第14讲 函数的应用（一）-【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第14讲 函数的运用（一） 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：二次函数模型的应用 考点2：分段函数模型的应用 考点3：对勾函数模型的应用 考点4：其他函数模型 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】解答函数应用题的基本步骤 审题 应用题通常文字冗长，所以一定要认真读题，明确问题的实际意义，对于题干中出现的新名词、新概念等“新”事物要能够正确理解，而变量的单位也需要尤其注意，避免在后期建模时列错函数关系式 建模 在明确问题的实际意义与各个自变量等数据的实际含义后，根据问题的已知条件结合已掌握的数学、物理等相关知识(如利润=总收入-成本、路程=速度×时间等)建立函数解析式，将实际问题用数学语言“翻译”出来，实现实际问题的数学化，建立数学模型 求解 利用所学知识将得到的数学模型予以解答，求得结果 检验 将模型求解后的结果代入原问题中进行检验，此时通常要考虑该结果是否符合实际背景,如原问题要求解机器的数量，则结果必须为正整数等，最后得出结论并作答 以上过程用框图表示如图： 【知识点2】常见函数模型 （一）二次函数模型 1．二次函数：形如 2．求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3．解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． （二）幂函数模型 1．幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2．在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. （三）对勾函数模型 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值. 【知识点3】应用分段函数时的三个注意点 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3．分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 模块二 考点讲解 举一反三 考点1：二次函数模型的应用 【例1】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 （1）若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ （2）若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． （1）请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式3】某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 考点2：分段函数模型的应用 【例2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. （1）试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 考点3：对勾函数模型的应用 【例3】如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并求的取值范围； （2）当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. （1）设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； （2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【变式2】天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【变式3】为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． （1）试求y关于x的函数解析式； （2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 考点4：其他函数模型 【例4】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【例5】（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【变式1】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ） A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤 【变式3】某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 模块三 知识检测 考点1：二次函数模型的应用 1．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 2．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，使用该设备开始盈利? 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 考点2：分段函数模型的应用 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 5．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 （1）求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） （2）为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 6．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． （1）当时，求函数的表达式； （2）当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 考点3：对勾函数模型的应用 7．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 8．（22-23高一上·江苏徐州·期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 9．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 考点4：其他函数模型 10．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 12．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 2．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 3．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 5．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 6．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 7．（24-25高一上·河北张家口·期中）近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（24-25高一上·北京·期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 9．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】解答函数应用题的基本步骤 审题 应用题通常文字冗长，所以一定要认真读题，明确问题的实际意义，对于题干中出现的新名词、新 概念等“新”事物要能够正确理解，而变量的单位也需要尤其注意，避免在后期建模时列错函数关系 式 建模 在明确问题的实际意义与各个自变量等数据的实际含义后，根据问题的已知条件结合已掌握的数 学、物理等相关知识(如利润=总收入-成本、路程=速度×时间等)建立函数解析式，将实际问题用数 学语言“翻译”出来，实现实际问题的数学化，建立数学模型 求解 利用所学知识将得到的数学模型予以解答，求得结果 检验 将模型求解后的结果代入原问题中进行检验，此时通常要考虑该结果是否符合实际背景,如原问题要 求解机器的数量，则结果必须为正整数等，最后得出结论并作答 以上过程用框图表示如图： 【知识点 2】常见函数模型 （一）二次函数模型 1．二次函数：形如 2 ( 0)y ax bx c a    2．求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性 等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3．解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． （二）幂函数模型 1．幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 2．在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. （三）对勾函数模型 解决“对勾”函数 ( ) ( 0, 0) bf x ax a b x     的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象 等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值. 【知识点 3】应用分段函数时的三个注意点 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3．分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 模块二 考点讲解 举一反三 考点 1：二次函数模型的应用 【例 1】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量 y（台）与零售价 x（元）间满足：  0y kx b k   ，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价 x（元） 6000 6500 月销售量 y（台） 60 55 （1）若厂家某月将该按摩椅定价为 6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ （2）若厂家生产一台按摩椅的成本为 4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利 润是多少？ 