导数取点卡根技巧讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 1141期 导数取点卡根技巧 一、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 二、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 三、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 四、三道高考题教你学会找点取点 1、全国Ⅱ文科导数压轴 2全国Ⅰ理科导数压轴 3、全国Ⅰ理科导数压轴 五、模考中的取点卡根问题 一、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该模型的取点过程 ① 时， 个零点 此时 ， 单调递增； （这一步用到了基本不等式： 时， ，当且仅当 取等号） 图1. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 上存在一个零点； ② 时， 个零点 此时 ，存在一个零点 ③ 时， 个零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ，当且仅当 取等号） （不能判断正负） （这一步用到了放缩不等式 ， ； ） 图2. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； ④ 时， 个零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 故存在一个零点 ⑤ 时，无零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 故不存在零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） （4） （5） （6） ** （7） （8） （9） （、 为常数且 ） 简单说明： （2） 记 ，则 （3） 记 ，则 （4） 记 ，则 （5） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （6） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （7） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （8） 令 ，即 ，则 记 ，则 （9） （、 为常数且 ） 令 ，即 ， 则 记 ，则 二、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该种模型的取点过程 ① 时， 个零点 此时 ， 单调递增； 图3. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 上存在一个零点； ② 时，无零点 此时 ，故不存在零点； ③ 时，无零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故不存在零点； ④ 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ， ， ） 图4. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） ，（为常数且 ） （4） （5） （6） （7） （8） ，（、 为常数且 ） （9） （10） ，（ 为常数） （11） （12） ，（、 为常数） （13） 简单说明： （2） 令 ，即 ， 记 ，则 （3） ，（ 为常数且 ） 令 ，即 ， 记 ，则 （4） （5） 记 ，则 （6） ，等号两端同时平方再移项得： 令 ，即 ，则 记 ，则等价于 （7） ，等号两端同时开方再移项得： 令 ，即 ，则 记 ，则等价于 （8） ，（ 为常数且 ） 等号两端同时开方再移项得： 令 ，即 则 记 ，则等价于 （9） 记 ，则 （10） ，（ 为常数） 记 ，则 （11） 令 ，即 则 记 ，则 （12） ，（、 为常数） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （13） 令 ，即 记 ，则 三、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该模型的取点过程 ① 时，无零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故不存在零点； ② 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故有 个零点； ③ 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ， ； ） 图5. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； ④ 时， 个零点 此时 ，存在一个零点 ⑤ 时， 个零点 此时 ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ，当且仅当 取等号） 图6. