1.4 充分条件与必要条件-2025-2026学年高一数学同步讲义人教A版2019必修第一册

高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.4 充分条件与必要条件 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】命题的定义 1 【知识点2】充分条件与必要条件 3 【知识点3】充要条件 5 【知识点4】从不同的角度理解充分条件和必要条件 8 【题型一】命题的概念 10 【题型二】判断命题的真假 12 【题型三】充分条件的判定及性质 15 【题型四】必要条件的判定及性质 18 【题型五】判断命题的充分不必要条件 20 【题型六】根据充分不必要条件求参数 22 【题型七】判断命题的必要不充分条件 23 【题型八】根据必要不充分条件求参数 25 【题型九】根据充要条件求参数 27 【题型十】既不充分也不必要条件 29 【题型十一】充要条件的证明 31 【题型十二】探求命题为真的充要条件 32 【题型十三】证明命题的充要性 33 知识点讲解 【知识点1】命题的定义 1．命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2．命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 【例题1】．（24-25高一上·上海·课前预习）推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指 满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即 ．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指 满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作 ． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则 ． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 【答案】 所有 满足满足 存在 （或 【难度】0.94 【知识点】命题的概念 【分析】略 【详解】略 【例题2】．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【难度】0.94 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 【例题3】．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【难度】0.85 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 【知识点2】充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的关系 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【要点解释】 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【例题1】．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据充分、必要性定义，根据条件间的推出关系判断关系即可. 【详解】若，对于有，即方程有实数解，充分性成立； 当时，方程有实数解， 当时，则有实数解，则，可得且，必要性不成立； 所以“”是“方程有实数解”的充分不必要条件. 故选：A 【例题2】．（24-25高一上·贵州遵义·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】解不等式，根据必要不充分定义得到结果. 【详解】因为，所以， 则“”是“”的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B. 【例题3】．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的并集运算来判断与之间的条件关系. 【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件. 若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出，所以不是的必要条件. 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 【例题4】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解. 【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 【知识点3】充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法： (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【例题1】．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断A；根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断B；根据不一定推出且成立即可判断C；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断D． 【详解】对于A， 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， 由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，故B正确； 对于C， 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D， 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，故D正确； 故选：BD． 【例题2】．（24-25高三上·河南周口·期末）设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合、既不充分也不必要条件 【分析】应用特殊值法分别判断既不充分条件及不必要条件即可. 【详解】因为集合，， 所以但，故充分性不成立； 但，故必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例题3】．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】取，可判断充分性不成立；取，可判断必要性不成立，从而得到答案. 【详解】取，此时，则充分性不成立；取，此时，则必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例题4】．（24-25高一上·安徽·期中）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，取，，但， 所以不能推出； 当时，取，，但， 所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 【知识点4】从不同的角度理解充分条件和必要条件 1.从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: (1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； (2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； (3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； (4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， (1)若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的必要不充分条件； (4)若A＝B，则p是q的充要条件； (5)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 3.判断充分必要条件的关键： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 4.从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 【例题2】．（24-25高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 【答案】(1)是的充分必要条件. (2)是的充分不必要条件. (3)是的必要不充分条件. 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分、必要条件条件的定义判断即可. 【详解】（1）在中，显然有，所以是的充分必要条件. （2）由，则或； 当时，满足或，但， 所以是的充分不必要条件. （3）由得或； 所以是的必要不充分条件. 题型总结 【题型一】命题的概念 【例题1-1】．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【难度】0.85 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 【例题1-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】命题的概念 【分析】（1）利用命题的定义判断即可. （2）利用命题的定义判断即可. （3）利用命题的定义判断即可. （4）利用命题的定义判断即可. （5）利用命题的定义判断即可. （6）利用命题的定义判断即可. 