第1章 勾股定理 易错强化训练&第1章 勾股定理 章末复习-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

全程导练·八年级数学·北师版·上册 [答案 P5]第一章 易错强化训练 易错点1没有明确已知边是哪条边而忽视分类 讨论致错 1.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5, 则第三条边长的平方为____ 2.已知一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,若 a2=25,b2=144,则c2=_____ 3.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12.求 △ABC的周长. 易错点2由于图形形状或位置不定导致漏解 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=30 cm, BC=40 cm,动点P从点B出发沿射线 BA 以 2cm/s的速度运动.设运动时间为ts,则当t为多 少时，△BPC为直角三角形? A P B? c 4题图 12 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 易错点3 运用勾股定理的逆定理判断三角形的 形状时易受思维定式的影响而出错 5.判断以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形，其中a=5,b=1,c=4 易错点4 求解立体图形中的最短路程问题时，遗 漏展开方式 6.如图，长方体的长为10,宽为5,高为24,点B为 棱上一点，且BC=2,如果蚂蚁要沿长方体的表面 从点A爬到点B,求蚂蚁爬行的最短路程是多少. 2 D B C 24 今 10 E 6题图 第一章 勾股定理 第一章 章末复习 [答案 P6] 知识体系构建 直角三角形两直角边的平方和等于① 勾股 勾股定理定理 的验证 拼图法、面积法 判别条件：三角形的三边长a,b,c(a,b为直角 勾股 直角 边，c为斜边)满足②__ 三角 定理 勾股数：满足a2+b2=c2的三个③__数 形的 勾股定理 判别 的应用 实际应用、最短路径问题 常考题型训练 考点1勾股定理 1.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍 数后，得到的三角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.仍然是直角三角形 C.不可能是直角三角形 D.可能是钝角三角形 2.如果直角三角形的一条直角边长为5,斜边长比 另一直角边长多1,那么这个直角三角形的斜边 长为 ( ) A.13 B.15 C.24 D.25 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB边在数轴 上，若BC=3,以点A为圆心，AC长为半径画弧， 交数轴于点D,则点D表示的数是_______. C A B. -2-10 2 345 3题图 4.如图①是边长分别为a,b的两个正方形，经如 图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且 面积等于割补前的两个正方形的面积之和.利用 这个方法可以验证勾股定理. 请根据上述信息，回答下列问题： a. b:⑤ ④ C a X③ ① b c) ② C ⑥ 4题图① 4题图② 4题图③ (1)图②所示的割补过程为：割①补___,割 ___补⑥,割③补_____; (2)将图②完成拼接后得到图③,已知小正方形 的边长为2,大正方形的边长为10,试计算其 中一个直角三角形的周长. 考点2 勾股定理的逆定理 5.如图，在边长为1的正方形方格中，A,B,C,D均 为格点，构成图中三条线段AB,BC,CD.现在取出 这三条线段AB,BC,CD首尾相连拼三角形.下列 判断正确的是 ( ) A.能拼成一个锐角三角形 B.能拼成一个直角三角形 C.能拼成一个钝角三角形 D.不能拼成三角形 B B C C A2 D A 5题图 6题图 6.如图，已知正方形网格中的△ABC,若小方格边长 都为1,则△ABC是_____三角形. 13见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 全程导练·八年级数学·北师版·上册 7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，作DE⊥BC, 交AB于点E,且AC2=BE2-AE2. (1)试说明：∠A=90°; (2)若DE=6,BD=8,求AE的长. A E B D C 7题图 考点3勾股数 8.下列各组数中，可以构成勾股数的是 ( ) A.13,16,19 B.二，4,5 C.18,24,36 D.12,35,37 考点4勾股定理的应用 9.如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为 5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯 子外面的长度为h cm,则h的取值范围是( ) A.12 cm～19cm B.12 cm～13 cm C.11 cm～12cm D.5cm～12cm 9题图 10.