3.1圆、圆形的旋转 讲义 2025-2026学年浙教版初中数学九年级上册

3.1-3.2圆、圆形的旋转 考点一、圆的基础概念 【知识梳理】 1.圆的定义 在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆． 定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要确定一个圆，必须确定圆的圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2.圆的有关概念 (1)连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦是直径。 直径等于半径的2倍． (2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧, 劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，如右图中的劣弧BC记 O 做BC (⌒)，读做“弧BC”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用符号“⌒”和三 个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如右图优弧BAC，记做BAC (⌒)，读做“弧BAC”． (3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆． 圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。 【例题精讲】 1．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误； ②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确； ③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确． 其中错误说法的是①③两个． 故选：B． 2．下列语句中，不正确的个数是（　　） ①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确； ②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误； ③根据等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧．长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误； ④如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，故错误． 故选：C． 【巩固练习】　 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：（1）长度相等的弧是等弧，错误； （2）半径相等的圆是等圆，正确； （3）等弧能够重合，正确； （4）半径是圆中最长的弦，错误； 2．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于　　． 解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故答案为：半径． 【考点2：点与圆的位置关系】 点与圆的位置关系 一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有： d<rP在圆内； d=rP在圆上； d>rP在圆外． 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合要求的点B的坐标　　． 解：连结OA， OA==5， ∵B为⊙O内一点， ∴符合要求的点B的坐标（0，0）答案不唯一． 故答案为：（0，0）答案不唯一． 2.⊙O的直径为10厘米，同一平面内，若点P与圆心O的距离为5厘米，则点P与⊙O的位置关系是　　． 解：∵d=5=r， ∴点P与⊙O的位置关系是点P的⊙O上， 故答案为点P在⊙O上． 【巩固练习】　 1．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A　　；点C在⊙A　　；点D在⊙A　　． 解：∵正方形ABCD的边长为2cm，A为圆心，2cm为半径； 则AB=AD=2cm，AC=2＞2， ∴点B在圆上，C点在圆外，D点在圆上． 2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为　　． 解：∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB=∠PBC ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3， ∴OC==5， ∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 【考点3：确定圆的条件】 确定圆的条件 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 寻找圆心：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。 .1.讨论：为什么一定要三个点确定一个圆？ （1）：经过一个已知点A能作多少个圆? 结论：经过一个已知点A能作无数个圆! (2)：经过两个已知点A,B能作多少个圆？ 结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆! 讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？ 结论：这些圆心的连线是一条直线 讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？ 结论：这条直线可以确定，这条直线就是线段AB的中垂线. (3)：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？ 讨论1：怎样找到这个圆的圆心？ 讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？ 为什么？即OA=OB=OC. 如图，点A、B、C不在同一条直线上，则经过点A、B、C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上；经过点B、C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，并且这两条垂直平分线一定相交.设交点为O，则OA=OB=OC.所以，以点O为圆心，线段OA为半径作圆，便可得到一个经过A、B、C三点的圆，并且只能作一个圆. 结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【例题精讲】 1．下列命题正确的个数有（　　） ①过两点可以作无数个圆； ②经过三点一定可以作圆； ③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆； ④任意一个圆有且只有一个内接三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①过两点可以作无数个圆，正确； ②经过三点一定可以作圆，错误； ③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确； ④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误， 正确的有2个， 故选：B． 【巩固练习】 2．下列命题错误的是（　　） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 解：A、在同一平面上但不在同一条直线上的三点确定一个圆，故选项错误； B、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等，故选项正确； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项正确； D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，故选项正确． 故选：A． 【考点4：三角形的外接圆、外心】 三角形的外接圆与外心 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：C． 【巩固练习】 1．三角形的外心是这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的中垂线的交点 D．三条高的交点 解：A、三条中线的交点叫重心，所以选项A不正确； B、三条角平分线的交点叫内心，是三角形内切圆的圆心，所以选项B不正确； C、三边的中垂线的交点叫外心，是三角形外接圆的圆心，所以选项C正确； D、三条高的交点叫垂心，所以选项D不正确； 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为　　． 解：如图， ∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）． ∴PA=PB==， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为：（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【考点5：旋转】 旋转的定义 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上所有的点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个固定的点叫做旋转中心。 旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B、C的坐标分别为点B（﹣3，1）、C（0，﹣1），若将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，则点B对应点B1的坐标是（　　） A．（3，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，0） 解：如图所示，△A1B1C即为旋转后的三角形，点B对应点B1的坐标为（2，2）． 故选：B． 【巩固练习】 2．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是=72度． 故选：C． 3．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（　　） A．70° B．80° C．84° D．86° 解：由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°． ∵AB=AB1，∠BAB1=100°， ∴∠B=∠BB1A=40°． ∴∠AB1C1=40°． ∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°． 故选：B． 【课堂检测】 A组--基础训练 1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 解：连结OD，如图， ∵OB=DE，OB=OD， ∴DO=DE， ∴∠E=∠DOE， ∵∠1=∠DOE+∠E， ∴∠1=2∠E， 而OC=OD， ∴∠C=∠1， ∴∠C=2∠E， ∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E， ∴∠E=∠AOC=×84°=28°． 故选：B． 2．下列条件中，能确定圆的是（　　） A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径 C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径 解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴D选项正确， 故选：D． 3．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　） A． B． C．2 D． 解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：A． 4．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．无法确定 解：由旋转的性质，得 BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°． 在Rt△PBP′中，由勾股定理，得 PP′===3， 故选：B． 5．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为　　． 解：P在⊙O内，直径为8+2=10，半径为5， P在⊙O外，直径为8﹣2=6，半径为3， 故答案为：3或5． 6．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，3为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为：点C在圆A　　． 解：由勾股定理得：AC==3， ∵AC=3， ∴点C与⊙A的位置关系是点C在⊙A上， 故答案为上． B组--巩固训练 1．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 故选：A． 2．下列说法正确的是（　　） A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线 C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 解：A、根据两点确定一条直线可知说法错误； B、两点可以确定两条直线，故说法错误； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故说法错误； D、正确； 故选：D． 3．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　） A．1个或3个 B．3个或4个 C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个 解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故选：C． 4．在△ABC中，AB=AC，BC=6，已知⊙O是△ABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB是长为（　　） A． B．3 C．或3 D．或2 解：如图1所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O， ∵AB=AC，BC=6，⊙O的半径为5， ∴BO=5，BD=DC=3， ∴DO==4， ∴AD=5+4=9，∴AB===3， 如图2所示：过点A作AE⊥BC于点D，则AE必过点O， ∵AB=AC，BC=6，⊙O的半径为5， ∴BO=5，BD=DC=3， ∴DO==4， ∴AD=5﹣4=1， ∴AB===， 故AB的长为3或． 故选：C． 5．如图，若将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°，则顶点C对应点C1的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4） 解：如图，将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°，点C1的坐标为（﹣2，4）， 故选：B． 6．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到△DBE，若DE∥AB，则α为（　　） A．50° B．70° C．80° D．90° 解：∵△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到△DBE， ∴∠E=∠C=30°，∠EBC=α， ∵DE∥AB， ∴∠EBA=∠E=30°， ∴α=∠EBA+∠ABC=30°+40°=70°． 故选：B． 7．P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的半径为　　． 解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的直径是15﹣3=12，因而半径是6． 8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是　　． 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=， ∴AB==4． ∵CD⊥AB， ∴CD=． ∵AD•BD=CD2， 设AD=x，BD=4﹣x． 解得x= ∴点A在圆外，点B在圆内， r的范围是， 故答案为：． C组--提升训练 1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（　　） A．a=b B．a＜b C．a＞b D．不能确定 解：设小明走的半圆的半径是R．则小明所走的路程是：πR． 设小红所走的两个半圆的半径分别是：r1与r2，则r1+r2=R．小红所走的路程是：πr1+πr2=π（r1+r2）=πR．因而a=b． 故选：A． 2．下列说法正确的有几个（　　） ①经过三个点一定可以作圆；　 ②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；　 ③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；　　 ④垂直于弦的直径必平分弦； ⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆． A．3 B．2 C．1 D．0 解：①经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故①错误； ②任意一个圆一定有内接三角形，一个圆有无数个内接三角形，故②错误； ③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆，故③正确； ④垂直于弦（不过圆心的弦）的直径必平分弦，故④错误； ⑤经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，故⑤错误； 故选：C． 3．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲） 作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙） 连接、，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 解：甲，∵=， ∴△DEC为等腰三角形， ∴L为之中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心． 乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°， ∴、为此圆直径， ∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确． 