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 【题型二】判断命题的真假 【例题2-1】．（2024高三·全国·专题练习）下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】根据集合之间的包含与不包含的定义，利用反例，可得答案. 【详解】对于①，因集合A，B满足，则由集合包含关系的定义知，对任意，都有，①是真命题； 对于②，因集合A，B满足⊈B，则由集合不包含关系的定义知，存在，使得，②是真命题； 对于③，显然是无理数，也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然是无理数，却是有理数，则④是假命题. 所以①②是真命题. 故选：B. 【例题2-2】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 【例题2-3】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【例题2-4】．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 【例题2-5】．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】判断每个选项的命题的真假即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则，都为无理数，故C错误； 对于D，取，则，满足条件，故D正确； 故选：AD 【例题2-6】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【详解】A，D是真命题，B中同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B错误；C中平行四边形不是梯形，故C错误． 【例题2-7】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【分析】举例子即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，成立，故A正确， 对于B，1既不是合数也不是质数，故B正确， 对于C,当，是无理数，故C正确， 对于D,负数没有算术平方根，故D错误， 故选：ABC 【题型三】充分条件的判定及性质 【例题3-1】．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得的取值范围，再根据充分不必要条件即可得结论. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 【例题3-2】．（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充分条件的判定及性质 【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 【例题3-3】．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、充分条件的判定及性质 【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 【例题3-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、充分条件的判定及性质 【分析】（1）利用集合的基本运算即可得到结果. （2）由是的充分条件可得，讨论和，根据子集的概念即可得结果. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）∵是的充分条件，∴. 当时，，即，满足； 当时，， 由可得，解得. 综上，实数的取值范围为或 【例题3-5】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数、充分条件的判定及性质 【分析】（1）根据给定条件，化简集合并求出，再结合判别式求出，然后利用集合的包含关系求出的范围. （2）由及（1）求出，再按成立不成立和不成立成立分类求解即可. 【详解】（1）由有意义，得，解得，此时， 因此，， 由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得， 解得，由，得，则，即， 所以实数c的取值范围是. （2）当时，，，， 当成立，不成立时，且，则， 当不成立，成立时，且，则，因此， 所以实数m的取值范围是. 【题型四】必要条件的判定及性质 【例题4-1】．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 【例题4-2】．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 【例题4-3】．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】利用必要条件的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，则是的必要条件，A是； 对于B，，又，则是的充分不必要条件，B不是； 对于C，方程有实根，则，解得， 而，因此是方程有实根的必要条件，C是； 对于D，，则是的必要条件，D是. 故选：ACD 【例题4-4】．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解. （2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. （3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 【题型五】判断命题的充分不必要条件 【例题5-1】．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【例题5-2】．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件 【分析】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可. 【详解】令，解得或， 则可以推出，充分性成立， 推不出，必要性不成立， 得到是的充分不必要条件， 故是真命题，则是假命题， 令，得到，化简得， 解得或，则， 故是真命题，则是假命题， 即和都是假命题，故D正确. 故选：D 【例题5-3】．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，一定成立，故充分性成立， 当时，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 【例题5-4】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由充分、必要条件的判断，结合不等式求解即可判断. 【详解】由，可得， 可得：，也即且， 可得，可得， 若，取，显然不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【题型六】根据充分不必要条件求参数 【例题6-1】．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质 【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 【例题6-2】．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 【例题6-3】．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 【题型七】判断命题的必要不充分条件 【例题7-1】．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】由命题“，”为真命题 可得，恒成立， 即可得，则可推得，必要性成立 而推不出，充分性不成立， ，”为真命题的一个必要不充分条件是； 故选：A 【例题7-2】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【详解】由得图： 或 对于①，等价于，故①正确；对于②，等价于，故②错误；对于③，等价于，故③正确；对于④，“”是“”的必要且不充分条件等价于，故④错误.所以与等价的有①③，共2个. 【例题7-3】．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 【例题7-4】．（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】由命题间的必要不充分条件判断即可. 【详解】命题p：即， 命题q：即， 所以命题能推出命题，而命题不能推出命题， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：C 【题型八】根据必要不充分条件求参数 【例题8-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件的判定及性质 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 【例题8-2】．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2). 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数、必要条件的判定及性质 【分析】（1）由题意得到，分或或三种情况，得到方程，求出； （2）由题意得到，从而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）由命题“，都有，”为真命题知， 因为集合非空，所以或或. 