第07讲：空间立体几何【十一大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第07讲：空间立体几何 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点2：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直 知识点3：简单几何体的表面积与体积 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 知识点四：空间直线、平面的平行 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点5．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点6.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 知识点7．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：空间几何体的结构 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据正三棱锥的性质判断①、③，根据正棱柱的概念判断②，根据圆台的概念判断④. 【详解】根据正三棱锥的性质，底面为等边三角形，侧棱长相等， 且顶点在底面的投影为底面正三角形的中心， 侧棱长和底面棱长不一定相等，故①错误、③错误； 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误； 根据旋转体的定义可知，以直角梯形中垂直两底的腰为轴旋转所得的旋转体为圆台， 另一个腰为轴旋转所得旋转体不是圆台，故④错误. 故真命题的个数为. 故选：A. 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．正四棱锥的侧面都是正三角形 B．直四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 【答案】D 【分析】由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案. 【详解】对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误； 对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故C错误； 对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确. 故选：D 题型二：直观图 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 6．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式确定，然后作辅助线，利用正弦定理求出的值，进而可求出边上的高. 【详解】因为，易知， 过作轴的平行线交轴于点，则， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知原平面图形中，边上的高为. 故选：C. 题型三：空间几何体的表面积和体积 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角的大小为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算求解. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为1和2， 根据线面角定义圆台的母线与底面所成的角的大小为， 设高为，则母线为， 所以，所以 由圆台的体积公式为. 故选：B. 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出挖去的圆柱底面半径和高，再结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算可得结果. 【详解】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 9．（24-25高一下·山西运城·期末）在边上为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，分別沿折起，使三点重合于点.则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先证明平面，再根据等体积法结合三棱锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知，平面， 故平面， 边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点， 则，则， 故， 故选：A. 题型四：内接球和外接球表面积和体积 10．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明过的三条侧棱两两互相垂直，可将正三棱锥补成正方体，根据正方体体对角线即为正方体外接球直径，求正方体的外接球的半径，即为该正三棱锥外接球的半径，运用球的体积公式求解即可. 【详解】分别为棱的中点，则，所以. ，， 而正三棱锥中，对棱互相垂直，即， 又，平面，平面， ，. 设，则，所以， 在三角形中，，解得， 所以，即有， 过的三条侧棱两两互相垂直， 因此可将正三棱锥补成正方体，正三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 由，正三棱锥的外接球， 故选：C. 11．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取BC的中点E，连接AE，DE，分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G，再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则可得两垂线的交点就是球心O，进而求得球的半径，可求体积. 【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则，， 且，所以平面ADE，又因为， 在中，由余弦定理可得， 又，所以. 分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G， 再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则两垂线的交点就是球心O， 可得O，F，E，G共圆，连接OE，则OE是该圆的直径. 又，所以， 所以球O的半径， 所以球O的体积. 故选：A. 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补形法求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 如图，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球， 所以体对角线的长为其外接球的直径，解得， 则， 故选：C． 题型五：组合体的表面积和体积 13．（24-25高一下·河北保定·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象作出正四棱台的高，根据边长及点为正四棱台外接球的球心利用勾股定理可求正四棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】 如图，正四棱台，分别为上下底面的中心. 由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，则. 又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心， 可知，得， 即正四棱台的高为. 又上底面的面积，下底面的面积， 则该四棱台的体积为. 故选：D. 14．（24-25高一下·四川乐山·期末）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．某广场设置了一些石凳供大家休息（如图），这些石凳是14个面的半正多面体，如果石凳的棱长为1，则石凳的表面积是 ，体积是 ． 