24.1.4 圆周角(1)—— 圆周角定理及其推论 课件 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 第4课 圆周角(1)—— 圆周角定理及其推论 　　知识点1 圆周角的定义 　　1． 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　如图， 所对的圆心角是∠AOB， 所对的圆周角是 ∠ACB， ⁠． ∠ADB 　　2． 下列各图中，∠A是圆周角的是(　A　) A 　　知识点2 圆周角定理 　　3． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 ⁠的 一半． 圆心角 　　4． 【例1】 (北师九下P80随堂练习T1改编)如图，根据条件求∠A的 度数． 　　(1)∠A＝ ⁠； 　　(2)∠A＝ ⁠； 　　(3)∠A＝ ⁠． 15° 65° 40° 　　5． 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°. 　　(1)∠BOC的度数为 ⁠； 　　(2)∠OBC的度数为 ⁠． 100° 40° 　　知识点3 圆周角定理的推论 　　6． 圆周角定理的推论 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ⁠． 　　推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对 的弦是 ⁠． 相等 直角 直径 　　7． 【例2】 (广东中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°， 则∠D＝(　B　) A． 20° B． 40° C． 50° D． 80° B 　　8． 如图，点A，B，C，D在⊙O上． 　　(1)若∠ACD＝50°，则∠ABD＝ °； 　　(2)若 ＝ ，∠CAD＝30°，则∠BDC＝ ⁠°. 50 30 　　9． 【例3】(人教九上P87【例4】)如图，⊙O的直径AB为10 cm， 弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长． 　　解：如图，连接OD. 　　∵AB是直径， 　　∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 　　在Rt△ABC中， 　　BC＝ ＝8(cm)． 　　∵CD平分∠ACB， 　　∴∠ACD＝∠BCD. 　　∴∠AOD＝∠BOD. ∴AD＝BD. 　　在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，即2AD2＝AB2. 　　∴AD＝BD＝ AB＝ ×10＝5 (cm)． 　　10． 如图，点A，P，B，C是⊙O上的四个点，且∠APC＝ ∠CPB＝60°. 　　(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； 　　解：(1)△ABC是等边三角形． 　　证明如下：由圆周角定理，得∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝ ∠CPB＝60°. 　　∴∠ACB＝60°. 　　∴△ABC是等边三角形． 　　(2)若⊙O的半径为2，求AB的长． 　　(2)如图，连接BO，过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝ ∠BOC＝∠BAC＝60°，BC＝2BD. 　　∴∠OBD＝30°. 　　∴OD＝ OB＝1，BD＝ . 　　∴BC＝2BD＝2 . 　　∴AB＝2 . 　　1． (人教九上P88练习T2改编)如图，点A，B，C，D是⊙O上的 点，则图中与∠A相等的角是(　D　) A． ∠B B． ∠C C． ∠DEB D． ∠D D 　　2． 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°， 则∠A＝ ⁠°. 33 　　3． (2024泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA 平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　A　) A． 65° B． 55° C． 50° D． 75° A 　　4． 如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两 直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆 玻璃镜的半径是 cm． 5 　　5． 新考向 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少 需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 ⁠台． 4 　　6． 如图，AB为⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为点E，∠A＝ 30°，连接OD. 　　(1)求∠DOE的度数； 　　解：(1)如图，连接CO. 　　由圆周角定理，得∠COB＝2∠A＝60°，即∠COE＝60°. 　　∵AB⊥CD，∴ . 　　∴∠DOE＝∠COE＝60°. 　　(2)若BE＝2，求⊙O的半径． 　　(2)∵∠DOE＝60°，AB⊥CD， 　　∴∠ODE＝30°.∴OE＝ OD. 　　∵OB＝OD，∴BE＝ OD. 　　∵BE＝2，∴OD＝4，即⊙O的半径为4. $$