21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第7课时：一元二次方程的根与系数的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.其成立的前提条件是a≠0且b2－4ac≥0. ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：一元二次方程根与系数的关系 【例1】下列方程的两根分别为x1，x2，不解方程，根据根与系数的关系填写下表： 一元二次方程 x1＋x2 x1x2 x2－3x＝0 3 0 x2－x－5＝0 1 －5 2x2＋7x－6＝0 － －3 　　　　　　　　　　　　　 知识点2：利用根与系数的关系求代数式的值 【例2】若方程x2－4x＋2＝0的两个根分别为x1，x2.求： (1)xx2＋x1x；　(2) x＋x. 解：由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝2. (1)xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝2×4＝8. (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝42－2×2＝12. 知识点3：判别式与根与系数关系的综合 【例3】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且x＋x＝12，求m的值. 解：(1)根据题意，得 Δ＝(2m)2－4(m2＋m)＞0. 解得m＜0. (2)∵x1，x2是该方程的两个实数根， ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m. ∵x＋x＝12，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝12. ∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12. ∴解得m1＝－2，m2＝3. 又∵m<0，∴m的值是－2., 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一元二次方程的两个根之和为，则这个一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，根据两个根之和为利用根与系数的关系对各选项进行判断即可． 【解答】 解：．，两根之和为，故此选项符合题意； B.，两根之和为，故此选项不符合题意； C.，两根之和为，故此选项不符合题意； D.，两根之和为，故此选项不符合题意． 故选A． 2.关于的一元二次方程的两个根分别是，，则，的值为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  3.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  4.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  5.已知，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，原式故选A． 二、填空题： 6.已知，是关于的方程的两个实数根，则           ． 【答案】  7.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【解答】 解：，是方程的两个实数根， ，， 即， 则 ． 故答案为． 8.已知一元二次方程的两根为与，则的值为           ． 【答案】  【解析】解：一元二次方程整理得，， 根据题意得，， 所以原式． 故答案为：． 根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 9.已知一元二次方程的一个根是，则另一个根为          ，          ． 【答案】 10.设，是方程的两个实数根，则的值为          ． 【答案】  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． ． 【答案】解：设方程两根为，， ，． 设方程两根为，， ，；   【解析】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握，是方程的两根时，，． 由一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出答案． 由一元二次方程，根据根与系数的关系即可得出答案． 12.已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． ． 【答案】解：根据根与系数的关系得，． 原式； 原式． 原式．  【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先利用根与系数的关系得到，． 利用因式分解法变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算； 利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 直接利用完全平方公式得出结果． 13.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值． 【答案】解：由题意得： 解得： 当时，方程为：， 判别式为：，符合题意．   【解析】【分析】若一元二次方程的两个根为，则． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可． 14.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)解：由题意可得Δ＝(2m)2-4(m2+m)≥0，解得m≤0；  (2)由，得(x1+x2)2-2x1x2＝12，∵x1+x2＝-2m，x1x2＝m2+m，∴(-2m)2-2(m2+m)＝12，解得m＝3或m＝-2，∵m≤0，∴m＝-2．  15.已知关于的方程． 求证：此方程有两个不相等的实数根； 设此方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】(1)证明：根据题意，可知， ∴方程有两个不相等的实数根．   (2)解：由题意，得， ∴， 解得． 【解析】 根据根的判别式即可验证．  利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 16.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； 由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值． 17.已知关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵Δ＝[-(2m+1)]2-4(m-2)＝4m2+9＞0，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．  (2)解：由根与系数的关系，得x1+x2＝2m+1，x1x2＝m-2．∴x1+x2+3x1x2＝2m+1+3(m-2)＝1．  解得．  18.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 【答案】(1)解：Δ＝36-4(2m+1)≥0，解得m≤4．  (2)2x1x2+x1+x2＝2(2m+1)+6≥20，解得m≥3．  又m≤4，∴3≤m≤4．  19.已知关于的一元二次方程． 试说明不论实数取何值，方程总有实数根； 如果当时，、为方程的两个根，求的值． 【答案】解：， ， 不论实数取何值，方程总有实数根； 当时，其方程为， 、为方程的两个根， ，， ．  【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 计算其判别式，判断出其符号即可； 当时，其方程为，利用方程根的定义和根与系数的关系可求得，，代入求值即可． 20.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－（2k－3）]2－4（k2＋1）＝4k2－12k＋9－4k2－4＝－12k＋5>0，解得．  (2)∵，∴ x1＋x2＝2k－3<0．又∵x1·x2＝k2＋1>0，∴x1<0，x2<0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－（x1＋x2）＝－2k＋3．∵|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，∴－2k＋3＝2k2＋2－3，即k2＋k－2＝0，∴k1＝1，k2＝－2．又∵，∴ k＝－2．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025-2026学年度第一学期九上数学暑假预习课 第21章第7课时：一元二次方程的根与系数的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.其成立的前提条件是a≠0且b2－4ac≥0. ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：一元二次方程根与系数的关系 【例1】下列方程的两根分别为x1，x2，不解方程，根据根与系数的关系填写下表： 一元二次方程 x1＋x2 x1x2 x2－3x＝0 x2－x－5＝0 2x2＋7x－6＝0 　　　　　　　　　　　　　 知识点2：利用根与系数的关系求代数式的值 【例2】若方程x2－4x＋2＝0的两个根分别为x1，x2.求： (1)xx2＋x1x；　(2) x＋x. 知识点3：判别式与根与系数关系的综合 【例3】已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且x＋x＝12，求m的值. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一元二次方程的两个根之和为，则这个一元二次方程是(    ) A. B. C. D. 2.关于的一元二次方程的两个根分别是，，则，的值为  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 4.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.已知，是方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.已知，是关于的方程的两个实数根，则           ． 7.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于          ． 8.已知一元二次方程的两根为与，则的值为           ． 9.已知一元二次方程的一个根是，则另一个根为          ，          ． 10.设，是方程的两个实数根，则的值为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． ． 12.已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． ． 13.已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值． 14.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 15.已知关于的方程． 求证：此方程有两个不相等的实数根； 设此方程的两个根分别为，若，求的值． 16.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 17.已知关于的一元二次方程． 求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 19.已知关于的一元二次方程． 试说明不论实数取何值，方程总有实数根； 如果当时，、为方程的两个根，求的值． 20.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$