2025年九年级数学秋季开学摸底考（北京专用）

2025年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D B A 二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分． 9．且 10．（答案不唯一） 11． 12．10 13． 14．或 15． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明： 该方程总有两个实数根 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 17．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴ 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 18．(1)， (2)． 【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 19．(1)，图象见解析； (2) 【详解】（1）解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下：    （2）当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 20．(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 21．(1)（1）①作图见解答；② (2)，理由见解析 【详解】（1）解：①补全图形如图， ②由旋转得，，旋转角度为， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接并延长，交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由旋转得，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即：． 22．(1)2， (2) (3)，或 【详解】（1）∵点， ∴轴，到x轴的距离为2， ∵线段是x轴，y轴的“相合图形”， ∴线段上异于点A的另一点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∵， ∴，， 取（答案不唯一）， 故答案为：2，； （2）设直线分别交x轴、y轴于点E、F， 中，令，则， ∴； 令，则 ∴， ∴， ∵点C，D在直线上， ∴， ∵点C在点D左侧且， ∴， ∴C，D的水平距离和竖直距离都是1， ∴， ∵线段是直线，x轴的“相合图形”， ∴当点C到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，；　 当点D到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，， ∵线段上两个点不重合， ∴； 故点C的横坐标的取值范围是：； （3）设正方形为，如图，在中，令，则，令，则，∴， ∵点在直线上， ∴为， 过点作直线、， ∵正方形边长为2，四条边分别与两坐标轴垂直，中心T在直线上，点T的横坐标为t， ∴， ∴， 过点F、E作与x轴成最小角为的射线， ∵正方形是直线的“相合图形”， ∴当点Q在直线上，且到直线的距离相等时，，∵此时， ∴， ∴； 当点M在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点N在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点P在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴， ∵当点P在直线上，到直线的距离等于16时，点N到直线的距离等于16，点Q到直线的距离等于16, ∴可以找到不同两点到直线的距离等于16， 同理，点Q，M，N到直线的距离相等时，也可以找到另外一点到直线的距离与之相等， 故t的取值范围是：，或 ． 2/10 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、选择题（ 共 8 小题， 每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 填空题：本题共 7 小题，每 题3 分，共 21 分． 9 ． _________ 10. _ __________ 11. _________ 12. ___________ 1 3 ． _________ 14. ___________ 15. _________ 三 、解答题（共 5 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 1 6 ．（ 6 分） （ 1 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6 ． （ 2 ） 17. （ 7 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ． （ 6 分） （ 1 ） （ 2 ） 19 ． （ 6 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题：本题共 7小题，每题 3分，共 21 分． 9．_________ 10.___________ 11._________ 12.___________ 13．_________ 14.___________ 15. _________ 三、解答题（共 55 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（6 分） （1） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （2） 17. （7 分） （1） （2） 18．（6 分） （1） （2） 19．（6 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（10 分） 22.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册全部内容+九年级上册《一元二次方程》《二次函数》 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．二次函数的图象的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．每一个外角都是的正多边形是（   ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 4．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 5．下列判断错误的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相互垂直的矩形是正方形 C．一组邻角互补的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 6．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 频数 乙的成绩 环数 频数 丙的成绩 环数 频数 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分． 9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 ． 10．已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点，请写出一个符合条件的函数解析式为 ． 11．若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 12．如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 13．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为 ． 14．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 15．级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小菲 26 小冬 12 小敏 10 根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为 分，小敏恰有 轮获得第二名． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 17．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 18．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 19．某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．    (1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 21．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 22．在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线的距离与点N到直线的距离相等，则称图形W是直线，的“相合图形”． 