【变式 1】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为 22元，经过市场调 研发现，这种商品在未来 40天内的日销售量m（件）与 x（天）的关系如表： 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 时间 x（天） 1 3 6 10 36    日销售量m （件） 94 90 84 76 24    未来 40天内，前 20天每天的价格 1 1 25 4 y x  （1 20x  且 x为整数），后 20天每天的价格 2 1 40 2 y x   （ 20 40x  且 x为整数）． （1）请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m与时间 x（天）之间的关系式； （2）请预测未来 40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前 20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠 a元利润（ 4.5a  ）给希望工程．公司通 过销售记录发现，前 20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 x（天）的增大而增大，求 a的取值范 围． 【变式 2】（24-25高一上·山东淄博·期中）2024年 8月 16日，商务部等 7部门发布《关于进一步做好汽车 以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的 个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补 1万元、购买燃油乘用车补 7000元，分别提高至 2万元和 1.5 万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为 2000万元，每生产  *x xN 百件，需另投入成本  W x 万元，且0 45x  时，   23 260W x x x  ；当 45x  时，   4900501 4950 20 W x x x     ，由市场调研知，该产品每百件的售价为 500万元，且全年内生产的该产品 当年能全部销售完． （1）分别写出0 45x  与 45x  时，年利润 y（万元）与年产量 x（百件）的关系式（利润＝销售收入－ 成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 【变式 3】某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一 年中每个月份的盈利情况，得到月利润 s万元与销售月份 t之间的关系为     2 1 5 ,0 5, 2 1 8 25,5 12 2 t t t s t t t t t             N . （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过 3万元的月份. 考点 2：分段函数模型的应用 【例 2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了 一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔 的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本 为 2000万元，每生产  *Nx x 万件，需另投入成本  G x 万元，且0 30x  时，   210 1600G x x x  ；当 30x  时，   320002020 6000 10 G x x x     ，由市场调研知，该产品每件的售价为 2000元，且全年内生产的该产品当 年能全部销售完． （1）年利润 y（万元）与年产量 x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转 变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为 了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为 300万元，最大产能为 100台，每生产 x台，需另投入成本  G x 万元，且   22 80 ,0 40 3600201 2100,40 100 x x x G x x x x           ，由市场调研知， 该产品每台的售价为 200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润  W x 万元关于年产量 x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式 2】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量 y（单位：百千克） 与肥料费用  0 10x x  （单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过 6百元时， 24 1 y x    ；投 入的肥料费用超过 6百元且不超过 10百元时， 2 1 1 18 36 y x x    ．此外，还需要投入其他成本（如施肥的 人工费等）3x百元．已知这种梨的市场售价为 18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获 得的利润为  L x （单位：百元）． （1）求利润  L x 的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式 3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满199元的不予优 惠；一次购物总额满199元，但不满 299元的，减 28元；一次购物总额满299元，不满 499元的，减 48元； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 一次购物总额满 499元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为 x元（假设 x可取  0,  上 的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为 y . （1）试写出 y关于 x的函数关系，并求该函数的最大值； （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求 x的取值范围. 考点 3：对勾函数模型的应用 【例 3】如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD和 EFGH 构成的面积为 2400m 的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为 1000元 2/m ；在四 个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 400元 2/m ；在四个空角（图中四个三角形）上铺 草坪，造价为 200元 2/m ．设 AD长为 x（单位：m）． （1）用 x表示 AM 的长度，并求 x的取值范围； （2）当 AD的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 【变式 1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在 2023年度建设某童装生产线，建设该生 产线投入成本为 300万元，若该生产线每年均可产出 x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计 y（万 元），通过市场统计调查得出：当 0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当 x＞20时，y=81x+ 1600 x  600，生产的每 件童装都可以以 80元的价格售出. （1）设 2024年该童装生产线的利润为 W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计）， 求：W的函数解析式及其定义域； （2）请问 2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【变式 2】天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售 量 a万件与投入的促销费用 x万元  0x  满足关系式 8 1 ka x    （ k为常数），而如果不搞促销活动，该产 品的销售量为 4万件.已知该产品每一万件需要投入成本 20万元，厂家将每件产品的销售价格定为 1036 a      元，设该产品的利润为 y万元.（注：利润销售收入投入成本 促销费用） （1）求出 k的值，并将 y表示为 x的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【变式 3】为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为 4米，底面积为 24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 出的报价为：应急室正面的报价为每平方米 400元，左右两侧报价为每平方米 300元，屋顶和地面报价共 计 9600元，设应急室的左右两侧的长度均为 x米（1 5x  ），公司甲的整体报价为 y元． （1）试求 y关于 x的函数解析式； （2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为  580 20000x  元，若采用最低价中 标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 考点 4：其他函数模型 【例 4】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库 的土方施工任务.