【答案】 / 【分析】弄清楚正方形和正三角形的个数，求其表面积；弄清楚几何体的构造，利用正方体的体积求该几何体的体积. 【详解】石凳的表面是由6个正方形和8个正三角形构成，其边长均为1， 所以其表面积为：. 如图： 该几何体是由正方体截去8个一样的三棱锥得到的，且正方体的棱长为， 截去的小三棱锥的体积为：. 所以该几何体的体积为：. 故答案为：； 15．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为 ；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为 . 【答案】 12 【分析】根据题意得到旋转后的圆台后可求出其表面积，然后将圆台的展开、由平面图形得到最短路程. 【详解】如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，， 又∵，∴， ∴，设，则的弧长， 解得，连接，为等边三角形， ∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短路程为12. 故答案为：；12. 题型六：点线面的位置关系 16．（24-25高一下·天津西青·期末）设m，n为两条不同直线，，为两个平面，则下列命正确的是（    ）. A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面位置关系判断选项ABC，结合线面平行性质定理和判定定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则或，A错误， 对于B，如图，在正方体中，记为平面，为平面，为直线，为直线， 由正方体性质易知，，但是与不垂直，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，过直线作平面分别交于直线， 因为，，所以，所以， 由线面平行的判定定理可知， 因为，，所以，所以，D正确. 故选：D. 17．（24-25高一下·山东青岛·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中， 若，，则或，所以A不正确； 对于B中，若，，由垂直同一平面的两直线平行，可得，所以B正确； 对于C中，由，设，若且，此时，所以C不正确； 对于D中，若，仅当与相交时，才能得到，否则也有可能相交，所以D错误. 故选：B. 18．（24-25高一下·重庆·期末）已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，由线面垂直和线面平行的性质和判定得到B正确. 【详解】A选项，若，，则或，所以A选项错误； B选项，若，则在内存在直线，使得， 又，，故，则，所以B选项正确． C选项，若，，则与可以成任意角，所以C选项错误； D选项，若，，，则或m与n异面，所以D选项错误. 故选：B． 题型七：线面的平行和性质 19．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，证得，再根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：构造三角形的中位线，证得平面平面，根据平面，即可证明； （2）先通过三角形中位线证得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 20．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，从而得到线面平行； （2）证明⊥平面，求出，设，则，利用等体积法得到方程，求出，得到的值. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又是的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为为等边三角形，是的中点， 所以⊥，又，故， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 设，则，， ， 所以，解得， 故. 21．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱BC的中点时，平面平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【详解】（1）因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 题型八：线面的垂直和性质 22．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，BC的中点，连接，，且平面ABC． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直； （2）通过添加辅助线，证明平面，以此找到直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中通过确定边长，计算的正弦值. 【详解】（1）连接, 因为平面，平面，所以. 因为，E为BC的中点，所以， 又平面，所以平面. 由，分别为的中点，得且， 从而且，所以是平行四边形，所以. 因为平面，所以平面. （2）作，垂足为，连结. 因为平面，平面，所以. 又平面， 所以平面，平面， 所以，又平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成角的平面角. 由，得. 在，得， 所以， 由，得， 解得， 所以. 23．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先由勾股定理证明，结合条件，由线线垂直证得线面垂直，得到平面，即可证明结论； （2）先由（1）结论和证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论； （3）过点作于点，证明平面，再利用棱锥的体积公式计算即得. 【详解】（1） 连接，因， ，是棱的中点，则， 因，则，因，且平面， 则平面，因平面，故. （2）由（1）已证，因平面，平面，则， 因平面，则平面， 因平面，故平面平面. （3）由（2）已得平面，因平面，则，则， 过点作于点，由解得. 因平面，平面，则， 因平面，则平面， 于是四棱锥的体积为. 24．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 题型九：点面距离问题 25．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）在长方体中，， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面, 所以直线平面. （2）在长方体中，由，得，， 等腰的面积，， 设点到平面的距离为，由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 26．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助棱柱性质及中位线性质，再结合线面平行性质定理即可得； （2）借助线面垂直的判定定理与性质定理可得，再借助等体积法计算即可得. 【详解】（1）由，分别为，的中点，则， 由直三棱柱性质可得，故， 又平面，平面，故平面； （2）由底面为直角三角形，，则， 又，则，由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，则、，又、平面， ，故平面，又平面，故， 又、，， 则， 设点B到平面的距离为，则由， 可得，即， 即点B到平面的距离为. 27．（24-25高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据边长关系得出及，再应用线面垂直判定定理证明平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用三棱锥体积公式应用等体积计算点到平面距离即可. 【详解】（1）证明：取棱的中点E，连接． 因为四边形是菱形，，所以． 因为E是棱AD的中点，所以，则． 因为为等边三角形，且，E是棱AD的中点，所以． 因为，所以，所以． 因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为，所以的面积． 由（1）可知平面，且，则三棱锥的体积． 因为，所以的面积． 