专题1 数学思想在勾定理中的运用&专题2 勾股定理在折要问题中的运用-【中考123】2025-2026学年新教材八年级上册数学全程导练（北师大版2024）

全程导练·八年级数学·北师版·上册 [答案P4]专题1 数学思想在勾股定理中的运用 类型 分类讨论思想 方法指导： 如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而 论时，那么必须按照可能出现的所有情况进行讨论， 得出各种情况下相应的结论. 1.(辽宁沈阳期末)已知一个直角三角形的两边长 分别为3和4,则第三边长的平方是 ( ) A.5 B.25 C.25或7 D.7 2.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=3, P为边BC的三等分点，连接AP,则AP2的值为— 类型2转化思想 方法指导： 转化就是把未知转化为已知，把复杂的问题转 化为简单的问题，把复杂的图形转化为基本图形. 3.如图，已知在Rt△ABC中，E,F分别是边AB,AC 上的点，AE=3AB,AF=3AC,分别以BE,EF,FC 为直径作半圆，面积分别为S?,S?,S?,则S?,S?,S? 之间的关系是 ( ) A.S?+S?=2S? B.S?+S?=4S? C.S?=S?=S? D.S?=(S?+S) D C A S? E F E A Sy S2 S? B S? B C F G 3题图 4题图 4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， 点B在EF上，S?=140,S?=124,则BE的长为—_. 类型3 方程思想 方法指导： 在解决数学问题时，有一种将未知转化为已知 的方法，就是设元法，通过设元法寻找已知和未知之 间的等量关系，构造方程，然后解方程，完成未知向 已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想. 5.(教材母题变式)如图，在垂直于地面5米高的树 的树根B处有一个蛇洞，树顶A处有一只鹰，在 距离洞口25米的C处有一条蛇正往蛇洞爬，鹰看 10 见蛇之后迅速飞行抓捕，恰好在D处抓住蛇，若 鹰飞行的速度与蛇爬行的速度相同，则鹰飞行的 距离为____米. 0 A C D B 5题图 6.如图，在△ABC中，BC=4,AC=13,AB=15,求 △ABC的面积. A B C 6题图 7.我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这 条边与这条边上高的差.如图①,在△ABC中，CD 为BA边上的高，边BA的“线高差”等于BA- CD,记为h(BA). (1)若△ABC中，∠B=90°,AB=6,BC=8,则 h(AC)=_______; (2)如图②,在△ABC中，AB=21,AC=20,BC= 13,求h(AB)的值. C B DA C B A 7题图① 7题图② 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 第一章 勾股定理 专题2 勾股定理在折叠问题中的运用 [答案P5] 1.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°,AC= 8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折，使点B落在直 角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,则CE 的长为 ( ) A.1 cm B.2cm C.3 cm D.4cm A A CF D B E BE D C 1题图 2题图 2.如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在 BD边上的点E处.若BC=8,BE=2,则AB2-AC2 的值为 ( ) A.10 B.16 C.6 D.4 3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,AD=8,点 E在BC边上，将△DCE沿DE折叠，使点C恰好 落在对角线 BD上的点F处，则EF的长为 A┌ D A D F E B E ℃ B E C 3题图 4题图 4.如图，在长方形ABCD中，AB=4,BC=6,E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形 内点F处，连接CF,则CF的长为__________. 5.如图，在长方形ABCD中，AB=15,BC=25,E,F 分别是边AD,BC上一点，将长方形ABCD沿EF 折叠，点C恰好与点A重合，点D落在点G处，求 AE的长. G Af E. D B F C 5题图 6.