2.1 认识实数-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

第二章 实数 第二章 实数 1 认识实数 [答案 P6] 知识要点分类练 知识点1 无理数的认识及概念 1.(广东佛山期末)下列各数中是无理数的是 ( ) A.2π B.0.3 C.0 D.-0.101001 0001 2.以下正方形的边长是无理数的是 ( ) A.面积为9的正方形 B.面积为49的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为25的正方形 3.下列说法：①有限小数都是有理数；②有理数都是 有限小数；③无理数都是无限小数；④无限小数都 是无理数.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.把下列各数填入对应的括号内：2.5,5,0,7, 1.010010 001,-2025,0.262 662 666⋯(相邻两 个2之间6的个数逐次加1). 有理数：{ 无理数：{ 知识点2实数的概念及分类 5.(安徽宣城期中)下列说法中，正确的是( ) A.无理数包括正无理数、零和负无理数 B.无限小数都是无理数 C.正实数包括正有理数和正无理数 D.实数可以分为正实数和负实数两类 知识点3实数的相反数、倒数、绝对值 6.2-π的绝对值是 ( ) A.2-π B.π-2 C.2 D.π 7.如图，四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别 为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数 中，绝对值最大的是 ( ) PN MQ 7题图 A.p B.q C.m D.n 8-的倒数是______ 知识点4 实数和数轴上的点——对应 9.(教材母题变式)下列说法正确的是 ( ) A.数轴上的点表示的数都是有理数 B.每一个实数都可以用数轴上的点来表示 C.有理数有无限个，无理数有有限个 D.无理数不能在数轴上表示 10.实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示， 下列关系式不正确的是 ( ) ab 0 1 c d 10题图 A.Ial>lbl B. Iacl=ac C.b-c<0 D.c+d>0 能力提升综合练 11.新情境>我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周 率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下 关于圆周率的说法正确的是 ( ) A.它是一个有理数 B.数轴上没有能表示它的点 C.它是一个实数 D.它大于3.15 12.一个正方形的面积是30,估计它的边长在 ( ) A.5与6之间 B.4与5之间 C.3与4之间 D.2与3之间 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 15 全程导练·八年级数学·北师版·上册 13.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形ABC中，边长不是有理数 的有________条. A C B -1 0(A)1 2 3A'4 13题图 14题图 14.如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点 A与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点 A与点A'重合，则点A′表示的数为______ 15.将,-5,0.23,2π,号,0 202002 0002—(相 邻两个2之间依次多1个0)填入相应的集合. 正数集合： ⋯}; 负数集合： ⋯}; 有理数集合： ⋯; 无理数集合： ⋯}. 16.数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题： 以0.3为例，老师给出了以下解答过程：(注： 0.3即0.333 33⋯) 设0.3为x,即0.3=x. 等式两边同时乘10,得3.3=10x, 即3+0.3=10x. 因为0.3=x,所以3+x=10x, 解得：x=3,即0.3=3 因为分数是有理数，所以0.3是有理数，同学们， 你们学会了吗?请根据上述材料，解决下列 问题： (1)无限循环小数0.2写成分数的形式是 _; (2)请用解方程的方法将0.21写成分数. 16 素养探究创新练 17.(福建三明期中)【操作感知】如图，长方形透明 纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直径，点 A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方 向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从 原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数 轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的 点A'与点B'重合，此时折痕与数轴交点表示的 数为________; 【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表 示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕 与数轴交点表示的数为_________(用含a,b的代 数式表示); 【问题解决】若C,D,E为数轴上不同的三点，点 C表示的数为-4,点D表示的数为2,C,D,E三 点中的一点到其余两点的距离相等，求点E表 示的数. B -5-4-3-2-1 0 3 4 5 17题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 全程导练·八年级数学·北师版·上册 6.解：按照答图①展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到 点C的距离是2,所以BD=2+5=7. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=242+72=625; 按照答图②展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到点C 的距离是2,所以BE=2+24=26,AE=5. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=BE2+AE2=262+52=701; 按照答图③展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到点C 的距离是2,所以AC=5+24=29,BC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=BC2+AC2=22+292=845. 