该工程队有 ,A B两种型号的挖掘机，已知 3台A型和 5台 B型挖掘机同时施工一小时挖土 165立方米；4台A型和 7台 B型挖掘机同时施工一小时挖土 225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用 为 300元，每台 B型挖掘机一小时的施工费用为 180元. （1）分别求每台A型， B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和 B型挖掘机共 12台同时施工 4小时，至少完成 1080立方米的挖土量，且总费用 不超过 12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【例 5】（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标 一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有 ,A B两种型号的挖掘机，已知 3台A型和 5台 B型挖掘机同时施工一小时挖土 165立方米；4台A型和 7台 B型挖掘机同时施工一小时挖土 225立方 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - 米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为 300元，每台 B型挖掘机一小时的施工费用为 180元. （1）分别求每台A型， B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的A型和 B型挖掘机共 12台同时施工 4小时，至少完成 1080立方米的挖土量，且总费用 不超过 12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【变式 1】已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长  y cm 是腰长  x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A．  10,20 B．  0,10 C．  5,10 D．  5,10 【变式 2】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二 税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为： 今有人持金出五关，第 1关收税金为持金的 12 ，第 2关收税金为剩余金的 1 3 ，第 3关收税金为剩余金的 1 4 ， 第 4关收税金为剩余金的 1 5 ，第 5关收税金为剩余金的 1 6 ，5关所收税金之和恰好重 1斤，则此人总共持金 （ ） A．2斤 B． 75 斤 C． 6 5 斤 D． 11 10 斤 【变式 3】某企业欲实现在今后 10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到 0.001) 模块三 知识检测 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 考点 1：二次函数模型的应用 1．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每 个月份的盈利情况，得到月利润 s万元与销售月份 t之间的关系为     2 1 5 ,0 5, 2 1 8 25,5 12 2 t t t s t t t t t             N . （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过 3万元的月份. 2．某工厂 2022年年初用 100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预 计为 50万元.设使用 x年后该设备的维修、保养费用为  2 *2 5 Nx x x  万元，盈利总额为 y万元. （1）写出 y与 x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，使用该设备开始盈利? 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的 单株年产量  x （单位：千克）与单株施肥量 x（单位：千克）之间的函数关系为   2 36,0 3 2545 ,3 6 x x x x x           ， 且单株投入的年平均成本为10x元，若这种水果的销售价格为10元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单 株年利润为  f x （单位：元）. （1）求函数  f x 的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 考点 2：分段函数模型的应用 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业 为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本 2000万元. 每生产 x（百辆）新能源汽车，需另投入成本 ( )C x 万元，且 210 100 ,0 50 ( ) 8100501 5000, 50 x x x C x x x x          ，由市场调研 知，每辆．．车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出 2020年的利润 ( )L x （万元）关于年产量 x（百辆．．）的函数关系式；（利润 销售量售价成本） （2） 2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 5．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 C（单位： 万元）与产量 x（单位：百件）的函数关系是   10000 20C x x  ；销售收入 S（单位：万元）与产量 x的函 数关系式为   21 220 ,0 120, 50 25488 10 , 120. x x x S x x x         （1）求该商品的利润  W x 关于产量 x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） （2）为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 6．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速 度为 v（单位：海里/小时），船只的密集度为 x（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为 50艘/海里时， 河道拥堵，此时航行速度为 0；当船只密度不超过 5艘/海里时，船只的速度为 45海里/小时，数据统计表明： 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 当5 50x  时，船只的速度是船只密集度 x的一次函数． （1）当0 50x  时，求函数  v x 的表达式； （2）当船只密度 x为多大时，单位时间内，通过的船只数量    f x xv x 可以达到最大值，求出最大值．（取 整） 考点 3：对勾函数模型的应用 7．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛 10月 5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马 拉松比赛中，中国选手何杰以 2小时 13分 02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金 牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前 1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一 60kg 的 复健马拉松运动员进行 4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 1 30km / hv  的匀速运动，该阶段每千 克体重消耗体力 1 1 12Q t v   （ 1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 2 230 10v t  的 减速运动（ 2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 2 2 2 2 2 , 1 t vQ t     已知该运动员初始体力为 0   10000 ,Q kJ 不考虑其他因素，所用时间为 t（单位：h），请回答 下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力Q关于时间 t的函数  Q t ； (2)该运动员在 4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 8．（22-23高一上·江苏徐州·期中）某公司每月最多生产 100台报警系统装置，生产 x台  *Nx 的收入函 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 数为 2( ) 3000 20R x x x  （单位：元），其成本函数为 ( ) 500 4000C x x  （单位：元），利润是收入与成本 之差． (1)求利润函数 ( )P x 及利润函数 ( )P x 的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入 500元的宣传费用，设每台产品的利润为 ( )Q x ，求 ( )Q x 的最大值及此时 x 的值． 9．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌 制作公司设计一个宽为 x米、长为 y米的长方形展牌，其中 y x ，其面积为3( 15)x y  平方米. (1)求 y关于 x的函数解析式，并求出 x的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 考点 4：其他函数模型 10．一个矩形的周长是 20，矩形的长 y关于宽 x的函数解析式为（ ）（默认 y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克 2.5元，小王携带现金 3000元到市场 采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为 x千克，小王付款后剩余现金为 y元，则 x与 y之间 的函数关系为（ ） A． 3000 100 (100 1200)y x x    B． 3000 100 (100 1200)y x x    C． 3000 2.5 (100 1200)y x x    D． 