精品解析：天津市部分区2024-2025学年高一下学期7月期末练习数学试题

天津市部分区2024~2025学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分. 参考公式： ·锥体的体积公式. ·球的表面积公式，其中R表示球的半径. ·一组数据的平均数为，它的方差为. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故选；B 2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 3. 在中，A为直角，，若用斜二测画法画出其水平放置的平面图形的直观图，则其直观图的面积是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法特征，即x轴保持不变，y轴缩短为原来的且与x轴成角，其坐标变换矩阵行列式为，因此直观图面积为原面积的，求原面积即可求出直观图面积. 【详解】原为等腰直角三角形，直角边，面积为： . 斜二测画法坐标变换矩阵行列式为，因此直观图面积为原面积的， . 故选：D. 4. 已知，记的相反向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 5. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差、标准差定义计算可得结果. 【详解】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误； 平均数为，因此B错误； 方差为；即C正确； 标准差为，即D错误. 故选：C 6. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合多面体与旋转体的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，例如：正四棱柱中，相对的两个侧面互相平行，所以A不正确； 对于B中，根据棱台的定义，用平行于棱锥底面的平面截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以B不正确； 对于C中，根据棱锥的定义，三棱锥是由一个底面和3个侧面组成，所以一个多面体有5个面，一定不是三棱锥，所以C错误； 对于D中，根据圆锥的定义，可得以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴， 其余两边旋转一周形成面所围成的旋转体是圆锥，所以D正确. 故选： 7. 已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，设甲同学解出该题的概率为，乙同学解出该题的概率为．若甲、乙两同学解出该题与否互不影响，则恰有一人解出该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲解出为事件，乙解出为事件，求出和即可求解. 【详解】设甲解出为事件，乙解出为事件，所以，， 所以甲解出且乙未解出为，乙解出且甲未解出为， 所以恰有一人解出该题的概率为. 故选：C. 8. 已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由面面、线面位置关系即可逐一判断各个选项. 【详解】选项A：若，则平面与平面可能垂直，例如平面直角坐标系的三个面，故选项A错误； 选项B：若，则或，若，则可能出现，故选项B错误； 选项C：垂直于同一平面的两直线平行，故选项C正确； 选项D：若，则，故选项D错误； 故选：D. 9. 记面积的为S，若，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及三角形面积公式求解. 【详解】依题意，，， 则，故， 而，所以. 故选：A. 10. 如图，空间几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若，且所有顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先找出球心位置，再根据勾股定理求出球的半径，最后根据球的表面积公式求解. 【详解】设球心为，底面正方形中心为,上底面正方形中心为， 几何体上下底面平行且所有顶点在同一球面上，所以球心在直线上. 已知，则底面正方形对角线长为，所以. 上底面正方形边长为，其对角线为2，则. 设，则，又， 根据勾股定理，在直角三角形中，为球的半径）， 在直角梯形中，，，，根据勾股定理可得, 联立可得：，解得，代入可得 所以球的表面积. 故选：B. 第II卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 11. 事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由对立事件概率公式，因为事件A与事件B为对立事件， 所以， 故答案为： 12. 已知向量，若存在实数，满足，则实数m的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据得到方程组，求出答案. 【详解】，所以，解得. 故答案：8 13. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可. 【详解】由余弦定理得，代入得， 计算得； 故答案为： 14. 在三棱锥中，平面，是边长为1的等边三角形，且，则点到平面的距离为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出各边长，可得的面积，利用等体积法计算三棱锥的体积即可得解. 【详解】 如图，由题意，， 且平面，平面，所以, 则. 取中点，连接，则，且， 所以，. 设点到平面的距离为， 因为，即，解得. 故答案为：. 15. 在中，，则_______；若，点E在线段BD上，则的最大值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用数量积的定义以及运算律运算可得，根据题意设，利用向量的线性运算结合数量积的运算律可得，利用二次函数性质可求得最大值. 【详解】 如图，， 则， 解得. 设，则,， 所以 , 因为，， 所以， 又因为，所以时，为最大值. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z的共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可； （2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可； （3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以共轭复数 【小问2详解】 ， 因为复数z是纯虚数，所以， 解得， 所以； 【小问3详解】 因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 即，所以 所以，实数m的取值范围是. 17. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． （1）用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果； （2）求事件的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）设6支圆珠笔标号为，列出所有的6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个的样本点构成样本空间即可； （2）列出事件的样本空间，根据古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 设6支圆珠笔标号为， 从这6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有： ， ， 共30种． 【小问2详解】 事件“两支都是一等品” 所有可能结果有：共6种， 所以． 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支都是一等品概率为． 事件 “含有三等品” 所有可能结果有：，共10种， 所以， 即从6支圆珠笔中，随机抽取两支含有三等品概率． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求B的大小； （2）若，求a，c的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合题意，由余弦定理计算可得； （2）由正弦定理角化边和余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得：， 又因中，， 所以，． 【小问2详解】 由及正弦定理得 又因为及余弦定理得， ，，解得， 所以． 19. 天津在“五一”期间组织了假日文旅活动，涵盖精品演出、主题活动、文化旅游区活动等，吸引了数以万计的游客．为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式随机调查游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分，得分均在内）按分成5组，整理得到如下频率分布直方图． （1）求x的值和第78百分位数； （2）从得分在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取50人，则这两组分别抽取多少人； （3）若此样本数据特征能反应总体特征，试估计游客满意度的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） 【答案】（1），第78百分位数为85分． （2）30人，20人． （3）74.6 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组数据频率之和为1求，根据百分位数的定义和公式求解第78百分位数. （2）先根据频率比确定抽样比，然后求出分层抽样的人数. （3）根据频率分布直方图和平均数的公式求出平均成绩. 小问1详解】 由频率分布直方图得． 解得 得分低于80分的频率为0.68，得分低于90分的频率为0.88， 设第78百分位数为t，则t在中， ，解得，即第78百分位数为85分． 【小问2详解】 得分在的频率为 得分在的频率为 设在和按照分层随机抽样分别抽取x人，y人 按照分层随机抽样 又因为 得 在和按照分层随机抽样分别抽取30人，20人． 【小问3详解】 平均成绩为： ． 20. 如图，在多面体PABCD中，平面ABC，平面平面PBC，且，M为BD的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面PAB； （3）若，求直线AC和平面PBC所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）取BC中点N，由中位线得到线线平行，得到四边形PANM为平行四边形，因此，所以平面ABC. （2）作于E，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （3）由（2）中信息，得到线面垂直，为AC和平面PBC所成的角，求出各边长，利用定义法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 取BC中点N，连接MN，AN，由M为BD的中点，得， 而，则，四边形PANM为平行四边形， 因此， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC. 【小问2详解】 在平面PAB内过作于E， 由平面平面PBC，平面平面，平面， 得平面PBC，而平面PBC，则， 由平面ABC，平面ABC，得， 又，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB. 【小问3详解】 由（2）知，平面PBC，则EC为斜线AC在平面PBC上的射影， 为AC和平面PBC所成的角， 在中，，由勾股定理得， ，在中，，， 所以直线AC和平面PBC所成的角的正弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市部分区2024~2025学年度第二学期期末练习 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共10小题，每小题4分，共40分. 参考公式： ·锥体的体积公式. ·球的表面积公式，其中R表示球的半径. ·一组数据的平均数为，它的方差为. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，复数（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，A为直角，，若用斜二测画法画出其水平放置的平面图形的直观图，则其直观图的面积是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知，记的相反向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 6. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若一个多面体共有5个面，则这个多面体可能是三棱锥 D. 以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 7. 已知甲、乙两名同学在限定时间内解答同一道数学难题，设甲同学解出该题的概率为，乙同学解出该题的概率为．若甲、乙两同学解出该题与否互不影响，则恰有一人解出该题的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 记面积的为S，若，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，空间几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转，连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点．若，且所有顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 11. 事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 12. 已知向量，若存在实数，满足，则实数m的值为_______． 13. 在中，若，则_______． 14. 在三棱锥中，平面，是边长为1的等边三角形，且，则点到平面的距离为_______． 15. 在中，，则_______；若，点E在线段BD上，则最大值为_______． 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知i是虚数单位，复数． （1）当时，求z共轭复数； （2）若z是纯虚数，求m的值： （3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 17. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品（标号为），2支二等品（标号为），1支三等品（标号为），若从中不放回地依次随机抽取2支．设事件“两支都是一等品”， “含有三等品”． （1）用圆珠笔标号列出所有可能的抽取结果； （2）求事件的概率． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求B的大小； （2）若，求a，c的值． 19. 天津在“五一”期间组织了假日文旅活动，涵盖精品演出、主题活动、文化旅游区活动等，吸引了数以万计的游客．为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组采用问卷调查的方式随机调查游客，并将收集到的满意度得分数据（满分100分，得分均在内）按分成5组，整理得到如下频率分布直方图． （1）求x的值和第78百分位数； （2）从得分在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取50人，则这两组分别抽取多少人； （3）若此样本数据特征能反应总体特征，试估计游客满意度的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替） 20. 如图，在多面体PABCD中，平面ABC，平面平面PBC，且，M为BD的中点． （1）求证：平面ABC； （2）求证：平面PAB； （3）若，求直线AC和平面PBC所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$