因为625<701<845, 所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短，AB=25. 答：蚂蚁爬行的最短路程是25. BC D 2 24 5 10E A D A 2 5 BC 24 E A 24 2 D5 BC 6题答图① 6题答图② 6题答图③ 第一章 章末复习 【知识体系构建】 ①斜边的平方 ②a2+b2=c2③正整 【常考题型训练】 1.B 2.A 3.4或-6 4.解：(1)④ ⑤ ② (2)设题图③中直角三角形较长直角边长为a,较短直角边 长为b,由题意可知中间小正方形的边长为a-b=2,根据 大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形 的面积可知100=4×2ab+4,,所以2ab=96. 由勾股定理，得a2+b2=102, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196. 因为a+b>0,所以a+b=14,14+10=24, 所以一个直角三角形的周长是24. 5.B 6.直角 7.解：(1)连接CE,如答图. 因为D是BC的中点，DE⊥BC, EA 所以BD=CD,∠BDE=∠CDE=90°. 又因为DE=DE,所以△BDE≌△CDE, 所以BE=CE. B D C 7题答图 因为AC2=BE2-AE2, 所以AC2=CE2-AE2,即AE2+AC2=CE2, 所以△ACE是直角三角形，∠A=90°. (2)因为在Rt△BDE中，DE=6,BD=8, 由勾股定理，得BE2=BD2+DE2,所以BE=10, 所以CE=BE=10. 因为D是BC的中点， 所以BC=2BD=16. 设AE=x,则AC2=CE2-AE2=100-x2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(10+x)2+(100-x2)=162,解得x=15, 所以AE的长为 8.D 9.C 10.C 11.2 12.1.5 13.解：如答图所示，作点A关于BC的对称 A' 点A',连接A'G交BC于点Q,小虫沿着 A→Q→G的路线爬行时路程最短. B Q C 在Rt△A'EG中，∠A'EG=90°,A'E=E 80 cm,EG=60cm,所以A'G=100 cm, G F 所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm,A D 所以最短距离为100 cm. 13题答图 14.解：如答图，连接AB交纬一街于点C, 居民区A 快递站C 纬一街- BA? D 居民区B 14题答图 则快递站建在点C处时，到A,B两处居民区的距离之和最短. 过点B作BD⊥AA?,交AA的延长线于点D. 在Rt△ADB中，AD=AA?+BB?=0.5+0.7=1.2(千米), BD=A?B?=0.9千米. 由勾股定理，得AB2=AD2+BD2,即AB2=1.22+0.92, 所以AB=1.5千米， 所以此时快递站到居民区A,B的直线距离之和为1.5千米. 第二章 实数 1 认识实数 【知识要点分类练】 1.A 2.C 3.B 4.解：有理数：{2.5,0,一，1.010 010001,-2025} 无理数：{5,0.2626626⋯(相邻两个2之间6的个数 逐次加1)} 5.C 6.B 7.A 8.-π 9.B ·6· 参考答案及解析 10.B [解析]A选项，因为a对应的点比b对应的点到原点 的距离远，所以lal>1bl,故该选项不符合题意；B选项， 因为a<0,c>0,所以ac<0,所以lacl=-ac,故该选项符 合题意；C选项，因为b<c,所以b-c<0,故该选项不符合 题意；D选项，因为c>0,d>0,所以c+d>0,故该选项不 符合题意.故选B. 【能力提升综合练】 11.C 12.A 15.解：正数集合： 16.解:(1)9 【素养探究创新练】 13.2 14.π {-,023,2π,0.202002002-(相邻两 (2)设0.21为x,则21.21=100x,即21+0.21=100x. 个2之间依次多1个0),⋯}; 因为0.21=x,所以21+x=100x, 负数集合： 解得 {-5,-专5,} x=33,即0.21=33 有理数集合：{号,5.0.23,5-}; 无理数集合：|2π,0.202 002 0002⋯(相邻两个2之间依 次多1个0),⋯. 17.解：【操作感知】1 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 【知识要点分类练】 【建立模型】“ 【问题解决】设点E表示的数是x. 当点E到点C,D的距离相等，即E是CD中点时， x=-4+2=-1; 当点C到点E,D的距离相等，即C是ED中点时， -4=22,,解得x=-10; 当点D到点C,E的距离相等，即D是CE中点时， 2==4+,,解得x=8. 综上所述，点E表示的数为-1或-10或8. 1.B 2.3 3.解：(1)√1.44=5 (2)√316=4 (3)√(3)2=3 (4)√10-4的算术平方根为10 4.C 5.1 6.解：(1)0.01 25 4 7 (2)(√a)2(a≥0)=a,√a2=lal. 7.0.8 【能力提升综合练】 8.5≤x≤8 [解析]√(x-5)2+√(x-8)2=1x-51+ lx-81.①当x<5时，x-5<0,x-8<0,所以原式=5-x+ 8-x=13-2x,当13-2x=3时，x=5,舍去；②当5≤x≤8 时，x-5≥0,x-8≤0,所以原式=x-5+8-x=3;③当x> 8时，x-5>0,x-8>0,所以原式=x-5+x-8=2x-13, 当2x-13=3时，x=8,舍去.因为√(x-5)2+√(x-8)2= 3,所以x的取值范围是5≤x≤8,故答案为5≤x≤8. 9.解：根据题意，得2x+1=22=4,所以x=2,x+2=2,,所 以x+2的算术平方根为√2. 10.解：设长方形纸片的长为3xcm,宽为2xcm.由题意，得3x· 2x=24,所以x2=4,所以x=2,所以长方形纸片的长为 6cm,宽为4cm.因为面积为37 cm2的正方形纸片的边长 为√37 cm,√37>6,所以能剪出长、宽之比为3:2,且面积 为24cm2的长方形纸片. 第2课时 平方根 【知识要点分类练】 1.D 2.B 3.-8 4.解：依题意可知，m+2是3m+2,-(3m+2)两数中的一 个.①当m+2=3m+2时，解得m=0,则m+2=2,所以这 个正数为4;②当m+2=-(3m+2)时，解得m=-1,则 m+2=1,所以这个正数为1.综上所述，这个正数是4或1. 5.±5 ±16 6.解：(1)±13(2)±8 (3)±10-3.(4)±0.7. (5)±5(6)±√3. 7.解：(1)x=3或x=-2 (2)x=7或x=-5. 【能力提升综合练】 8.C ·7·