3000 2.5 (100 1200)y x x    12．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如， 某类动物的新陈代谢率 y与其体重 x满足 y kx ，其中 k和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - 中，其体重增长到初始状态的 16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的 8倍，则 为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 1．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为 70台，每台设备的售价为 80万 元．记该企业生产  *x xN 台设备需要投入的总成本为  S x （单位：万元），且   2 20 400,0 40, 1440084 1300,40 70. x x x S x x x x            假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润  f x （单位：万元）关于生产台数 x的函数解析式，并求该企业生产 20台设备时的利润（利润  销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 2．（24-25高一上·北京西城·期末） ,A B两地相距 520km，货车从 A地匀速行驶到 B地，全程限速 100km/h．已 知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为 400元，可变成本与车速 x 的平方成正比，比例系数为  0k k  ． (1)把货车的全程运输成本 y（单位：元）表示为车速 x（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 3．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年 12 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - 月 4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文 化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近 20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进 近 200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅 在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举 行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的 年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年 需投入固定成本 500万元，若该项目在 2025年接待 x万名游客，则需追加管理及维修成本  g x 万元，且 2 20 100,0 40,100 ( ) 165 9000 1150,40 100,100 2 x x x x g x x x x x              N N ，该游玩项目的每张门票售价为 80元． (1)求 2025年该项目的利润  W x （万元）关于游客数量 x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当 2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生 一些次品，其次品率 p与日产量 x（万件）之间满足关系： 1 ,0 24 2 , 3 x m xp x m         （其中 m为小于 24的正整 数）．已知每生产 1万件合格的羽绒服可以盈利 2万元，但每生产 1万件次品将亏损 1万元，故厂方希望 定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如 0.1p  表示每生产 10件产品，有 1件为次品，其余为 合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额 y（万元）表示为日产量 x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 16 - 5．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处 具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用 98万购进一批盲盒生产线，每年可有 50万的 总收入，已知生产此盲盒 x年（ x为正整数）所用的各种费用总计为 22 10x x万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 6．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建 造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本 300万元，除此之外，建造 x个生态农场需另投入成 本  D x 万元，且       21 10 0 30, , 6 1960034 1500 30, , x x x x D x x x x x             N N 初步估计未来五年内每个生态农场能带来 30万 元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润  L x （万元）关于农场数目 x的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 7．（24-25 高一上·河北张家口·期中）近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在 2024年利用新 技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本 12万元，生产 x（千件）手办，需另投入成 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 17 - 本  C x （万元），且   2 , 0 6 10010 40, 6 x x x C x x x x          由市场调研知每件手办售价 90元，且每年内生产的手办 当年能全部销售完. (1)求出 2024年的利润  L x （万元）关于年产量 x（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 8．（24-25高一上·北京·期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均 用时，某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S中 %(0 100)x x  的成员自驾时， 自驾群体的人均通勤时间为   30,0 30 18002 90,30 100 x f x x x x         （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时 间不受 x影响，恒为 40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当 x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)设该地上班族总人数为  *n nN ，求该地上班族S的人均通勤时间 ( )g x 的表达式；并求 ( )g x 的最小值， 指明相应的 x的值． 9．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为 20万元，每生产 1万部还需 另投入 16万元．设该公司一年内共生产该款学习机 x万部并全部销售完，每万部的销售收入为  R x 万元， 且   2 4 ,0 15 5300 , 15 a x x R x b x x x        ．当该公司一年内共生产该款学习机 8万部并全部销售完时，年利润为 1196万 元；当该公司一年内共生产该款学习机 20万部并全部销售完时，年利润为 2960万元． (1)求 a，b； (2)写出年利润 W（万元）关于年产量 x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 暑假优学 人教A版 必修第一册 第14讲 函数的运用（一） 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：二次函数模型的应用 考点2：分段函数模型的应用 考点3：对勾函数模型的应用 考点4：其他函数模型 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】解答函数应用题的基本步骤 审题 应用题通常文字冗长，所以一定要认真读题，明确问题的实际意义，对于题干中出现的新名词、新概念等“新”事物要能够正确理解，而变量的单位也需要尤其注意，避免在后期建模时列错函数关系式 建模 在明确问题的实际意义与各个自变量等数据的实际含义后，根据问题的已知条件结合已掌握的数学、物理等相关知识(如利润=总收入-成本、路程=速度×时间等)建立函数解析式，将实际问题用数学语言“翻译”出来，实现实际问题的数学化，建立数学模型 求解 利用所学知识将得到的数学模型予以解答，求得结果 检验 将模型求解后的结果代入原问题中进行检验，此时通常要考虑该结果是否符合实际背景,如原问题要求解机器的数量，则结果必须为正整数等，最后得出结论并作答 以上过程用框图表示如图： 【知识点2】常见函数模型 （一）二次函数模型 1．二次函数：形如 2．求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3．解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． （二）幂函数模型 1．幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 2．在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数的图象、单调性、奇偶性等解题. （三）对勾函数模型 解决“对勾”函数的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性、值域和图象等，一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值. 