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 存在一个零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） （4） （5） ，（ 为常数且 ） （6） （7） （8） 简单说明： （1） 记 ，则 （2） （3） 令 ，即 则 记 ，则 （4） ，（ 为常数且 ） 令 ，即 则 记 ，则 （5） 令 ，即 ，则 （6） 令 ，即 ， 则 （7） 令 ，即 ，则 四、三道高考题教你学会找点取点 这三道经典取点找点题目 1、全国Ⅱ文科导数压轴 【全国Ⅱ文】 已知 （1） 若 ，求 的单调区间； （2） 证明： 只有一个零点。 解析： （1） 若 ，则 因此单调增区间是 和 ，单调减区间是 （2） 分离变量： 因为 所以 令 所以 与 具有相同的零点； 当且仅当 时， ，所以 单调递增； 因此 至多有一个零点，即 至多有一个零点； 又 则 所以 所以 因此 存在一个零点，即 存在一个零点； 不分离变量： ① 若 是 的零点， 则 ， 仅有一个零点，满足题意； ② 若 不是 的零点， 此时 ， 仅有一个零点等价于 仅有一个解； 令 则 仅有一个零点等价于 仅有一个零点， 与 正负号相同，又 ，所以 为单调函数； 则 所以 仅有一个零点，即 仅有一个零点。 注： 上述步骤中找到特殊点 与 ，就涉及一种方法：将原函数分成单调性相同、零点易求且不相等的两部分，则两个特殊点即分别为这两部分的零点；比如一个简单的例子 ： 即将 分成单调性相同、零点易求且不相等的两部分 与 ，则两个特殊点为 ， ，所以 ，结合下图 7 理解一下。 图7 2、全国Ⅰ理科导数压轴 【全国Ⅰ理】 已知 （1） 若讨论 的单调性； （2） 若 有两个零点，求 的取值范围。 解析： （1） ① 当 时， ， 在 上单调递减； ② 当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； （2） 由 （1） 可知， ① 当 时， ， 在 上单调递减， 至多存在一个零点，不符合题意； ② 当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； 若 存在两个零点，则 令 ， 所以 单调递增，又 所以 得 由 的单调性可知， 在 上存在一个零点； 令 ， ， 当 时， ， 单调递增， 所以 因此 ，所以 而 所以 所以取 ， 由 的单调性可知， 在 上存在一个零点； 综上所述， 的取值范围为 注：（找点过程） 因为 仅是 有两个零点的必要条件，所以还要证明充分性，也就是需要分别验证 与 上是否各存在一个零点。 这样又到了找点环节，显然 时， ，因此先看看 这个特殊点的取值， ，由于 在 上单调递减，因此还需找一个 上的特殊点 使得 不容易直接看特殊点，因此这里需要将 放缩成一个比较容易看的代数式，在 上显然有 成立，因此 ， ，即可得到 ，因此 ，这样就找到了第一个“特殊点” ； 接下来在 上寻找 使得 ，同理，这里仍要对 进行放缩，由于此时 ，将 缩小不是那么容易，因此选择缩小 ，一个非常显然的放缩是 ，而 ，这样就将 放缩成一个比较容易处理的形式： 显然取 即可； 3、全国Ⅰ理科导数压轴 【全国Ⅰ理】 已知 有两个零点 （1） 求 的取值范围； 解析： （1） 1） 当 时， ，仅有一个零点，不符合题意； 2） 当 时， ① 若 ， 令 得 ，，所以 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； 所以 时， 因此 不存在零点， 又 在 上单调递增，因此 至多存在一个零点，不符合题意； ② 若 ， 当且仅当 时， ，因此 单调递增，至多存在一个零点,不符合题意； ③ 若 ，令 得 ， ，所以 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减； 时， ， ； 所以 时， ， ，因此 ，不存在零点； 又 在上单调递增，因此 至多存在一个零点，不符合题意； 3） 当 时， 令 得 ，所以 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； 又 结合 单调性， 在 有一个零点； 令 得 且 此时又因为 ，则 ， 结合 单调性， 在 有一个零点； 满足题意 综上所述， 的取值范围为 . 注：（找点过程） 为了方便找这个 ，并没在 上找，而是直接在 上找，这也是找“特殊点”时常用的技巧，一定要记得在处理类似的零点存在问题时，我们并不关心零点具体在什么位置，我们只要知道它存在就可以了，同样，我们找“特殊点”也不关注它是不是将零点夹的很紧，只要方便算出它保证函数值大于零或者小于零，这就是好的“特殊点”。 另一种找到这个 的方法， 当 时， ， 所以 令 ，由于 ，方程存在两个根，设为 ， 由根与系数的关系可知 ，所以 ， 异号，设 则 结合 单调性， 在 有一个零点； 五、模考中的取点卡根问题 【24届安徽“江南十校”联考T18】 已知函数 ， （1） 证明： 在 上有唯一零点 ； （2） 设函数 ① 当 时，求函数 的单调区间； ② 当 时，讨论函数 零点的个数. 