如图，A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN//EF,某施工队在A,B,C三个村 之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°,∠CBE =25°,AB=160 km,BC=120 km,则A,C两村之 间的距离为 ( ) A.250 km B.240km C.200 km D.180 km M C E A B D 0.9m A Nl F C B 1.2m- 10题图 11题图 12题图 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,以点A为圆心， AC长为半径作圆弧交边AB于点D.若AC=3, BC=4,则BD的长为__________. 12.你听说过亡羊补牢的故事吗?如图，为了防止羊 的再次丢失，小明爸爸要在高0.9m、宽1.2m的 栅栏门的相对角顶点间加一块加固木板，这块木 板需_________m长. 14 13.如图为长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD= 80 cm,高AB=60cm,水深AE=40cm,在水面上 紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线 EF上，且 EG=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A沿壁爬进 鱼缸内G处吃鱼饵，求小虫爬行的最短距离. (鱼缸厚度忽略不计) Br C E GF A D 13题图 14.如图，纬一街两侧分别有A,B两个居民区，它们 到街道所在直线的距离分别为AA?=0.5千米， BB?=0.7千米，A?B?=0.9千米，现要在纬一街 修建一个快递站，且要它到居民区A,B的距离 之和最小，在图中标出快递站的位置，并求出此 时快递站到居民区A,B的直线距离之和. 居民区A 纬一街- B?A? 居民区B 14题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 参考答案及解析 因为-2AC·BH=—AB·BC,所以BH=34,,所以h(AC)= AC=BH=10-24=- B A H C C B D A 7题答图① 7题答图② (2)如答图②,过点C作CD⊥AB于点D. 设BD=x,则AD=21-x. 因为CD2=AC2-AD2=BC2-BD2, 所以202-(21-x)2=132-x2,解得x=5, 所以由勾股定理易得CD=12, 所以h(AB)=AB-CD=21-12=9. 专题2 勾股定理在折叠问题中的运用 1.B 2.B [解析]因为将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点 C落 在BD边上的点E处，所以AE=AC,DE=CD,AD⊥BC,所 以DE=CD=3,所以AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,所 以AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=(2+ 3)2-32=16.故选B. 3.3 [解析]因为四边形ABCD为长方形，所以AB=CD=6, AD=BC=8,∠DCB=90°.因为在Rt△BCD中，由勾股定理， 得 BD2=CD2+BC2,即62+82=BD2,所以BD=10.由折叠 的性质得∠DFE=∠DCB=90°,DF=DC=6,EF=EC,所以 ∠BFE=180°-∠DFE=90°.设EC=x,则EF=x,BE= 8-x,BF=BD-DF=10-6=4.在Rt△BEF中，由勾股定 理，得 BE2=EF2+BF2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,所 以EF=3. 4.5 [解析]连接BF,交AE于点H.因为BC=6,E为BC的 中点，所以BE=3.又因为AB=4,所以AE2=AB2+BE2=52. 易得1BH=1,则1BF=3.因为FE=BE=EC,易证∠BFC= 90. 根据勾股定理，得CR2=BC=BB=6=(4)2= (号),即cr=15 5.解：由折叠的性质，得∠AGE=∠ADC=90°,DE=GE, AG=CD=15. 设DE=GE=x,则AE=25-x. 在Rt△AEG中，由勾股定理，得AG2+GE2=AE2, 即152+x2=(25-x)2, 解得x=8, 所以DE=8,AE=17. 6.解：如答图，设CD与BE交于点G. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=3cm, CD=AB=4cm. D_OG C P A B 由折叠的性质可知△ABP≌△EBP, 6题答图 所以EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=4cm. 在△ODP和△OEG中，∠DOP=∠EOG,OD=OE,∠D=∠E, 所以△ODP≌△OEG,所以OP=OG,PD=GE,所以DG=EP, 设AP=EP=x cm,则PD=GE=(3-x)cm,DG=xcm, 所以CG=(4-x)cm,BG=4-(3-x)=(1+x)cm. 根据勾股定理，得BC2+CG2=BG2, 即32+(4-x)2=(x+1)2,解得x=号， 所以AP=号 cm,所以DP=3cm. 7.解：(1)由题意，知AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE. 又因为四边形ABCD是长方形，故AD//BC, 所以∠AEF=∠CFE,所以∠AFE=∠AEF, 所以AE=AF=EC=CF. (2)由题意，知AE=EC=a,ED=b,DC=c. 