【知识点3】应用分段函数时的三个注意点 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 3．分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 模块二 考点讲解 举一反三 考点1：二次函数模型的应用 【例1】某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 （1）若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ （2）若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 【变式1】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． （1）请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； （2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? （3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 【变式2】（24-25高一上·山东淄博·期中）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【详解】（1）由题意可得当时，， 当时， （2）由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【变式3】某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 【答案】(1)第8个月的月利润最大，为7万元 (2)第6，7，8，9，10月. 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【详解】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 考点2：分段函数模型的应用 【例2】（24-25高一下·湖北·阶段练习）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 【变式1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 【变式2】（24-25高一下·江西赣州·开学考试）某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. 【详解】（1）由题意，， 即； （2）当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 【变式3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. （1）试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【详解】（1）由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. （2）由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 考点3：对勾函数模型的应用 【例3】如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．设长为（单位：）． （1）用表示的长度，并求的取值范围； （2）当的长为何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)，； (2)当时，总造价最小为240000元. 【分析】（1）根据题意结合矩形的面积分析求解； （2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：矩形的面积为，因此， 因为，所以． （2）由题意可得： ，（） 由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 【变式1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. （1）设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； （2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)40万套， 520万元 【分析】（1）根据分段代入计算即可； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 【变式2】天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出的值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 【变式3】为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． （1）试求y关于x的函数解析式； （2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公司乙，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，再列式作答. （2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司报价最大最小值，再比较作答. 【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米， 于是得，， 所以y关于x的函数解析式是. （2）由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”， 则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元， 对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元， 因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高， 所以公司乙能竞标成功. 考点4：其他函数模型 【例4】为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 【例5】（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元. （1）分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米 (2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元 【分析】（1）设每台A型，B型挖据机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意列出方程组，解答即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 【详解】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得 ，解得. 所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米， 每台型挖据机一小时挖土15立方米. （2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得， 因为，解得， 又因为，解得， 所以. 所以，共有三种调配方案. 方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台； 案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台； 方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台. ，由一次函数的性质可知，随的减小而减小， 当时，， 此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元. 【变式1】已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设有， 由得，故选A. 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ） A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤 【答案】C 【解析】设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可. 由题得. 即 故选：C 【变式3】某企业欲实现在今后10年内产值翻两翻的目标，则该企业年产值的年平均增长率为 (结果精确到0.001) 【答案】## 【分析】翻两翻就是变成原来的4倍，再利用增长率公式即可得到方程，然后借助指数、对数运算及利用计算器辅助求解. 【详解】设该企业的年平均增长率为，则依题意得：， 则， 即， 所以， 即， 故答案为：. 模块三 知识检测 考点1：二次函数模型的应用 1．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. （1）求一年中最高月利润及对应的月份； （2）求该饮料月利润超过3万元的月份. 【答案】(1)第8个月的月利润最大，为7万元 (2)第6，7，8，9，10月. 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【详解】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 2．某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）某地因地制宜发展生态农业，打造特色水果示范区，该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的函数关系为，且单株投入的年平均成本为元，若这种水果的销售价格为元/千克，且水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元 【分析】（1）分别讨论和时单株年利润的计算公式，由此可得的表达式； （2）分别讨论和时的最大值，由此确定出结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，，对称轴且开口向上， 又因为，所以由此二次函数性质可知时有最大值， 所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 显然， 所以单株施肥量为千克时，单株年利润最大，最大利润为元. 