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上，实数的取值是1. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 所以， 解得. 故实数的取值范围是. 【例题8-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、必要条件的判定及性质 【分析】（1）根据集合并集运算的定义即可得解； （2）将必要条件，转化为集合的关系：，再根据集合关系求出参数得取值范围即可. 【详解】（1）当时，集合， 又 所以． （2）因为，且是的必要条件， 所以， 当时，，解得； 当时， 又，故． 综上，的取值范围为. 【题型九】根据充要条件求参数 【例题9-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】将问题转化为恒成立即可求解. 【详解】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【例题9-2】．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【例题9-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据充要条件求参数 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 【例题9-4】．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据充要条件求参数 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 【例题9-5】．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质、根据充要条件求参数 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【题型十】既不充分也不必要条件 【例题10-1】．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【详解】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例题10-2】．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】举反例和可得出. 【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【例题10-3】．（24-25高一上·河南洛阳·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、既不充分也不必要条件 【分析】运用充分条件和必要条件知识判断即可. 【详解】由,令，则，即得不到； 反之，，取，得不到. 则“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【例题10-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、既不充分也不必要条件 【详解】 若，则由可推出，所以是的充分条件，若，则由可推出，故A错误；若，则推不出，此时是的不必要条件，故B正确；若，则与间可互相推出，此时是的充分必要条件，故C正确；若，，即集合，没有包含关系，与之间不能互相推出，故是的既不充分也不必要条件，故D正确． 【题型十一】充要条件的证明 【例题11-1】．（2025·四川成都·模拟预测）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】必要条件的判定及性质、充要条件的证明 【分析】利用必要条件、充要条件的定义推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由及，得，A正确； 对于B，由，得，的必要条件是，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：AB. 【例题11-2】．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】根据根的判别式、韦达定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：当时，则， 方程无实数根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则，解得， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故B正确； 对于C：若方程有两个不等正根，则，解得， 故方程有两个不等正根的充要条件是，故C正确； 对于D：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，故D正确. 故选：BCD 【题型十二】探求命题为真的充要条件 【例题12-1】．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【例题12-2】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、子集的概念、判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合的性质以及集合运算和自己概念可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误： 对B，若，则不能得到，故B错误； 对C，若，故C正确； 对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误. 故选：C 【例题12-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】由充要条件的概念逐项判断即可. 【详解】若方程有实根，则，即或，因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 【题型十三】证明命题的充要性 【例题13-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)k为偶数；证明见解析 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件 【详解】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 课后作业 1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为无穷数列，设甲：，乙：为递增数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、判断命题的必要不充分条件、必要条件的判定及性质 【分析】判断充分、必要条件的两个常用方法:一是定义法,判断是的什么条件,实际上就是判断或是否成立.二是集合法,把条件和结论转化为集合,借助集合关系进行判定. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，即不能推出为递增数列， 但为递增数列可以推出，故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B. 2．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】先求出集合，再根据充分条件和必要条件的定义及集合间的包含关系判断即可. 【详解】由， 判断充分性： 当时，，满足， 所以由“”可以推出“”，充分性成立． 判断必要性： 若，因为，， 所以的值可以为，也可以是其他值如， 即由“”不能推出“”，必要性不成立． 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】考虑的等价命题，求得的取值，结合充要条件判断即可. 【详解】集合， 因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】当且，可得，所以是的充分条件； 如，故是的不必要条件； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 6．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要条件进行判断即可. 【详解】若，则，反之，若，则或. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 8．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 9．（24-25高一上·重庆·期中）设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】取，则，则，故“”推不出“”. 若，设，其中，， 此时，故成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 10．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为， 所以不能推出，而由可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 11．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 12．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 13.（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】结合不等式的性质即可求解，结合充分必要条件的定义即可求解． 