解析： （1） 由 得， 令 ，则 所以 为 上的增函数 又 若 ，由于 且 若 ，由于 且 综上：存在唯一零点 ，使得 即 在 上有唯一零点 （2） ① 由 （1） 知， 有唯一零点 且为增函数，所以 的根为 又 则 所以由 得 或 由 得 所以函数 的递增区间是 和 ；递减区间是 ② 由 得 是函数 的一个零点． （i） 若 ，由①同理可得 当 时， ，则 单调递增 当 时， ，则 单调递减 当 时， ，则 单调递增 又因为 的极大值 所以 仅有一个零点 ； （ii） 若 ，则 ，即 则 ，所以 时， 单调递增 所以 仅有一个零点 ； （iii） 若 ，则 ，即 当 时， ，则 单调递增 当 时， ，则 单调递减 当 时， ，则 单调递增$ $ 所以 的极大值为 因为 ，所以 当 时， 当 时， 所以 仅有一个零点 ； 综上：当 时，函数 仅有一个零点 ． 【24 届星云 2 月线上调研 T19】 已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 设 ， 分别为 的极大值点和极小值点，记 ， （i） 证明：直线 与曲线 交于另一点 ； （ii） 在 （i） 的条件下，判断是否存在常数 ，使得 . 若存在，求 ；若不存在，说明理由． 附： ， 解析： 图 8 （1） 令 得 或 当 时， ；当 时， 所以 在 ， 单调递增，在 单调递减． （2） 由 （1） 得 ， （i） 直线 的方程为 ，即 图 9 由 得 设 则 令 得 当 时， ；当 时， 所以 在 单调递减，在 单调递增． 图 10 因为 ， ， 所以 有且仅有 个零点 ，，其中 这表明方程 的解集为 即直线 与曲线 交于另一点 ，且 的横坐标为 （ii） 由 （i） 得 ， 取对数得 假设存在常数 ，使得 ， 则 所以 ，代入 式可得 设 ，则 令 得 当 时， ；当 时， 所以 在 单调递减，在 单调递增． 因为 ， ， 所以存在唯一的 ，使得 . 此时 因此，存在常数 ，使得 ，且 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 1141期 导数取点卡根技巧 一、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 二、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 三、 型 1、 模型的取点过程 2、该模型的变式 四、三道高考题教你学会找点取点 1、全国Ⅱ文科导数压轴 2、全国Ⅰ理科导数压轴 3、全国Ⅰ理科导数压轴 五、模考中的取点卡根问题 一、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该模型的取点过程 ① 时， 个零点 此时 ， 单调递增； （这一步用到了基本不等式： 时， ，当且仅当 取等号） 图1. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 上存在一个零点； ② 时， 个零点 此时 ，存在一个零点 ③ 时， 个零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ，当且仅当 取等号） （不能判断正负） （这一步用到了放缩不等式 ， ； ） 图2. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； ④ 时， 个零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 故存在一个零点 ⑤ 时，无零点 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 故不存在零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） （4） （5） （6） ** （7） （8） （9） （、 为常数且 ） 简单说明： （2） 记 ，则 （3） 记 ，则 （4） 记 ，则 （5） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （6） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （7） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （8） 令 ，即 ，则 记 ，则 （9） （、 为常数且 ） 令 ，即 ， 则 记 ，则 二、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该种模型的取点过程 ① 时， 个零点 此时 ， 单调递增； 图3. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 上存在一个零点； ② 时，无零点 此时 ，故不存在零点； ③ 时，无零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故不存在零点； ④ 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ， ， ） 图4. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） ，（为常数且 ） （4） （5） （6） （7） （8） ，（、 为常数且 ） （9） （10） ，（ 为常数） （11） （12） ，（、 为常数） （13） 简单说明： （2） 令 ，即 ， 记 ，则 （3） ，（ 为常数且 ） 令 ，即 ， 记 ，则 （4） （5） 记 ，则 （6） ，等号两端同时平方再移项得： 令 ，即 ，则 记 ，则等价于 （7） ，等号两端同时开方再移项得： 令 ，即 ，则 记 ，则等价于 （8） ，（ 为常数且 ） 等号两端同时开方再移项得： 令 ，即 则 记 ，则等价于 （9） 记 ，则 （10） ，（ 为常数） 记 ，则 （11） 令 ，即 则 记 ，则 （12） ，（、 为常数） 令 ，即 ， 则 记 ，则 （13） 令 ，即 记 ，则 三、 型 1、 模型的取点过程 先以 的零点个数问题来讨论该模型的取点过程 ① 时，无零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故不存在零点； ② 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 故有 个零点； ③ 时， 个零点 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ， ； ） 图5. 故 ， ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 与 上各存在一个零点； ④ 时， 个零点 此时 ，存在一个零点 ⑤ 时， 个零点 此时 ， 单调递增； 若 ，则 （这一步用到了放缩不等式 ，当且仅当 取等号） 图6. 故 ，结合 的单调性与零点存在定理， 在 存在一个零点； 2、该模型的变式 以下变式都可以经过换元以及其它等价变形转化得到该模型，进而用到上面的取点过程 （2） （3） （4） （5） ，（ 为常数且 ） （6） （7） （8） 简单说明： （1） 记 ，则 （2） （3） 令 ，即 则 记 ，则 （4） ，（ 为常数且 ） 令 ，即 则 记 ，则 （5） 令 ，即 ，则 （6） 令 ，即 ， 则 （7） 令 ，即 ，则 四、三道高考题教你学会找点取点 1、全国Ⅱ文科导数压轴 【全国Ⅱ文】 已知 （1） 若 ，求 的单调区间； （2） 证明： 只有一个零点。 解析： （1） （2） 分离变量： 不分离变量： 注： 上述步骤中找到特殊点 与 ，就涉及一种方法：将原函数分成单调性相同、零点易求且不相等的两部分，则两个特殊点即分别为这两部分的零点；比如一个简单的例子 ： 即将 分成单调性相同、零点易求且不相等的两部分 与 ，则两个特殊点为 ， ，所以 ，结合下图 7 理解一下。 图7 2、全国Ⅰ理科导数压轴 【全国Ⅰ理】 已知 （1） 若讨论 的单调性； （2） 若 有两个零点，求 的取值范围。 解析： （1） （2） 注：（找点过程） 因为 仅是 有两个零点的必要条件，所以还要证明充分性，也就是需要分别验证 与 上是否各存在一个零点。 这样又到了找点环节，显然 时， ，因此先看看 这个特殊点的取值， ，由于 在 上单调递减，因此还需找一个 上的特殊点 使得 不容易直接看特殊点，因此这里需要将 放缩成一个比较容易看的代数式，在 上显然有 成立，因此 ， ，即可得到 ，因此 ，这样就找到了第一个“特殊点” ； 接下来在 上寻找 使得 ，同理，这里仍要对 进行放缩，由于此时 ，将 缩小不是那么容易，因此选择缩小 ，一个非常显然的放缩是 ，而 ，这样就将 放缩成一个比较容易处理的形式： 显然取 即可； 3、全国Ⅰ理科导数压轴 【全国Ⅰ理】 已知 有两个零点 （1） 求 的取值范围； 解析： （1） 注：（找点过程） 为了方便找这个 ，并没在 上找，而是直接在 上找，这也是找“特殊点”时常用的技巧，一定要记得在处理类似的零点存在问题时，我们并不关心零点具体在什么位置，我们只要知道它存在就可以了，同样，我们找“特殊点”也不关注它是不是将零点夹的很紧，只要方便算出它保证函数值大于零或者小于零，这就是好的“特殊点”。 另一种找到这个 的方法， 当 时， ， 所以 令 ，由于 ，方程存在两个根，设为 ， 由根与系数的关系可知 ，所以 ， 异号，设 则 结合 单调性， 在 有一个零点； 五、模考中的取点卡根问题 【24届安徽“江南十校”联考T18】 已知函数 ， （1） 证明： 在 上有唯一零点 ； （2） 设函数 ① 当 时，求函数 的单调区间； ② 当 时，讨论函数 零点的个数. 解析： （1） （2） ① ② 【24 届星云 2 月线上调研 T19】 已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 设 ， 分别为 的极大值点和极小值点，记 ， （i） 证明：直线 与曲线 交于另一点 ； （ii） 在 （i） 的条件下，判断是否存在常数 ，使得 . 若存在，求 ；若不存在，说明理由． 附： ， 解析： 图 8 （1） （2） （i） 图 9 图 10 （ii） 学科网（北京）股份有限公司 $$