） （5） （仅当 时取等号） （6） （由于 ，所以不等式取不到等号） （7） （仅当 时取等号） （8） （仅当 时取等号） （9） （由于 ，所以不等式取不到等号） （10） （仅当 时取等号） （11） （仅当 时取等号） …… 注：这种不等式还可以构造很多，基本构型都是指对恒等式+常见放缩不等式 五、对称轮换式构造单调性同构模考题 【24届高三湖北十一校一联T16】 对 ，当 时 ，则 的范围为____ . 解析： 两边取对数得 构造函数 ，则 需要在 上单调递减， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立， 则 【24届 T8 联考 T22】 已知函数 ， ， ， 的导函数记为 ， 为自然对数的底数，约为 . （1） 判断函数 的零点个数； （2） 设 是函数 的一个零点， 是函数 的一个极值点，证明： （i） （ii） 解析： （1） 令 ，解得 当 时， 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减 令 ， 时，可今 此时 ，易知 时， 当 时， ， ，即 在区间 上无零点 又 使得 即 在区间 上有一个零点， 函数 的零点个数为 （2） （i） 由 （1） 可知，函数 有唯一零点 ，且 下面判断函数 的极值点情况 ，令 当 时， 在区 上单调递增 当 时， 在区间 上单调递增 综上，当 时， 在区间 上单调递增 令 ， 令 ，解得 ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 ，， 使得 ，即 且当 时， ；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 当 时，函数 存在唯一的极值点 ，且 . 综上， . （ii） 要证 即证 令 下证 在区间 上单调递增，即证 恒成立 ， 今 则 在区间 上单调递增 令 则 在区间 上单调递增，且 故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 当 时， 恒成立 在区间 上单调递增， ， ，原命题得证 . 此外，第 （2） ② 中， 可以利用放缩不等式 、 （都在 取等号） 直接看出 ，即 （仅当在 取等号） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 对称轮换式 • 构造单调性同构 一、24年天津高考导数构造单调性同构 二、对称轮换式同构 三、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 2、指对同构常用恒等式 3、指对同构找外函数三种方式 （1）对于积型： （2）对于商型： （3）对于和差型： 4、隐蔽性指对同构 5、指对同构常见10种外函数图像 四、朗博不等式型 1、朗博不等式 2、拓展的一些不等式 五、对称轮换式构造单调性同构模考题 一、24年天津高考导数构造单调性同构 【2024年天津高考T20】 设函数 . （1） 求 图像上点 处切线方程； （2） 若 在 时恒成立，求 的取值范围； （3） 若 ，证明： 解析： （1） （2） （3） 二、对称轮换式同构 这种同构多见于双变量中，并且两个变量在等式或不等式中地位等价。例如，对于不等式 ，将 、交换位置（轮换）后不改变原不等式，即 . 另外，这两个变量不能含有隐藏等式关系，虽然要证明的式子是对称结构 ，但是因为 并不是毫无关联的，它们都是方程 的根，通过方程联系起来。如果通过构造单调性证明，就相当于忽略了这个条件，很有可能证明失败。 这种同构形式主要有两种常见模型， （1） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。（2） 为增函数；当原不等式符号相反时，增函数变为减函数即可。 对于含有地位等价的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解。 三、指对同构型 1、指对同构基础恒等式 指对同构的基础是高中刚开始时，指数函数与对数函数中的两个恒等式： 当 且 时， 其中， 时，便是指对同构中两个最常用的指对恒等式：， 2、指对同构常用恒等式 下面再归纳一下常用于指对同构，变形转化用的恒等式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 3、指对同构找外函数三种方式 指对同构找外函数三种方式，左同构、右同构、取对数 （1）对于积型： ① 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ② 式（1）外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： ③ 式（1）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（1）可写为： （2）对于商型： ① 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ② 式（2）外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： ③ 式（2）取对数后有： ，外函数为 ，内函数为 ，式（2）可写为： （3）对于和差型： ① 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： ② 式（3）外函数为 ，内函数为 ，式（3）可写为： 4、隐蔽性指对同构 对于隐蔽性指对同构，需要补因式，例如， （1） 对于 ，两边需同乘以 ，转化为积型 （2） 对于 两边需同加上 ，转化为和型 ， （3） 反函数型 5、指对同构常见10种外函数图像 ( 第 1 页 共 4 页 ) （1） ，过定点 （2） ，极大值点 （3） ，极大值点 （4） ，极小值点 （5） ，极小值点 （6） ，极小值点 （7） ，过定点 （8） ，极小值点 （9） ，极小值点 （10） ，极大值点 四、朗博不等式型 1、朗博不等式 朗博不等式： （ 处取等） 此不等式是结合指对恒等式与常见放缩不等式复合而来的，即上小节中的指对恒等式 （1） 与上一期中的常见放缩不等式 2、拓展的一些不等式 基于朗博不等构造过程拓展的一些不等式 （1） （由于 ，所以不等式取不到等号） （2） （由于 ，所以不等式取不到等号） （3） （仅当 时取等号） （4） （仅当 时取等号） （5） （仅当 时取等号） （6） （由于 ，所以不等式取不到等号） （7） （仅当 时取等号） （8） （仅当 时取等号） （9） （由于 ，所以不等式取不到等号） （10） （仅当 时取等号） （11） （仅当 时取等号） …… 注：这种不等式还可以构造很多，基本构型都是指对恒等式+常见放缩不等式 五、对称轮换式构造单调性同构模考题 【24届高三湖北十一校一联T16】 对 ，当 时 ，则 的范围为____ . 解析： 【24届 T8 联考 T22】 已知函数 ， ， ， 的导函数记为 ， 为自然对数的底数，约为 . （1） 判断函数 的零点个数； （2） 设 是函数 的一个零点， 是函数 的一个极值点，证明： （i） （ii） 解析： （1） （2） （i） （ii） 此外，第 （2） ② 中， 可以利用放缩不等式 、 （都在 取等号） 直接看出 ，即 （仅当在 取等号） 学科网（北京）股份有限公司 $$