14.3 角的平分线 课时1 角平分线的性质 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 课时1 角平分线的性质 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 作已知角的平分线 6. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 角的平分线的性质 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 5. 知识点3 证明几何命题的一般步骤 8. 对接中考 1. 能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据. 2. 探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题. 3. 熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 学习目标 知识回顾 角平分线的概念： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O A B C 如图，OC是∠AOB的平分线. ∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 新课导入 请你作出∠AOB的平分线OC，你有怎样的方法？ A O B 用量角器度量； 将角剪下来，用折纸的方法对折．　　 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上. 新课讲解 知识点1 作已知角的平分线 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系. 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 在△OPM和△OPN中， OP=OP，∠POM=∠PON， 如果OM=ON， 那么△OPM≌△OPN (SAS)，就有PM=PN. 新课讲解 探究 反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？ A O B M N P OM=ON， PM=PN， OP=OP， ∴△OPM≌△OPN (SSS)， ∴∠POM=∠PON， ∴点P在∠AOB的平分线上. 证明：连接OP，在△OPM和△OPN中 新课讲解 思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ ① 根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点； ② 再在角的内部作出与这两点距离相等的点； ③ 以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. A O B M N P 新课讲解 A B O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：如图. (1) 以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2) 分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3) 作射线OC，则射线OC为∠AOB的平分线. M N C 为什么呢？ 新课讲解 思考 A B O M N C 作图依据是什么？ 利用“SSS”证明全等 两个三角形全等，则对应角相等 新课讲解 1. 以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. 2. “以大于MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于MN的长为半径画弧时不容易操作. 3. 应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射 线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. 4. “画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接 OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 注意 例 新课讲解 1. 已知：∠AOB，如图所示. 求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线. A O B C E F D 新课讲解 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 结论 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的平分线. A O B E F C 练一练 知识点2 角的平分线的性质 新课讲解 探究 由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？ 如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？ P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 新课讲解 我们证明这个性质. 首先，要分清其中的“已知”和“求证”. 已知：一个点在一个角的平分线上； 求证：这个点到这个角两边的距离相等. 为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证. 新课讲解 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE. 由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC=∠BOC， ∠PDO=∠PEO， OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（AAS）， ∴PD=PE . 新课讲解 角的平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. 几何语言： 角平分线的性质： 角的平分线的性质的两个必要条件： (1) 点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 新课讲解 1.角的平分线的性质是由两个条件（角平分线，垂线）得到一个结论（线段相等）. 2.利用角的平分线的性质证明线段相 等时，证明的线段是“垂直于角两边的 线段”， 如图 ①所示，而不是 “垂直于角平分线的线段”，如图 ②所示. 注意 新课讲解 例 2. 如图，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 方法点拨：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 证明：∵ OD 平分∠ EOF， ∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD， ∴ PM=PN. 新课讲解 例 3. 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 解：如图，过点M作MH⊥AB于点H. ∵∠BAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB, ∴AM平分∠CAB. ∵MH⊥AB，MC⊥AC, ∴MH=MC， 即MC的长度等于点M到AB的距离. 新课讲解 练一练 1. 如图，已知AC 平分∠ BAD，F在AD上，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF=CB．求证：BE=FD． 新课讲解 练一练 2. 如图，在△ ABC 中，∠C= 90°，AD 平分∠CAB，交BC于点D，BD=2CD，点D 到AB 的距离为5.6 cm，求BC 的长. 解题秘方：依据角平分线的性质得出CD的长，进而得出BD 的长，依据BC=CD＋BD即可得解. 解：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E. ∵∠ C=90°，AD 平分∠ CAB，点D 到AB 的距离为5.6 cm， ∴ CD=DE=5.6cm. 又∵ BD=2CD， ∴ BD=2×5 .6=11.2(cm). ∴ BC=CD＋BD=5.6＋11.2=16.8(cm). 知识点3 证明几何命题的一般步骤 新课讲解 证明一个几何命题时的步骤： 已知：一个点在一个角的平分线上 求证：这个点到角两边的距离相等； 第一步：明确命题中的已知和求证. 