考点2：分段函数模型的应用 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. （2）由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 5．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期中）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与产量x（单位：百件）的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与产量x的函数关系式为 （1）求该商品的利润关于产量x的函数解析式；（利润＝销售收入－生产成本） （2）为使该商品的利润最大化，应如何安排产量？ 【答案】(1) (2)为使该商品的利润最大化，产量为百件. 【分析】（1）利用求出利润函数即可； （2）先求出在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量. 【详解】（1）由题意，利润， 所以. （2）由（1）知，当时，， 在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减， 所以. 综上，为使该商品的利润最大化，产量为百件. 6．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． （1）当时，求函数的表达式； （2）当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 【答案】(1) (2)25艘/海里，最大值为625． 【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案； （2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案. 【详解】（1）由题意知时，海里/小时； 当时，设， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 当时，，此时； 当时，， 当时，取到最大值为625； 由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值， 最大值为625． 考点3：对勾函数模型的应用 7．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少? 【答案】(1) (2)时有最小值，最小值为. 【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数； （2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值. 【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数， 代入与公式可得 解得； （2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值； ②疲劳阶段， 则有， 当且仅当，即时，“”成立， 所以疲劳阶段中体力最低值为， 由于，因此，在时，运动员体力有最小值. 8．（22-23高一上·江苏徐州·期中）某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差． (1)求利润函数及利润函数的最大值； (2)为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)利润函数，最大值为（元） (2)当台时，每台产品的利润取到最大值1900元 【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值； （2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意知， ， 易得的对称轴为， 所以当或时，取得最大值为（元）． 所以利润函数，最大值为（元）； （2）依题意，得 （元）. 当且仅当时等号成立，即时，等号成立． 所以当台时，每台产品的利润取得最大值元． 9．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米. (1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值. 【答案】(1)，； (2)长9米、宽3米，周长的最小值为24米. 【分析】（1）根据给定信息，利用矩形面积公式即可求解. （2）由（1）的结论，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得， 由，得，即，解得， 所以关于的函数解析式是，. （2）展牌的周长， 当且仅当 ，即时取等号，此时， 所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米. 考点4：其他函数模型 10．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【答案】A 【解析】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5. 所以函数解析式为. 故选：A 11．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 12．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 1．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完． (1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）； (2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)，400万元． (2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 【分析】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润； （2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，； 综上， 当台时，万元， 所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元． （2）当时，， 故当台时，取得最大值，最大值为500万元； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当台时，取得最大值，最大值为820万元； 因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元． 2．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 3．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 4．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【详解】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 5．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. (1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ (2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？ 【答案】(1)第3年 (2)第7年平均利润最大，为12万元 【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）设利润为，则， 由整理得， 解得，由于， 所以，所以第3年首次盈利. （2）首先， 由（1）得平均利润万元， 当且仅当，万元时等号成立， 综上，第7年，平均利润最大，为12万元. 6．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】(1) (2)70个，640万元 【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【详解】（1）根据题意得 当时，， 当时，， 所以 （2）当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 7．（24-25高一上·河北张家口·期中）近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完. (1)求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式； (2)2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，即， 当时，万元； 若， 当且仅当时，即时，万元， 因为， 所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 8．（24-25高一上·北京·期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)设该地上班族总人数为，求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求的最小值，指明相应的的值． 【答案】(1) (2)当时，有最小值分钟 【分析】（1）解不等式即可； （2）分、两种情况求出分段函数的表达式，再求各段上的最小值，最后得出在整个定义域上最小值. 【详解】（1）由已知可得， 当时，不符合题意； 当时，由不等式组，解得； 所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. （2）当时，； 当时，， 所以， 当时，函数单调递减，此时； 当，函数在上单调递减、在上单调递增， 此时； 且，可知当时，有最小值分钟. 9．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）由题意可知，解得； （2）当时，， 当时，， 综上所述，； （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$