【详解】解：且， 故的充要条件为都不为2． 故选：A． 14．（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围. 【详解】当即时，，，所以； 当即时，，. 故选：C. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）是的 条件． 【答案】充要 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】由得到，即， 当时，则，所以， 所以是的充要条件， 故答案为：充要. 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 【答案】 1 4 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】先化简条件，再根据充分条件、必要条件的定义计算得解． 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【详解】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】分情况讨论方程解的情况，结合韦达定理可得参数范围. 【详解】“关于的方程至少有一个负根”的情况有： 当时，方程，解得，符合题意． 当时，方程有实根的充要条件是判别式，解得且， 设方程的两根为分别为，，则，， ①当时，方程的两根均为零即，不合题意； ②当时，，即方程有两个异号根； ③当时，，，即方程有两个负根； 综上所述，“”是“方程至少有一个负根”的充要条件，所以. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、集合新定义 【分析】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 20．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知集合，，且． (1)当时，求实数的取值范围； (2)设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）根据区间定义以及和列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围； （2）根据条件先判断出⫋，然后列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得； 因为，所以， 所以，解得； 综上，的取值范围是. （2）由（1）可知，当时，此时， 又因为是的必要不充分条件，所以⫋， 所以，解得， 综上，的取值范围是. 21．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 【答案】(1) (2)，． 【难度】0.65 【知识点】空集的性质及应用、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据可知无实数根，由此对是否为进行分类讨论即可； （2）先求解出集合，然后根据条件可知是的真子集，分类讨论的情况，由此确定出结果. 【详解】（1）因为，所以方程无实数根， 当，即时，原方程可化为，有实数根，不满足题意； 当时，一元二次方程无实数根， 则，解得，即实数的取值范围为． （2），由题意可得，是的真子集． 当时，得，此时，满足题意； 当时，得，此时，不满足题意． 综上，的取值集合为，其所有子集为，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学人教A版必修一数学精研社同步精品讲义 1.4 充分条件与必要条件 学习目标 知识点概览 题型目录 【知识点1】命题的定义 2 【知识点2】充分条件与必要条件 3 【知识点3】充要条件 5 【知识点1】从不同的角度理解充分条件和必要条件 8 【知识点1】充分条件，必要条件和充要条件的证明 10 【题型一】命题的概念 11 【题型二】判断命题的真假 12 【题型三】充分条件的判定及性质 16 【题型四】必要条件的判定及性质 18 【题型五】判断命题的充分不必要条件 20 【题型六】根据充分不必要条件求参数 22 【题型七】判断命题的必要不充分条件 23 【题型八】根据必要不充分条件求参数 25 【题型九】根据充要条件求参数 27 【题型十】既不充分也不必要条件 29 【题型十一】充要条件的证明 31 【题型十二】探求命题为真的充要条件 32 【题型十三】证明命题的充要性 33 知识点讲解 【知识点1】命题的定义 1．命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2．命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 【例题1】．（24-25高一上·上海·课前预习）推出关系 （1）命题“若，则”是真命题，是指 满足条件的对象都满足结论，用集合的语言描述即 ．所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明； （2）命题“若，则”是假命题，是指 满足条件的对象，它不满足结论．所以，要确定这类命题是假命题，可以举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了； （3）如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作 ． 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则 ． 说明：“若，则”是真命题与是同一种逻辑关系，前者是用文字语言表达，后者是用符号语言表达，不同的表述而已． 【例题2】．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【例题3】．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【知识点2】充分条件与必要条件 充分条件与必要条件的关系 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 【要点解释】 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【例题1】．（24-25高一上·辽宁·期中）“”是“方程有实数解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】．（24-25高一上·贵州遵义·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题4】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【知识点3】充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法： (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 【例题1】．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．“”是“集合或为空集”的充要条件 B．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 C．“且”是“”的必要不充分条件 D．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 【例题2】．（24-25高三上·河南周口·期末）设集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题4】．（24-25高一上·安徽·期中）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【知识点4】从不同的角度理解充分条件和必要条件 1.从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: (1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； (2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； (3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； (4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， (1)若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的必要不充分条件； (4)若A＝B，则p是q的充要条件； (5)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 3.判断充分必要条件的关键： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 4.从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【例题2】．（24-25高一上·全国·课前预习）指出下列各题中，是的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. (1)在中，，； (2)对于实数，，，或； (3)，. 题型总结 【题型一】命题的概念 【例题1-1】．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【例题1-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【题型二】判断命题的真假 【例题2-1】．