第1章 勾股定理(课前导学)-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

参考答案 参 考 答 案 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 知识要点 1平方和 2斜边 3a2 ④b25c264 78 89 925 10ScⅡS? 对点训练 1.(1)5 (2)6 (3)13 2.(1)25 (2)S?=S?+S? 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 知识要点 113 对点训练 1.解：因为2=4×2ab+(b-a)2, 整理，得c2=2ab+b2-2ab+a2,所以a2+b2=c2. 2.解：由题意，得AC=400m,AB=500 m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AB2=BC2+AC2, 即5002=BC2+4002,所以BC=300m, 所以300÷10=30(m/s)=108(km/h). 答：敌方汽车的速度是108 km/h. 2 一定是直角三角形吗 知识要点 1直角 2直角 3C 对点训练 1.解：(1)a2+b2=152+82=172=c2, 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角. (2)a2+b2=132+142=365≠c2, 所以该三角形不是直角三角形. 2.8 32 40 直角 3.(1)A(2)15 3 勾股定理的应用 对点训练 1.解：在Rt△COD中，CD=AB=25米， CO=A0-AC=24-4=20(米), 所以DO2=CD2-CO2=252-202=225, 所以DO=15米， 所以此时梯子的底部B到墙的距离为15米. ☆问题解决策略：反思 对点训练 1.解：可以把A和C'所在的两个平面展开到一个平面 内，则两点之间线段最短. 根据勾股定理，得AC12=(2+2)2+22=20. 答：最短路程的平方是20. 2.解：将葛藤缠绕的状态展开如答图，一条直角边(即枯 木的高)BC=20尺， B 另一条直角边AC=5×3=15(尺). 由勾股定理，得AB2=BC2+AC2, 所以AB2=202+152=252, 所以AB=25尺. A C 因此葛藤的最短长度为25尺. 2题答图 3.解：不同表面的最短线路展开后如答图所示，有两种 情况. B 8cm 12cm A8cm 3题答图② B 12cm A8cm 8cm 3题答图① 如答图①,因为AB2=122+(8+8)2=400, 所以AB=20 cm. 如答图②,AB2=82+(12+8)2=464. 因为464>400,所以蚂蚁要爬行的最短路程是20cm. 4.解：如答图，将木块展开. 4题答图 由题意可知，长相当于是(AB+2个正方形的边长), 所以长为20+2×2=24(米),宽为18米， 所以242+182=302,所以最短路程为30米. 5.27 第二章 实数 1 认识实数 知识要点 1不循环 2无理 B一一对应 ④大 对点训练 1.解：有理数：①③④⑤; 无理数：②⑥. 2.D 3.解：(1)错误.(2)正确. 4.(1)-7,0.32,3,46,0,0.31 (2)-2 (3)032,-,46,0 31 (4)-7,-2 —41— 第一章 勾股定理 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 [答案 P41] 知识要点 对点训练 知识点①勾股定理 直角三角形两直角边的1__等于 ② 的平方.如果用a,b和c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，那么3__+ ④ =5 用图形表示为： 勾 弦 a c a2+b2=c2 股 b 知识点②利用勾股定理求面积 观察右边两幅图，完成下表： 图号 SA S Sc 图① 4 6 7 图②8 16 ⑨ 探究：两图中三个正方形的 AfC B 图① FAL 图② B 面积SA,SB,Sc有什么关系? 发现：图①中，SA+SB=10 (图中每个小方格 代表1个单位面积) 图②中，S?+四 ___=Sc- 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若a=3,b=4,则c=____; (2)若b=8,c=10,则a=_____; (3)若a=5,b=12,则c= B c a A b C 1题图 2.(1)如图，所有的四边形都是正方形，三角形 是直角三角形，其中最大的正方形的面积 为25,则正方形A,B的面积的和为 A B C S? S? A\ BS? 2(1)题图 2(2)题图 (2)如图，在△ABC中，∠A=90°,则三个半圆 面积S?,S?,S?的关系为_ 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①勾股定理的验证 利用面积相等进行验证： (1)第一种方法：分割为四个直角三角形和一个 小正方形(如图①). C ab a cb b c a b a\ C a b b c C a c cya b b a 图① 图② (2)第二种方法：补成大正方形，用大正方形的 面积减去四个直角三角形的面积(如图②). 1.如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,斜边长为c.试说明：a2+b2=c2. C c a b 1题图 —1— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 知识点②勾股定理的简单应用 如图①,校园内有两棵树相距12m,两棵树 分别高13m,8m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到 另一棵树的顶端，至少要飞①___m.(方法 提示：作垂线构造直角三角形，如图②,作DE1 AB于点E,构造Rt△ADE) 13m 8m 12m A E D B C 图① 图② 2.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处 侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶 紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m, 10s后，汽车与他相距500 m,你能帮小王计算 敌方汽车的速度吗? C B 公路 400m 500m A 2题图 2 一定是直角三角形吗 [答案P41] 知识要点 对点训练 知识点①直角三角形的判定 1.勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2 =c2,那么这个三角形是1___三角形. 几何语言： 如图，在△ABC中，因为a2+b2=c2,所以△ABC 为2三角形，∠B__=90°. A b c C a B 2.判断网格中三角形的形状 判断网格中三角形的形状，一般有两种方法： (1)通过观察能直观确定最大角度时，用角度 来判定； (2)利用三边平方的数量关系来判定(勾股定 理的逆定理). 知识点② 勾股数 (1)满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股 数.常见勾股数有：3,4,5;5,12,13;8,15,17; 7,24,25.特别地，勾股数的n倍，仍是勾 股数. (2)判断一个三角形是否是直角三角形的步骤： ①确定最长边； ②算出最长边的平方与另两边的平方和； ③比较②中计算出的两个结果是否相等，若 相等，则说明是直角三角形；否则，不是直 角三角形. 1.判断由线段a,b,c组成的三角形是否是直角 三角形?如果是直角三角形，请指出哪一个角 是直角. (1)a=15,b=8,c=17; (2)a=13,b=14,c=15. 2.如图，已知正方形网格中的△ABC,若小方格 边长为1,则AB2=_____,AC2=_____, BC2= _____,判断△ABC 的形状为 _三角形. A BK C 2题图 3.(1)下列四组数中，不是勾股数的一组数是 ( ) A.1,1,2 B.3,4,5 C.5,12,13 D.7,24,25 (2)有一组勾股数，其中的两个分别是8和 17,则第三个数是________. —2— 第一章 勾股定理 知识要点 3 勾股定理的应用 [答案P41] 对点训练 知识点○勾股定理在生活中的应用 (1)梯子滑动问题：抽象出运动前后的状态，根 据梯子的长度不变运用勾股定理计算长度； (2)运动过程中存在直角：如两物体的运动方向 角为90°,运用勾股定理求距离等； 1.如图，一个25米长的梯子AB,斜靠在一竖直 的墙AO上，这时A0为24米.如果梯子的顶 端A沿墙下滑了4米，那么此时梯子的底部B 到墙的距离为多少米? (3)生活场景中存在直角：如滑梯、墙角、树枝折 断等； (4)几何图形中存在直角：如长方形，特别是长 方形的折叠问题； A A C 0 BC 0 B D 0 D (5)网格中的直角三角形问题. 1题图 总结：无论题目背景如何变化，解题时只需抓住 “直角”这一要点，若存在直角，直接运用勾股定 理三边关系进行计算；若无直角，则可作辅助线 构造直角，再进行计算.特别地，折叠问题一般与 方程思想同时出现. ☆问题解决策略：反思 [答案P41] 知识要点 对点训练 在立体图形上找最短路程，通常要把立体图 形展开成平面图形，再利用“两点之间线段最 短”这个基本事实，确定两点间的最短路线，构造 直角三角形，并利用勾股定理进行求解. 1.正方体中的最短路径模型 B B 模型 展开 A A 正方体的展开图有多种形式，由于正方体所 有的棱长都相等，因而无论经过哪两个面， 解读 展开图形中长方形的对角线都相等，利用两 点之间线段最短解决问题 1.如图，在边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正 方体下方的点A出发，沿着正方体的外表面爬 到其一顶点C′处的最短路程的平方是多少? D' C′ A' B' DL C A B 1题图 —3— 全程导练·八年级数学·北师版·上册 2.圆柱体中的最短路径模型 B B 模型 展开 A A 通常将圆柱的侧面展开得到一个长方形，研 解读 究两点连线最短问题，从而将曲面的最短路 径问题转化为平面最短路径问题 3.长方体中的最短路径模型 F F Df D EF 模型 E D- E展开 F C A B A BC A B A D E 解决长方体中的最短路径问题与解决正方 体的此类问题类似，但长方体的三条路径长 解读 分别是展开图形的三个长方形的对角线长， 且不相等，需通过计算找出最短路径 4.阶梯问题中的最短路径模型 B Ar 模型 展开 A- B 基本思路是将空间问题平面化，转化为研究 两点连线最短的问题.阶梯问题中图形的展 解读 开方式通常是唯一的，关键是不要有遗漏， 正确画出展开图 5.轴对称问题中的最短路径模型 A A 模型 P E 对称变换 P E B D C B D C 在等腰三角形ABC中，点B,C关于中线AD 解读 对称，P为AD上的动点，E为AC上的定点. 当点P在BE连线上时，PE+PC有最小值， 即BE的长 2.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直 立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是： 如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺， 则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛 藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到 达点 B处，求问题中葛藤的最短长度是多 少尺. B A 2题图 3.如图，一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分 别为8cm,8 cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的 点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁 设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短 路程是多少? B 12cm A8cm 8cm 3题图 4.如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形 草地上，放着一根长方体的木块，已知该木块 的较长边和草地宽AD平行，横截面是边长为 2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块 到达点C处需要走的最短路程是多少米? D C A B 4题图 5.如图，△ABC是等边三角形，AB=6,N是AB 的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的 一个动点，连接BM,MN,则BM+MN的最小 值的平方是_______ A N M B D C 5题图 —4—