如图1，直线，交于点P，三角形W是直线，的“相合图形” (1)已知点，线段上任一点到x轴的距离为______，若线段是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______； (2)点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“相合图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； (3)直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形是直线的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22025年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．二次函数的图象的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， 故选：． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，其步骤为：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数． 根据配方法解一元二次方程的步骤即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B ． 3．每一个外角都是的正多边形是（   ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数． 【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于， ∴这个多边形的边数是， ∴每一个外角都是的正多边形是正五边形， 故选：B． 4．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A 5．下列判断错误的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相互垂直的矩形是正方形 C．一组邻角互补的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质，据此相关内容性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故该说法是正确的； B、对角线相互垂直的矩形是正方形，故该说法是正确的； C、一组邻角互补的四边形不能证明是平行四边形，故该说法是错误的； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该说法是正确的； 故选：C 6．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 频数 乙的成绩 环数 频数 丙的成绩 环数 频数 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方差，熟记方差公式是解题的关键，方差公式计算即可解答． 【详解】解：甲的平均数为 方差； 乙的平均数为 方差； 丙的平均数为 方差； 所以 故选：D． 7．如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在中， ， ， ， 故选B． 8．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据即可判断；②根据题意可推出四边形是正方形，结合即可判断；③证，结合即可判断； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴ 即：，故③错误； ∵，， ∴四边形均是矩形 ∵， ∴四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴，故①正确； ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故②正确； 故选：A 二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分． 9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为0的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， 故答案为：且． 10．已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点，请写出一个符合条件的函数解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限． 正比例函数经过二、四象限，得到，又不经过，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， 当经过时，， 由题意函数不经过，说明， 故可以写的函数解析式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 11．若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 分别求出与的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 13．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年原油产量=2021年原油产量×（1+这两年的平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：，即． 故答案为：． 14．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分为钝角和锐角，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴， 在中，； 当为钝角时，则：； 当为锐角时，则：； 故答案为：或． 15．级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小菲 26 小冬 12 小敏 10 根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为 分，小敏恰有 轮获得第二名． 【答案】 【分析】根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“小菲的得分最高为”可计算出的值．假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解． 【详解】解：∵每轮分别决出第一二三名（不并列） ∴ ∴ ∵小菲的得分最高为 ∴ ∵，且均为正整数 ∴的最小值分别为 ∴ 故 所以每轮比赛第二名得分为分； ∵ ∴小菲轮得第一，轮得第三 设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为：（分） 与小敏的实际得分不符合 故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一 ∵（分） 即小冬剩余未知的三轮总分为4分， ∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三， ∴小冬轮得第一，轮得第二，轮得第三， 又∵小菲轮得第一，轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6， ∴小敏轮得第二，轮得第三 故答案为： 【点睛】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式： （1）根据根与系数的关系判断即可； （2）利用求根公式判断即可． 【详解】（1）证明： 该方程总有两个实数根 （2）解：根据求根公式得 该方程有一个根小于 17．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴ 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 18．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴． （1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可； （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围． 【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：函数图象如图所示 由（1）可知，对称轴为， 所以令时，， 当时， ∴能取到最小值， 即． 19．某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．    (1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，图象见解析； (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信息等知识． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可； （2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可设，， 当音量为时，听觉舒适度为6； ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 图象如下：    （2）当时，， 解得或， 由图2可得，当时，，当时，， ∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围， 故答案为： 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 21．