故选：A． 4．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　） A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，） 解：∵⊙P经过点A、B、C， ∴点P在线段AB的垂直平分线上， ∴点P的横坐标为4， 设点P的坐标为（4，y）， 作PE⊥OB于E，PF⊥OC与F， 由题意得， =， 解得，y=， 故选：C． 5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°﹣20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选：C． 6．如图所示，1条直线最多能将圆的内部分成2部分，2条直线最多能将圆的内部分成4部分．那么3条直线最多能将圆的内部分成　　部分，5条直线最多能将圆的内部分成　　部分．（每部分不要求全等） 解：3条直线最多能将圆的内部分成4+3=7部分； 4条直线最多能将圆的内部分成7+4=11条； 5条直线最多能将圆的内部分成11+5=16条． n条直线最多能将圆的内部分成（n2）部分． 【课后巩固】 1．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定 解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形， ∴AB=OP=半径， 当P点在上移动时，半径一定，所以AB长度不变， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（　　） A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0） 解：如图，连结AC，CB． 依相交弦定理的推论可得：OC2=OA•OB， 即OC2=1×3=3， 解得：OC=或﹣（负数舍去）， 故C点的坐标为（0，）． 故选：A． 3．△ABC的外心在三角形的外部，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 解：根据三角形的外心的位置可断定三角形的形状： 若外心在三角形的外部，则三角形是钝角三角形； 若外心在三角形的内部，则三角形是锐角三角形； 若外心在三角形的边上，则三角形是直角三角形，且这边是斜边． 故选：C． 4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．28° D．22° 解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α， ∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°， 而∠ABD=∠D′=90°， ∴∠3=180°﹣∠2=68°， ∴∠BAB′=90°﹣68°=22°， 即∠α=22°． 故选：D． 5．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（　　） A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6） 解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1， ∵P（1.2，1.4）， ∴P1（﹣2.8，﹣3.6）， ∵P1与P2关于原点对称， ∴P2（2.8，3.6）， 故选：A． 6．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为　　． 解：分别连接A与其它各格点， 由勾股定理得：AB===4， AC===3， AD==， AE===2， AF==5， AG==， AH==， AP==5， 当r=3时，有三个点在圆内：D、E、G， 当r=时，点E在圆内，点D和G在圆上， 则r的取值范围为：＜r≤3． 故答案为：＜r≤3． 　 7．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　　． 解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b， ∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0， ∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0， ∴，b﹣5=0，c﹣6=0， 解得，a=5，b=5，c=6， ∴AC=BC=5，AB=6， 作CD⊥AB于点D， 则AD=3，CD=4， 设△ABC的外接圆的半径为r， 则OC=r，OD=4﹣r，OA=r， ∴32+（4﹣r）2=r2， 解得，r=， 故答案为：． 8．已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根，则此Rt△的外接圆的面积为　　． 解：∵圆的半径r=AB， 根据两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根，可得 AC+BC=5，AC•BC=6， ∴AB2=AC2+BC2=（AC+BC）2﹣2AC•BC=13， ∴Rt△的外接圆的面积为πr2=π==． 9．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于　　． 解：当2是斜边时，则直径即是2； 当2是直角边时，则斜边是，即直径是． 所以这个圆布的直径最小应等于cm或2cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1-3.2圆、圆形的旋转 考点一、圆的基础概念 【知识梳理】 1.圆的定义 在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆． 定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要确定一个圆，必须确定圆的圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 2.圆的有关概念 (1)连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦是直径。 直径等于半径的2倍． (2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 弧用符号“⌒”表示． 小于半圆的弧叫做劣弧,劣弧用符号“⌒”和弧两端的字母表示，如右图中的劣弧BC记做BC (⌒)，读做“弧BC”； 大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用符号“⌒”和三个字母表示（弧两端的字母和弧中间的字母），如右图优弧BAC，记做BAC (⌒)，读做“弧BAC”． (3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆． 圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。 【例题精讲】 1．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 下列语句中，不正确的个数是（　　） ①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】　 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于　　． 考点二、点与圆的位置关系 【知识梳理】　 点与圆的位置关系 一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d<rP在圆内；d=rP在圆上；d>rP在圆外． 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，4）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合要求的点B的坐标　　． 2.⊙O的直径为10厘米，同一平面内，若点P与圆心O的距离为5厘米，则点P与⊙O的位置关系是　　． 【巩固练习】　 1．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A　　；点C在⊙A　　；点D在⊙A　　． 2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为　　． 考点三、确定圆的条件 【知识梳理】　 确定圆的条件 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 寻找圆心：画已知圆或圆弧的圆心是在圆或圆弧上先取三点,连成两条线段,再做两线段的垂直平分线,则其交点即为所求的圆心。 .1.讨论：为什么一定要三个点确定一个圆？ （1）：经过一个已知点A能作多少个圆? 结论：经过一个已知点A能作无数个圆! (2)：经过两个已知点A,B能作多少个圆？ 结论：经过两个已知点A,B能作无数个圆! 讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？ 结论：这些圆心的连线是一条直线 讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？ 