设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积． 因为，所以， 解得，即点A到平面的距离为． 题型十：线面角问题 28．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，． (1)求证：面． (2)若直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角P-AB-D的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取CD中点H，连接PH，根据是等边三角形和面ABCD⊥面PCD，得到面ABCD，进而有，再由，利用线面垂直的判定定理证明； （2）连接BH，AH，过点H作，易得直线PB与面ABCD所成的角为，为二面角P-AB-D的平面角求解. 【详解】（1）如图所示： 取CD中点H，连接PH， 是等边三角形，， 面ABCD⊥面PCD，且交线为CD，面PCD，， 面ABCD，面ABCD， ， 又平面， 面PCD. （2）连接BH，AH，过点H作， 面ABCD，所以直线PB在底面ABCD上的射影为直线BH， 直线PB与面ABCD所成的角为， 设，则，， ， ，，， 面ABCD，而平面， ，且平面， 面PHE，面PHE，， 为二面角P-AB-D的平面角， 在中，， 解得， 在中，， ， 所以二面角P-AB-D的余弦值为. 29．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面； (2)若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）通过余弦定理求出边长，根据勾股定理的逆定理证明线线的垂直关系，通过面面垂直的性质定理，说明线面垂直. （2）找出线面角的平面角，计算线面角的平面角的三角函数值，求出线面角大小. 【详解】（1） 在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2） 过作，垂足为，因为平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，得， 又因为，平面，所以平面， 可得为与平面所在角， 由等面积法可得， 即，解得， 由于点是直角三角形斜边的中点，所以， 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 30．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点．    (1)求证： 平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理求解即可； （2）取的中点F，证明为直线与平面所成的角，再解三角形即可． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 由平面知识易知，即有， 所以. 因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）取的中点F，连接，则， 由（1）知，平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为，， 所以，即直线与平面所成角的正切值为.    题型十一：二面角问题 31．（24-25高一下·重庆北碚·期末）在四面体中，. (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解； （2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，则为等腰直角三角形， 且， 又为正三角形，故， 取BC的中点，连接DE，则， 又平面平面， 平面平面平面DBC， 故平面， 是三棱锥的高， 则其体积； （2）由（1）且，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. 32．（24-25高一下·广西桂林·期末）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求平面与平面所成夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②． 【分析】（1）通过平面平面即可证平面； （2）①连接交于点，连接，证得平面，结合四棱锥的体积是，可求； ②作于，连接，则由三垂线定理得，作于，连，则，为二面角的平面角，利用余弦定理的推论可求，接着即可得到平面与平面所成夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面． 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2）①连接交于点，连接，    ∵，且，则为等边三角形， 又四边形为菱形，则为中点，∴ 又∵平面平面，且交线为 ∴平面 ∵，∴ ∴ ∴． ②由①知，， 所以与全等， 作于，连，则，为二面角的平面角， 作于，连接，又平面， 平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 四边形为菱形，所以，， ， 在中，， ， 在，由余弦定理得：， ， 故平面与平面的夹角的正弦值为． 33．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥. 中，底面为平行四边形， 为等边三角形，平面平面， (1)求证: 平面 (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明该线段垂直于平面内的两条相交直线，即证明即可. （2）首先根据垂直关系确定直线与平面所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. （3）首先根据垂直关系确定二面角的平面角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为是等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面， 所以平面. （2）连接，由（1）知，平面， 所以直线与平面所成的角为. 在直角三角形中，，，， 所以根据勾股定理得， 所以. 所以直线与平面所成的角的余弦值为. （3）取的中点为，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以是二面角的平面角. 由（1）知，平面，因为平面， 所以. 所以在直角三角形中，，， 所以. 所以二面角的余弦值为. 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】根据斜二测法的规则对选项逐一判断即可. 【详解】首先分析斜二测画法的规则： 斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行； 对于线段长度，轴方向线段长度不变，轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等； 原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，比如平面直角坐标系中垂直的轴和轴，在斜二测画法中轴成45°（或135°）角，不再垂直； 相等的角在直观图中不一定相等，比如平面直角坐标系中90°的角，在斜二测画法中可能变成45°或135°等. 故选：B. 2．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥的半径为，母线长，根据已知条件求出、的值，可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的半径为，母线长，因为侧面展开图是一个半圆，则，即， 则，可得，，利用勾股定理求得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得周长. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知因为，，，所以， 故，，， 由勾股定理可得， 故的周长为. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京西城·期末）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】取的中点，可证平面平面，过点作，则是三棱锥的高，由等面积法求得，代入棱锥体积公式求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，且， 所以，，， 又，平面，故平面， 又平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 又平面平面，平面， 所以平面，即是三棱锥的高， 在中，由等面积法，得，解得， 又， . 故选：A. 5．（24-25高一下·北京大兴·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，，，则；①正确， 对于②，若，，故，又，则；②正确， 对于③，若，，，则或者，异面；③错误， 对于④，若，，且，则，则④正确， 故选：D 6．（24-25高一下·河南南阳·期末）在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱特点，则（或其补角）为异面直线与所成的角，再在中，应用余弦定理求解即可. 【详解】 在正三棱柱中， ，则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设，在中， ，， 由余弦定理得 故选：D. 7．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，平面PEF，平面PEF，得到平面平面，然后得出最后得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 8．（24-25高一下·北京东城·期末）如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】由题可知四棱台为正棱台，设上底边长为，在侧面中可得斜高，再由正四棱台的特性可知就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角，得到，解方程即可得到上底边长. 【详解】根据题意，四棱台为正棱台，设中点为，上底边长为， 在侧面中，为斜高，又， 所以， 在正棱台中，， 所以就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角， 在四边形中，，则， 过作交于， 所以， 解得，即上底边长为25. 故选：C. 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 【答案】BCD 【分析】举出反例判断选项A,，根据定义进行判断选项B,C,D. 【详解】由五个面围成的多面体也可以是四棱锥，判断A错误； 根据棱台的定义判断出B正确； 根据圆柱的母线定义判断C正确； 根据正方体的定义判断D正确． 故选：BCD. 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 假设，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，而平面平面，所以， 在中，，不能同时成立，所以A错误； 对于选项B： 因为平面平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，选项B正确； 对于选项C： 因为平面平面，所以平面平面，所以C正确； 对于选项D： 由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积为3 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】取的中点为，连接，即证平面，即可判断A，当为中点时，得，根据线面平行判断定理即可判断B，先证平面，得点到平面的高为，即计算即可判断C，将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】取的中点为，连接，由点P是线段的中点，所以， 在直三棱柱中有平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以， 又，平面，平面，又平面，所以，故A正确； 当为中点时，因为，又， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 又，，所以，， 又平面，平面，所以，又，，平面， 所以平面，所以点到平面的高为，又， 所以，故C错误； 将平面沿边展开，使得平面与平面共面时，则的值最小，由， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面角的定义判断各项的正误. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错； 由，且平面，平面，则，故，B对； 由平面，平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成角为，且，故，C对； 由平面，则与平面所成角为，D对. 故选：BCD 三、填空题 13．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 【答案】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得：， 将直观图还原为原图，如图所示，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以原四边形的周长为. 故答案为： 14．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 15．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是 ． 【答案】 【分析】取棱AB的中点H，连接，可得是异面直线与EF所成的角或其补角，作，由正四棱台的侧面积为，可得，据此可得，然后由结合余弦定理可得答案. 【详解】取棱AB的中点H，连接， 易证四边形为平行四边形，则， 因为E，F分别是棱的中点，所以， 则是异面直线与EF所成的角或其补角．作，垂足为G，则， 因为正四棱台的侧面积为，所以， 所以，则， 因为，所以，即所求值为． 故答案为： 16．（24-25高一下·北京西城·期末）在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是 .    ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 【答案】①④ 【分析】根据线面平行得平面，从而利用等体积法求出三棱锥的体积判断①，举反例判断②，在线段上取点使得，连接，则平面为所求的截面，设点到的距离为，将截面面积范围问题转化为的范围，根据正方体的性质求解即可判断判断③，利用定义作出二面角的平面角，求出最大角即可判断④. 【详解】对于①，由正方体的性质知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于②，当点位于点时，平面即平面，平面， 因为平面平面，，所以平面不成立，错误； 对于③，在线段上取点使得，连接，    根据正方体的性质可知，且， 故平面为所求的截面，设点到的距离为， 菱形的面积， 根据正方体的对称性可知，当点位于点或点时，取到最大值，此时， 当点位于的中点时，取到最小值，此时， 所以，， 即截面图形的面积的取值范围为，错误； 对于④，取是的中点，连接，    根据正方体的性质可知，所以， 所以为二面角的平面角， 当点位于点时，取到最大值， 在中，， 即二面角的平面角的正切值最大为，正确； 故答案为：①④ 四、解答题 17．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合题给条件，证明线线平行，进一步得出线面平行； （2）根据已知几何体的性质，结合题给条件，证明线面垂直，进一步推出面面垂直； （3）根据已知几何体的性质，借助辅助线构造并证明与平面所成角的三角形为直角三角形，结合题给条件，求出相应边长，从而得到角的正切值. 【详解】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 18．