（2024高三·全国·专题练习）下列全称量词命题与存在量词命题中： ①设A，B为两个集合，若，则对任意，都有； ②设A，B为两个集合，若⊈B，则存在，使得； ③是无理数，是有理数； ④是无理数，是无理数. 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2-2】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【例题2-3】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【例题2-4】．（24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【例题2-5】．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题2-6】．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句中，真命题有（   ） A．若，则x，y互为倒数 B．同一平面内四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若，则 【例题2-7】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．，是无理数 D．任何实数都有算术平方根 【题型三】充分条件的判定及性质 【例题3-1】．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【例题3-2】．（24-25高一上·北京·阶段练习）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3-3】．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3-4】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【例题3-5】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 【题型四】必要条件的判定及性质 【例题4-1】．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例题4-2】．（24-25高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【例题4-3】．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则方程有实根 D．若，则 【例题4-4】．（24-25高一上·上海·开学考试）已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【题型五】判断命题的充分不必要条件 【例题5-1】．（2025·福建·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题5-2】．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题：“是的充分不必要条件”；命题：“”．则下列正确的是（    ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【例题5-3】．（24-25高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【例题5-4】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型六】根据充分不必要条件求参数 【例题6-1】．（24-25高一上·四川凉山·阶段练习）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题6-2】．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【例题6-3】．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【题型七】判断命题的必要不充分条件 【例题7-1】．（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【例题7-2】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是全集I的真子集，有下列四个命题： ①；②；③；④“”是“”的必要且不充分条件. 其中与等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题7-3】．（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【例题7-4】．（2025·天津河东·二模）已知，命题p：，命题q：，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【题型八】根据必要不充分条件求参数 【例题8-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【例题8-2】．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【例题8-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求； (2)若，，且是的必要条件，求的取值范围． 【题型九】根据充要条件求参数 【例题9-1】．（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【例题9-2】．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例题9-3】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【例题9-4】．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【例题9-5】．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【题型十】既不充分也不必要条件 【例题10-1】．（24-25高一下·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题10-2】．（2025·辽宁·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题10-3】．（24-25高一上·河南洛阳·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题10-4】．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，下列说法正确的是（   ） A．若，则是的充分不必要条件 B．若，则是的充分不必要条件 C．若，则是的充分必要条件 D．若，，则是的既不充分也不必要条件 【题型十一】充要条件的证明 【例题11-1】．（2025·四川成都·模拟预测）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，表示有限集中的元素个数.设A，B都为有限集，则（   ） A．的充要条件是 B．的必要条件是 C．的充分条件是 D．的充要条件是 【例题11-2】．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【题型十二】探求命题为真的充要条件 【例题12-1】．（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【例题12-2】．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【例题12-3】．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【题型十三】证明命题的充要性 【例题13-1】．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 课后作业 1．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）记为无穷数列，设甲：，乙：为递增数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知且，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 6．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高一上·重庆·期中）设，用表示不超过的最大整数，如，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 13.（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 14．（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）是的 条件． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为 ，若是的必要条件，则的最小值为 ． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ． 18．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 20．（24-25高一上·江西赣州·期中）已知集合，，且． (1)当时，求实数的取值范围； (2)设：；：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数取值集合的所有子集． 学科网（北京）股份有限公司 $$