如图，在长方形ABCD中，AB=4cm,BC=3cm,P 为AD上一点，将△ABP沿着BP翻折至△EBP, PE与CD交于点0,且OE=OD,求DP的长. D0 E C P A B 6题图 7.如图，将长方形ABCD沿直线 EF折叠，使点C与点 A重合，折痕交AD于点E,交BC于点F,连接CE. (1)试说明：AE=AF=CE=CF; (2)设AE=a,ED=b,DC=c,请写出一个a,b,c 三者之间的数量关系式. D' Ar E D BF C 7题图 见此图标眼抖音/微信扫码 领取你的考场冲副政画上 11 全程导练·八年级数学·北师版·上册 即(7-2t)2+42=(10-2t)2,解得=35 综上所述，当t的值为-52或2或3亿时，△PAE是等腰三角形. ②当PE⊥AE时，△PEA是直角三角形. 如答图③,过点E作EM⊥AB于点M,C E D 所以易知四边形ADEM是长方形. 由①知PM=PA-AM=10-2t-3 =7-21,EM=AD=4. B+P M A 在Rt△PEM中，由勾股定理，得 13题答图③ PE2=EM2+PM2=42+(7-2t)2. 因为PA=10-2t,AE=5, 所以在Rt△APE中，由勾股定理，得PE2+AE2=PA2, 即42+(7-21)2+52=(10-2t)2,解得1=5, 所以当t的值为56时，PE⊥AE. ☆问题解决策略：反思 1.B 2.D 3.7.5 4.5 5.25 6.解：蚂蚁爬行的路径展开图如答图. 因为PB=AB=6,AQ=2, 所以BQ=6+2=8, 所以PQ2=PB2+BQ2=62+82=100=102, 所以PQ=10. 答：蚂蚁爬行的最短路程是10. Q A p B 6题答图 7.解：根据题意，画出示意图如答图所示，可能的路径有三种 情况.AB的长即为A处到B处的最短路程.I.如答图①, AB2=AD2+BD2=(10+5)2+82=289;Ⅱ.如答图②, AB2=AN2+NB2=52+(10+8)2=349;Ⅲ.如答图③, AB2=AH2+HB2=102+(5+8)2=269.由于砖放地面上时 答图②、答图③的路线不可到达，所以A处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路程是答图①中AB的长度，由 AB2=289,可得AB=17. M C M C B B. N D B C E N- D A N D A H A H 7题答图① 7题答图② 7题答图③ 8.解：(1)如答图，作点B关于直线MN的对称点C,连接AC 交MN于点P,则点P即为所建出口，此时A,B两城镇到出 口P的距离之和最小，最短距离为AC的长. B A D M A' P B N C 8题答图 (2)如答图，作AD⊥BB′于点D,在Rt△ADC中，AD= A'B'=8km,DC=4+(4-2)=6(km),所以AD2+DC2= AC2,AC=10km,即这个最短距离为10km. 专题1 数学思想在勾股定理中的运用 1.C [解析]本题分两种情况：①当3和4为直角边长时，由 勾股定理得第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42= 25;②当4为斜边长时，由勾股定理得第三边长的平方= 42-32=7.综上所述，第三边长的平方是25或7.故选C. 2.13或10 [解析]I.如答图①.因为∠ACB=90°,BC= AC=3,所以PB= 3 BC=1,,所以CP=2,所以AP2=AC2+ PC2=32+22=13;Ⅱ.如答图②因为∠ACB=90°,BC= AC=3,所以PC= BC=1,,所以AP2=AC2+PC2=32+ I2=10.综上所述，AP2的值为13或10. C P A- B C P A- B 2题答图① 2题答图② 3.B [解析]因为在Rt△ABC中，,AE= 3AB,AF=3AC,所以 AE=2 BE,AF=—C.因为EF2=AE2+AF2,所以EF2= 4BB2+ CR2,所以2πE2=·(B2+ 4CF2),即S?=4(Si+S?),,所以S?+S?=4S?·故选B. 4.4 [解析]设△ABE的面积为S.因为S正方形ABCD=S+S?= S+140,S正方形AEFG=S+S?=S+124.而S正方形ABCD=AB2, S正方形AEFG=AE2,所以AB2-AE2=140-124=16.在 Rt△ABE中，BE2=AB2-AE2=16,所以BE=4. 5.13 [解析]设AD的长度为x米，根据题意，得CD=AD= x米，DB=CB-CD=(25-x)米.在Rt△ABD中，∠ABD= 90°.由勾股定理，得AB2+DB2=AD2,即52+(25-x)2= x2,解得x=13,故鹰飞行的距离为13米. 6.解：过点A作AD⊥BC于点D. 设CD=x,因为AC2-CD2=AB2-BD2, 所以132-x2=152-(4+x)2,解得x=5, 所以AD2=AC2-CD2=144, 所以AD=12,所以：SAnc= BC·AD=24. 