精品解析：贵州省贵阳市第九中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

贵阳市第九中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式不等式与对数不等式分别求解集合，再求交集即可. 【详解】 ， 所以. 故选：C 2. 我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ） A. 21.55% B. 21.65% C. 21.4% D. 21.7% 【答案】A 【解析】 【分析】把给定的数据由小到大排列，再利用百分位数的定义求解即得. 【详解】将这组数据从小到大排列为10.3%，12.6%，12.7%，16.4%，18.1%，21.4%，21.7%，29.1%. 因为，所以这组数据的75%分位数为. 故选：A 3. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 4. 已知正项等比数列的前项的和为，满足，则公比（ ） A. 1或3 B. C. 1或 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由给定等式结合等比数列通项、前n项和列出方程求解即得. 【详解】正项等比数列的公比， 由，得，整理得，即， 所以，（负值舍）. 故选：D 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像变换可得，结合对称轴与最值之间的关系分析判断. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 对于选项A：，不是最值， 所以不为对称轴，故A错误； 对于选项B：，是最大值， 所以为对称轴，故B正确； 对于选项C：，不是最值， 所以不为对称轴，故C错误； 对于选项D：，不是最值， 所以不为对称轴，故D错误； 故选：B. 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体中的线面关系可说明选项A、B、C错误；利用空间向量可说明选项D正确. 【详解】 如图，在正方体中分析选项A、B、C. A.平面，平面，平面平面，但，A错误. B.，平面，但平面，B错误. C.平面平面，平面，，但平面，C错误. D.取直线的方向向量，直线的方向向量， ∵，，∴分别为平面的法向量， ∵，∴，∴，选项D正确. 故选：D. 7. 已知抛物线的焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线标准方程可得焦点坐标，可求得的值. 【详解】根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为， 即，可得. 故选：C 8. 已知函数，则在处切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，则， 所以，又， 所以在处的切线方程为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. 的虚部为8 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D. 【详解】，故，A错误. ，B正确. ，C正确. 在复平面内对应的点位于第四象限，D错误. 故选：BC 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11. 椭圆C：左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，则______． A. 椭圆C的离心率为 B. 的最大值为3 C. 最大值为 D. 到直线的距离最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故A正确； 对于B，当点P位于椭圆C的右端点时，取得最大值为3，故B正确； 对于C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，取得最大值，故C错误； 对于D，当时，到直线的距离取得最大值2，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算得解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：3 13. 设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出. 【详解】由已知，所以. 则. 故答案为：. 14. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种． 【答案】48 【解析】 【分析】利用分步计数原理求不同的固定方式数. 【详解】先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上的，有种方法； 再随意拧第三个螺丝，和其对角线上的，有种方法； 然后随意拧第五个螺丝，和其对角线上的，有种方法. 共有不同的固定方式有种， 故答案为：48 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角； （2）根据条件结合余弦定理计算边，再代入面积公式计算即可. 小问1详解】 因为中，， 由正弦定理可得， 得， 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， 因为，，所以，所以， 因为，所以，， 所以的面积为. 16. 有研究显示，人体内某部位的直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测． （1）求患者甲检查结果为阴性的概率； （2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）； （3）医院为每位参加该项检查且检测结果为阴性的患者缴纳200元保险费，对于在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该保险的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益． 【答案】（1）0.8486 （2）0.00035 （3）13万元 【解析】 【分析】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，利用求解； （2）先求出，再利用得解； （3）设获得20万元赔付有X人，利用二项分布求出，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，求出即得解． 【小问1详解】 记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性， 依题意有，，，，，， 则， 所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486． 【小问2详解】 ， ． 所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035． 【小问3详解】 记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人， 则，则， 记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元， ， 则， 所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元． 17. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，然后由线线平行可得线面平行； （2）取的中点，连接，根据已知可得平面，过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 过点作直线的垂线交于点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为直径，所以， 所以，，， 在等腰梯形中，，， 所以， 所以， 所以，， ，， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程. （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，使得以线段为直径的圆恒过点 【解析】 【分析】（1）由渐近线夹角得或，结合双曲线所过点可求得，由此可得双曲线方程； （2）假设存在点满足题意，可知；假设直线方程，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，结合向量数量积的坐标运算可化简整理，根据等式恒成立的求解方法可得的值. 【小问1详解】 两条渐近线的夹角为，渐近线的斜率或，即或； 当时，由得：，，双曲线的方程为：； 当时，方程无解； 综上所述：双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由题意得：， 假设存在定点满足题意，则恒成立； 方法一：①当直线斜率存在时，设，，， 由得：，， ，， ， ， 整理可得：， 由得：； 当时，恒成立； ②当直线斜率不存在时，，则，， 当时，，，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 方法二：①当直线斜率为时，，则，， ，，， ，解得：； ②当直线斜率不为时，设，，， 由得：，， ，， ； 当，即时，成立； 综上所述：存在，使得以线段为直径的圆恒过点. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理整理； ④由所得等式恒成立可整理得到定点. 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）设，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，构造函数，然后利用导数求出其最小值即可； （2）由（1）得在上恒成立，当且仅当时，等号成立，令，则可得，再利用累加法和放缩法可证得结论. 【小问1详解】 解：当时，等价于. 令，则. 令，则. 当时，单调递增，则， 从而在上恒成立，则在上单调递增， 故，所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 证明：令，由（1）可得，在上恒成立，当且仅当时，等号成立. 令，则，则，即. 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是令结合（1）得，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市第九中学2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 我国2024年4月至11月太阳能发电量同比增长速度依次为21.4%，29.1%，18.1%，16.4%，21.7%，12.7%，12.6%，10.3%，则这组数据的75%分位数为（ ） A 21.55% B. 21.65% C. 21.4% D. 21.7% 3. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知正项等比数列的前项的和为，满足，则公比（ ） A. 1或3 B. C. 1或 D. 1 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知抛物线的焦点为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. 的虚部为8 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 11. 椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，则______． A. 椭圆C的离心率为 B. 的最大值为3 C. 的最大值为 D. 到直线的距离最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 13. 设等差数列前项和为，若，则__________. 14. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 有研究显示，人体内某部位直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测． （1）求患者甲检查结果为阴性的概率； （2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）； （3）医院为每位参加该项检查且检测结果为阴性的患者缴纳200元保险费，对于在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该保险的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益． 17. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. （1）求双曲线的方程. （2）若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$