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)（1）①作图见解答；② (2)，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由旋转得，，旋转角度为，得出，则，结合垂直，求得，即可解答； （2）连接并延长，交延长线于点，连接，先证明，再证明，得，，利用平行得，则可得，则，再证明是的中位线，即可得． 【详解】（1）解：①补全图形如图， ②由旋转得，，旋转角度为， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接并延长，交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由旋转得，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 即：． 22．在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线的距离与点N到直线的距离相等，则称图形W是直线，的“相合图形”． 如图1，直线，交于点P，三角形W是直线，的“相合图形” (1)已知点，线段上任一点到x轴的距离为______，若线段是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______； (2)点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“相合图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； (3)直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形是直线的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 【答案】(1)2， (2) (3)，或 【分析】（1）根据轴，到x轴的距离为2，线段是x轴，y轴的“相合图形”，得到，可以取（答案不唯一）； （2）根据，点C在点D左侧且，得到，当，得到，当，得到；根据线段是直线，x轴的 “相合图形”，上面两点不重合，即得； （3）设正方形为，直线交坐标轴于，根据点在直线上，得到，作直线、，根据正方形特点得到，得到， 过点F、E作与x轴成最小角为的射线，当点Q在直线上，且到直线的距离相等时，， ，得到；当点M在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到；当点N在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到；当点P在直线上，且到直线的距离相等时，，，得到，根据正方形的四个顶点到直线的距离相等时，在边上可以找到另外的点到直线的距离与之相等，即得，或 ． 【详解】（1）∵点， ∴轴，到x轴的距离为2， ∵线段是x轴，y轴的“相合图形”， ∴线段上异于点A的另一点到y轴的距离为2， ∴， ∴， ∵， ∴，， 取（答案不唯一）， 故答案为：2，； （2）设直线分别交x轴、y轴于点E、F， 中，令，则， ∴； 令，则 ∴， ∴， ∵点C，D在直线上， ∴， ∵点C在点D左侧且， ∴， ∴C，D的水平距离和竖直距离都是1， ∴， ∵线段是直线，x轴的“相合图形”， ∴当点C到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，；　 当点D到直线，x轴的距离相等时， ， 解得，， ∵线段上两个点不重合， ∴； 故点C的横坐标的取值范围是：； （3）设正方形为，如图，在中，令，则，令，则，∴， ∵点在直线上， ∴为， 过点作直线、， ∵正方形边长为2，四条边分别与两坐标轴垂直，中心T在直线上，点T的横坐标为t， ∴， ∴， 过点F、E作与x轴成最小角为的射线， ∵正方形是直线的“相合图形”， ∴当点Q在直线上，且到直线的距离相等时，，∵此时， ∴， ∴； 当点M在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点N在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴； 当点P在直线上，且到直线的距离相等时，， ∵此时， ∴， ∴， ∵当点P在直线上，到直线的距离等于16时，点N到直线的距离等于16，点Q到直线的距离等于16, ∴可以找到不同两点到直线的距离等于16， 同理，点Q，M，N到直线的距离相等时，也可以找到另外一点到直线的距离与之相等， 故t的取值范围是：，或 ． 【点睛】本题主要考查了新定义——“相合图形”．熟练掌握新定义性质，两点间的距离计算方法，点到坐标轴的距离，点到平行坐标轴的直线的距离，等腰直角三角形性质，正方形性质，分类讨论，是解决问题的关键． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教版八年级下册全部内容+九年级上册《一元二次方程》《二次函数》 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 1．二次函数的图象的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．每一个外角都是的正多边形是（   ） A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 4．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 5．下列判断错误的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线相互垂直的矩形是正方形 C．一组邻角互补的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 6．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩 环数 频数 乙的成绩 环数 频数 丙的成绩 环数 频数 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，点E，F分别是边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，交于点D，连接设，，，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分． 9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么k的取值范围是 ． 10．已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点，请写出一个符合条件的函数解析式为 ． 11．若点，在抛物线上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 12．如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 13．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原油产量从2021年到2023年增长了，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程为 ． 14．小明同学想利用“，，”，这三个条件作．他先作出了和，再作，那么的长是 ． 15．级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小菲 26 小冬 12 小敏 10 根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为 分，小敏恰有 轮获得第二名． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于，求的取值范围． 17．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 18．已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … (1)求此抛物线的解析式； (2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围． 19．某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．    (1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）． 20．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 21．已知，将绕点逆时针旋转到，使得点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 22．在平面直角坐标系中，对于相交的直线，和图形W，给出如下定义：如果在图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线的距离与点N到直线的距离相等，则称图形W是直线，的“相合图形”． 如图1，直线，交于点P，三角形W是直线，的“相合图形” (1)已知点，线段上任一点到x轴的距离为______，若线段是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______； (2)点C，D在直线上，点C在点D左侧且，若线段是直线，x轴的“相合图形”，直接写出点C的横坐标的取值范围； (3)直线与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形的四条边分别与两坐标轴垂直，其中心T在直线上，若在线段上存在点，使得正方形是直线的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 $$