因为∠D=90°,所以ED2+DC2=CE2,即b2+c2=a2. 第一章 易错强化训练 1.16或34 2.169或119 3.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=52, 所以CD=5. BD2=AB2-AD2=92,所以BD=9, 所以BC=BD+CD=9+5=14. 由题意，得△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+14=42; 当△ABC为钝角三角形时，如答图②. 易证CD=5,BD=9, 所以BC=BD-CD=9-5=4, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+4=32. 综上所述，△ABC的周长为42或32. A B D C A B C D 3题答图① 3题答图② 4.解：当t=25或16时，△BPC为直角三角形. 5.解：因为(a2=(2)2-,b2=1,2=(3)=16, 所以b2+c2=a2. 所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜 边长). ·5· 全程导练·八年级数学·北师版·上册 6.解：按照答图①展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到 点C的距离是2,所以BD=2+5=7. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2=AD2+BD2=242+72=625; 按照答图②展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到点C 的距离是2,所以BE=2+24=26,AE=5. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2=BE2+AE2=262+52=701; 按照答图③展开，因为长方体的宽为5,高为24,点B到点C 的距离是2,所以AC=5+24=29,BC=2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=BC2+AC2=22+292=845. 因为625<701<845, 所以蚂蚁按答图①爬行时，路程最短，AB=25. 答：蚂蚁爬行的最短路程是25. BC D 2 24 5 10E A D A 2 5 BC 24 E A 24 2 D5 BC 6题答图① 6题答图② 6题答图③ 第一章 章末复习 【知识体系构建】 ①斜边的平方 ②a2+b2=c2③正整 【常考题型训练】 1.B 2.A 3.4或-6 4.解：(1)④ ⑤ ② (2)设题图③中直角三角形较长直角边长为a,较短直角边 长为b,由题意可知中间小正方形的边长为a-b=2,根据 大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形 的面积可知100=4×2ab+4,,所以2ab=96. 由勾股定理，得a2+b2=102, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196. 因为a+b>0,所以a+b=14,14+10=24, 所以一个直角三角形的周长是24. 5.B 6.直角 7.解：(1)连接CE,如答图. 因为D是BC的中点，DE⊥BC, EA 所以BD=CD,∠BDE=∠CDE=90°. 又因为DE=DE,所以△BDE≌△CDE, 所以BE=CE. B D C 7题答图 因为AC2=BE2-AE2, 所以AC2=CE2-AE2,即AE2+AC2=CE2, 所以△ACE是直角三角形，∠A=90°. (2)因为在Rt△BDE中，DE=6,BD=8, 由勾股定理，得BE2=BD2+DE2,所以BE=10, 所以CE=BE=10. 因为D是BC的中点， 所以BC=2BD=16. 设AE=x,则AC2=CE2-AE2=100-x2. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(10+x)2+(100-x2)=162,解得x=15, 所以AE的长为 8.D 9.C 10.C 11.2 12.1.5 13.解：如答图所示，作点A关于BC的对称 A' 点A',连接A'G交BC于点Q,小虫沿着 A→Q→G的路线爬行时路程最短. B Q C 在Rt△A'EG中，∠A'EG=90°,A'E=E 80 cm,EG=60cm,所以A'G=100 cm, G F 所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm,A D 所以最短距离为100 cm. 13题答图 14.解：如答图，连接AB交纬一街于点C, 居民区A 快递站C 纬一街- BA? D 居民区B 14题答图 则快递站建在点C处时，到A,B两处居民区的距离之和最短. 过点B作BD⊥AA?,交AA的延长线于点D. 在Rt△ADB中，AD=AA?+BB?=0.5+0.7=1.2(千米), BD=A?B?=0.9千米. 由勾股定理，得AB2=AD2+BD2,即AB2=1.22+0.92, 所以AB=1.5千米， 所以此时快递站到居民区A,B的直线距离之和为1.5千米. 第二章 实数 1 认识实数 【知识要点分类练】 1.A 2.C 3.B 4.解：有理数：{2.5,0,一，1.010 010001,-2025} 无理数：{5,0.2626626⋯(相邻两个2之间6的个数 逐次加1)} 5.C 6.B 7.A 8.-π 9.B ·6·