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求证：平面； (3)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，证得平面，再由线面平行的性质，即可证得. （2）取的中点，连接，证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）由平面，得到，在直角中，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：因为底面为平行四边形，可得， 因为平面，且平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （2）证明：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面. （3）因为平面，且平面，所以， 在直角中，由，可得， 又由等边的边长为，可得， 所以四棱锥的体积:. 19．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， (1)证明：平面； (2)证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据重心的性质可证，再利用线面平行的判定即可证明； （2）根据边长，利用勾股定理可证，，根据线面垂直的判定即可证平面，由线面角的定义可知就是与平面所成的角，接着求正弦值即可； （3）过作交延长线于，先证平面，再证平面，即为三棱锥的高，根据锥体体积公式计算即可. 【详解】（1）证明：设相交于点，相交于点， ，，，的中点分别为，，，， 所以分别为的重心， 所以，，同理可得， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：由（1）知分别为的重心， 在中，，，所以， ，， ，，即， 在中，， ，即，又，所以， 又平面， 所以平面， 即平面，所以就是与平面所成的角， ， 即与平面所成的角的正弦值. （3）过作交延长线于， 是中点，，， 又是中点，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，即为三棱锥的高， ，， . 20．（24-25高一下·广西贵港·期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由（1）知平面，得到，再由，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）过点作，分别证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得的长，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：在等边中，因为为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面，且平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）证明：由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，因为，可得，可得， 在直角中，由，可得， 则满足，所以， 因为，且平面，所以平面. （3）解：过点作，垂足为， 由（2）知平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，由，可得， 又由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以二面角的正切值为. 21．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． （3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）连接，且，连接 在中，为中点，为中点，所以 平面平面 所以平面． （3）过点作于点，过点作于点， 由知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：空间立体几何 【考点归纳】 【知识归纳】 知识点1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点2：空间几何体的直观图 1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变 3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直 知识点3：简单几何体的表面积与体积 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 知识点四：空间直线、平面的平行 1．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 2．面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 知识点5．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 知识点6.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. 知识点7．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一：空间几何体的结构 1．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 2．（24-25高一下·江西景德镇·期末）给出下列四个命题：①正三棱锥所有的棱长相等；②底面是正多边形的棱柱是正棱柱；③底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥；④以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台，其中真命题的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．正四棱锥的侧面都是正三角形 B．直四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 D．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 题型二：直观图 4．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D．5 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 题型三：空间几何体的表面积和体积 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角的大小为，则圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山西运城·期末）在边上为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，分別沿折起，使三点重合于点.则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D．1 题型四：内接球和外接球表面积和体积 10．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在正三棱锥中，分别为棱的中点，且.若，则正三棱锥的外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知直三棱柱中，，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型五：组合体的表面积和体积 13．（24-25高一下·河北保定·期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·四川乐山·期末）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．某广场设置了一些石凳供大家休息（如图），这些石凳是14个面的半正多面体，如果石凳的棱长为1，则石凳的表面积是 ，体积是 ． 15．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为 ；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为 . 题型六：点线面的位置关系 16．（24-25高一下·天津西青·期末）设m，n为两条不同直线，，为两个平面，则下列命正确的是（    ）. A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 17．