第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 1. 所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； 2. 证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. 注意 新课讲解 例 4. 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等. 需要先将命题改写成”如果……那么……“的形式，然后确定已知和求证. 解：已知：如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E. 求证：BE=CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD. ∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， ∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE=CF. 新课讲解 例 5. 求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 解：已知：如图，在△ ABC 和△ A′B′C′中，AD，A′D′分别为∠ BAC，∠ B′A′C′的平分线，且∠ B= ∠ B′，∠BAC= ∠ B′A′C′，AD=A′D′. 求证：△ ABC ≌△ A′B′C′ 证明：∵ AD，A′D′分别平分∠ BAC，∠ B′A′C′， ∴∠ 1= ∠ BAC，∠ 2= ∠ B′A′C′. ∵∠ BAC= ∠ B′A′C′， ∴∠ 1= ∠ 2 . 在△ ABD 和△ A′B′D′中， ∠ B= ∠ B′， ∠ 1= ∠ 2， AD=A′D′， ∴△ ABD ≌△ A′B′D′(AAS). ∴ AB=A′B′ 在△ ABC 和△ A′B′C′中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(ASA). ∠ B= ∠ B′， AB=A′B′， ∠ BAC= ∠ B′A′C′， 新课讲解 练一练 1. 命题：全等三角形的对应边上的高相等. (1)写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：______________________________ _________________________________； 如果两条线段是一对全等三角形 对应边上的高，那么这两条线段相等 (2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程. 解：已知：如题图，△ABC≌△A′B′C′， AD⊥BC，A′D′⊥B′C′. 求证：AD＝A′D′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′. ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°. 新课讲解 练一练 2. 根据下列图形，写出命题“如果两个直角三角形有一条直角边和斜边上的高分别对应相等，那么这两个直角三角形全等”的已知，求证和证明过程. 已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DEF=90，EH⊥DF于H，CG⊥AB于G，AC=DE，CG=EH . 求证：Rt△ABC≌Rt△DFE. 证明：∵EH⊥DF于H，CG⊥AB于G, ∴∠DHE=∠AGC=90°. 在Rt△ACG与Rt△DEH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DEH (HL)， ∴∠A=∠D， AC=DE， CG=EH， 在△ABC与△DFE中， ∠A=∠D， AC=DE， ∠ACB=∠DEF， ∴△ABC≌△DFE (ASA). 新课讲解 1. 证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须“步步有据”. 2. 证明几何命题所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图时，要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别证明. 注意 课堂小结 角的平分线 为证明线段相等提供了又一途径. 性质定理 过角平分线上一点向角两边作垂线段. 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等. 辅助线添加 当堂小练 1. 填空：下列结论一定成立的是（ ） ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE. ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE. ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3. O B A C P D 图3 O B A C P D 图2 E O B A C P D 图1 E ┐ ┐ ┐ ③ 当堂小练 2. 如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是 ( ) A. PC=PD. B. ∠CPO=∠DPO. C. OC=OP. D. OC=OD. C 当堂小练 3. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC=2，DE=1，则S△ACD=_______. 1 当堂小练 4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（ ） A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定 解析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. ∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长=DE+DB+ EB =DC+DB+EB=BC+EB =AE+EB=AB=8cm. C 当堂小练 5. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG. 求证：PF=PG. 证明：∵OC是∠AOB的平分线， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE， ∠PDF= ∠PEG=90°， 在Rt△PDF和Rt△PEG中， DF=EG， ∠PDF=∠PEG， PD=PE， ∴△PDF≌△PEG (SAS). ∴PF=PG. 当堂小练 6. 求证：三角形一边的两端到这条边的中线所在直线的距离相等. 解：已知：如图，AD为△ABC的BC边上的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AD， ∴∠E＝∠CFD＝90°. 当堂小练 7. 如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB， ∴∠1=∠2. 在△AOD和△BOD中， OA=OB， ∠2=∠1， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， ∴∠3=∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM=PN. (角平分线上的点到角两边的距离相等) 对接中考 如图，是的角平分线，于点，的面积是10， ，，则 的长是 ( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：如图，过点作于， 是中 的角平分线，， 的面积是10，， ， ，解得 . 拓展与延伸 1. 如图，在中， 是它的角平分线，求证： ； 证明：如图①，过点作 于点，于点 ， 平分， . ， ， . 过点作于点 ， ， ， . . 拓展与延伸 2. 如图，是 的外角的平分线，判断 是否成立，并说明理由. 解：成立，理由如下： 如图，过点作于点，于点 ， 平分， . 的面积，的面积 ， . 过点作于点， . . 证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL)． ∴BE＝FD. 在△ABD和△A′B′D′中， ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)． ∴AD＝A′D′. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)． ∴BE＝CF. $$