结论：这条直线可以确定，这条直线就是线段AB的中垂线. (3)：经过三个已知点A、B、C能作多少个圆？ 讨论1：怎样找到这个圆的圆心？ 讨论2：这个圆的圆心到点A、B、C的距离相等吗？ 为什么？即OA=OB=OC. 如图，点A、B、C不在同一条直线上，则经过点A、B、C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上；经过点B、C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，并且这两条垂直平分线一定相交.设交点为O，则OA=OB=OC.所以，以点O为圆心，线段OA为半径作圆，便可得到一个经过A、B、C三点的圆，并且只能作一个圆. 结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 【例题精讲】 1．下列命题正确的个数有（　　） ①过两点可以作无数个圆； ②经过三点一定可以作圆； ③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆； ④任意一个圆有且只有一个内接三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】　 2．下列命题错误的是（　　） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 考点四、三角形的外接圆、外心 【知识梳理】　 三角形的外接圆与外心 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 【巩固练习】　 1．三角形的外心是这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的中垂线的交点 D．三条高的交点 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为　　． 考点五、旋转 【知识梳理】　 旋转的定义 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上所有的点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转。这个固定的点叫做旋转中心。 旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形全等。 对应点到旋转中心的距离相等。任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。 【例题精讲】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点B、C的坐标分别为点B（﹣3，1）、C（0，﹣1），若将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C，则点B对应点B1的坐标是（　　） A．（3，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（3，0） 【巩固练习】　 1．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　） A．36° B．54° C．72° D．108° 2．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（　　） A．70° B．80° C．84° D．86° 【课堂检测】　 A组--基础训练 1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 2．下列条件中，能确定圆的是（　　） A．以已知点O为圆心 B．以1cm长为半径 C．经过已知点A，且半径为2cm D．以点O为圆心，1cm为半径 3．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　） A． B． C．2 D． 4．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（　　） A．2 B．3 C．3 D．无法确定 5．已知同一平面内存在⊙O和点P，点P与⊙O上的点的最大距离为8，最小距离为2，则⊙O的半径为　　． 6．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，3为半径作圆，则点C与圆A的位置关系为：点C在圆A　　． B组--巩固训练 1．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．下列说法正确的是（　　） A．一个点可以确定一条直线 B．两个点可以确定两条直线 C．三个点可以确定一个圆 D．不在同一直线上的三点确定一个圆 3．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（　　） A．1个或3个 B．3个或4个 C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个 4．在△ABC中，AB=AC，BC=6，已知⊙O是△ABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB是长为（　　） A． B．3 C．或3 D．或2 5．如图，若将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°，则顶点C对应点C1的坐标为（　　） A．（﹣4，2） B．（﹣2，4） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4） 6．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到△DBE，若DE∥AB，则α为（　　） A．50° B．70° C．80° D．90° 7．P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为3，到圆上点的最远距离为15，则圆的半径为　　． 8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是　　． C组--提升训练 1．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（　　） A．a=b B．a＜b C．a＞b D．不能确定 2．下列说法正确的有几个（　　） ①经过三个点一定可以作圆；　 ②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；　 ③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；　　 ④垂直于弦的直径必平分弦； ⑤经过不在同一直线上的四个点一定可以作圆． A．3 B．2 C．1 D．0 3．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下： （甲） 作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求； （乙） 连接、，两线段交于一点O，则O即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　） A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，） 5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 6．如图所示，1条直线最多能将圆的内部分成2部分，2条直线最多能将圆的内部分成4部分．那么3条直线最多能将圆的内部分成　　部分，5条直线最多能将圆的内部分成　　部分．（每部分不要求全等） 【课后巩固】　 1．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（　　） A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定 2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（　　） A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0） 3．△ABC的外心在三角形的外部，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．28° D．22° 5．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（　　） A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D．（﹣3.8，﹣2.6） 6．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为　　． 　 7．已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径=　　． 8．已知Rt△ABC的两直角边AC、BC分别是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根，则此Rt△的外接圆的面积为　　． 9．小芳的衣服被一根铁钉划了一个呈直角三角形的洞，只知道该三角形有两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这个圆布的直径最小应等于　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$