7.解：(1) [解析]如答图①,过点B作BH⊥AC于点H.因 为∠ABC=90°,AB=6,BC=8,所以由勾股定理易得AC=10. ·4· 参考答案及解析 因为-2AC·BH=—AB·BC,所以BH=34,,所以h(AC)= AC=BH=10-24=- B A H C C B D A 7题答图① 7题答图② (2)如答图②,过点C作CD⊥AB于点D. 设BD=x,则AD=21-x. 因为CD2=AC2-AD2=BC2-BD2, 所以202-(21-x)2=132-x2,解得x=5, 所以由勾股定理易得CD=12, 所以h(AB)=AB-CD=21-12=9. 专题2 勾股定理在折叠问题中的运用 1.B 2.B [解析]因为将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点 C落 在BD边上的点E处，所以AE=AC,DE=CD,AD⊥BC,所 以DE=CD=3,所以AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,所 以AB2-AC2=AD2+BD2-AD2-CD2=BD2-CD2=(2+ 3)2-32=16.故选B. 3.3 [解析]因为四边形ABCD为长方形，所以AB=CD=6, AD=BC=8,∠DCB=90°.因为在Rt△BCD中，由勾股定理， 得 BD2=CD2+BC2,即62+82=BD2,所以BD=10.由折叠 的性质得∠DFE=∠DCB=90°,DF=DC=6,EF=EC,所以 ∠BFE=180°-∠DFE=90°.设EC=x,则EF=x,BE= 8-x,BF=BD-DF=10-6=4.在Rt△BEF中，由勾股定 理，得 BE2=EF2+BF2,即(8-x)2=x2+42,解得x=3,所 以EF=3. 4.5 [解析]连接BF,交AE于点H.因为BC=6,E为BC的 中点，所以BE=3.又因为AB=4,所以AE2=AB2+BE2=52. 易得1BH=1,则1BF=3.因为FE=BE=EC,易证∠BFC= 90. 根据勾股定理，得CR2=BC=BB=6=(4)2= (号),即cr=15 5.解：由折叠的性质，得∠AGE=∠ADC=90°,DE=GE, AG=CD=15. 设DE=GE=x,则AE=25-x. 在Rt△AEG中，由勾股定理，得AG2+GE2=AE2, 即152+x2=(25-x)2, 解得x=8, 所以DE=8,AE=17. 6.解：如答图，设CD与BE交于点G. 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=3cm, CD=AB=4cm. D_OG C P A B 由折叠的性质可知△ABP≌△EBP, 6题答图 所以EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=4cm. 在△ODP和△OEG中，∠DOP=∠EOG,OD=OE,∠D=∠E, 所以△ODP≌△OEG,所以OP=OG,PD=GE,所以DG=EP, 设AP=EP=x cm,则PD=GE=(3-x)cm,DG=xcm, 所以CG=(4-x)cm,BG=4-(3-x)=(1+x)cm. 根据勾股定理，得BC2+CG2=BG2, 即32+(4-x)2=(x+1)2,解得x=号， 所以AP=号 cm,所以DP=3cm. 7.解：(1)由题意，知AF=CF,AE=CE,∠AFE=∠CFE. 又因为四边形ABCD是长方形，故AD//BC, 所以∠AEF=∠CFE,所以∠AFE=∠AEF, 所以AE=AF=EC=CF. (2)由题意，知AE=EC=a,ED=b,DC=c. 因为∠D=90°,所以ED2+DC2=CE2,即b2+c2=a2. 第一章 易错强化训练 1.16或34 2.169或119 3.解：分两种情况求解： 当△ABC为锐角三角形时，如答图①. 在Rt△ACD和Rt△ABD中， 由勾股定理，得CD2=AC2-AD2=52, 所以CD=5. BD2=AB2-AD2=92,所以BD=9, 所以BC=BD+CD=9+5=14. 由题意，得△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+14=42; 当△ABC为钝角三角形时，如答图②. 易证CD=5,BD=9, 所以BC=BD-CD=9-5=4, 所以△ABC的周长=AB+AC+BC=15+13+4=32. 综上所述，△ABC的周长为42或32. A B D C A B C D 3题答图① 3题答图② 4.解：当t=25或16时，△BPC为直角三角形. 5.解：因为(a2=(2)2-,b2=1,2=(3)=16, 所以b2+c2=a2. 所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形(其中a为斜 边长). ·5·