（24-25高一下·山东青岛·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 18．（24-25高一下·重庆·期末）已知，，为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型七：线面的平行和性质 19．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 20．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求． 21．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 题型八：线面的垂直和性质 22．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在三棱柱中，，，，D，E分别是，BC的中点，连接，，且平面ABC． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 23．（24-25高一下·北京延庆·期末）如图，在直三棱柱中，是棱的中点，. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求四棱锥的体积. 24．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 题型九：点面距离问题 25．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在长方体中，，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 26．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求点B到平面的距离. 27．（24-25高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，△PAD为等边三角形，四边形是菱形，，，． (1)证明：平面平面． (2)求点A到平面的距离． 题型十：线面角问题 28．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且，，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，． (1)求证：面． (2)若直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角P-AB-D的余弦值． 29．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． (1)证明：平面； (2)若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 30．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示的四棱锥中，已知平面，，，E为PD的中点．    (1)求证： 平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 题型十一：二面角问题 31．（24-25高一下·重庆北碚·期末）在四面体中，. (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的余弦值. 32．（24-25高一下·广西桂林·期末）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求平面与平面所成夹角的正弦值． 33．（24-25高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥. 中，底面为平行四边形， 为等边三角形，平面平面， (1)求证: 平面 (2)求直线与平面所成角的余弦值 (3)求二面角 的余弦值. 【专题突破】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．垂直的线段在直观图中仍然垂直 D．相等的角在直观图中仍然相等 2．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京西城·期末）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C．1 D． 5．（24-25高一下·北京大兴·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，且，则. 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一下·河南南阳·期末）在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京东城·期末）如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为（    ） A．15 B． C．25 D． 二、多选题 9．（2026高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（   ） A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．棱台各侧棱的延长线交于一点 C．圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 10．（24-25高一下·广东潮州·期末）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在直三棱柱中，，，点P是线段的中点，点Q是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积为3 D．的最小值是 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 三、填空题 13．（24-25高一下·福建·期末）如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为 . 14．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ． 15．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是 ． 16．（24-25高一下·北京西城·期末）在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是 .    ①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变； ②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面； ③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为； ④二面角的平面角的正切值最大为. 四、解答题 17．（24-25高一下·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 18．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)求证：平面； (3)求四棱锥的体积． 19．（24-25高一下·山东淄博·期末）如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， (1)证明：平面； (2)证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； (3)若，求三棱锥的体积. 20．（24-25高一下·广西贵港·期末）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． (1)证明：． (2)证明：平面． (3)求二面角的正切值． 21．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． (1)求证：平面平面； (2)求证：直线平面； (3)求二面角大小的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$