第12讲 函数的奇偶性-【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版2019必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 第12讲 函数的奇偶性 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：判断函数的奇偶性 考点2：根据奇偶性求参数 考点3：根据奇偶性求解析式 考点4：利用奇偶性解不等式 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的奇偶性 1．奇偶函数： 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 定义域 关于原点对称 图像特点 关于原点对称 关于轴对称 等价定义 或 或 或 2．奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 【知识点2】判断奇偶性的常用方法 1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2．图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3．性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4．分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 【知识点3】函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1．由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2．由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3．由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 【知识点4】函数奇偶性与单调性的综合应用 1．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2．区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：判断函数的奇偶性 【例1】（24-25高二下·北京东城·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知是定义在上的奇函数，给出下列函数：①；②；③；④，其中奇函数为 ，偶函数为 ．（填序号） 考点2：根据奇偶性求参数 【例2】（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【变式1】已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【变式2】（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 考点3：根据奇偶性求解析式 【例3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【例4】（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【变式1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【变式3】（广西南宁市部分学校2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 考点4：利用奇偶性解不等式 【例5】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【变式1】（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3】（24-25高一上·云南红河·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性并用定义证明； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）解不等式． 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 【例6】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. （1）求证：； （2）求证：为偶函数； （3）当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【变式1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． （1）求与的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断的单调性，并证明. 【变式2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. （1）求的值； （2）求在上的最值． 【变式3】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）证明：在上单调递增； （3）判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 模块三 知识检测 考点1：判断函数的奇偶性 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2），． 考点2：根据奇偶性求参数 5．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 6．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 考点3：根据奇偶性求解析式 8．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 10．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 考点4：利用奇偶性解不等式 11．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 14．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 15．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 1．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 2．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 7．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 8．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 10．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 新知归纳 【知识点 1】函数的奇偶性 1．奇偶函数： 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x，都 有    f x f x   ，那么函数  f x 是奇函数 如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x，都 有    f x f x  ，那么函数  f x 是偶函数 定义域 关于原点对称 图像特点 关于原点对称 关于 y轴对称 等价定义 1 )( )(   xf xf 或 0)()(  xfxf ( ) ( ) (| |)f x f x f x   或 1 )( )(   xf xf 或 0)()(  xfxf 2．奇函数、偶函数图象对称性的推广 ( )y f x 在定义域内恒满足 ( )y f x 的图象的对称轴（中心） ( ) ( )f a x f a x   直线 x a ( ) ( )f x f a x  直线 2 ax  ( ) ( )f a x f b x   直线 2 a bx  ( ) ( ) 0f a x f a x    点 ( ,0)a ( ) ( ) 0f a x f b x    点 ( ,0) 2 a b ( ) ( )f a x f b x c    点 ( , ) 2 2 a b c 【知识点 2】判断奇偶性的常用方法 1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数 的定义域是关于原点对称的，再判断 ( )f x 与 ( )f x 之一是否相等. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 【注意】判断 ( )f x 与  f x 的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果   0( )f x f x   或 ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f x f x    ，则函数  f x 为偶函数； （2）如果   0( )f x f x   或 ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f x f x     ，则函数  f x 为奇函数． 2．图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y轴）对称． 3．性质法：设 ( )f x ， ( )g x 的定义域分别是 1D ， 2D ，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ( ))f g x 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在 ( ( ))f g x 中， ( )g x 的值域是 ( )f x 定义域的子集． 4．分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方 法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 ( )f x 与 ( )f x 的关系.首先要特别注意 x与 x 的范 围，然后将它代入相应段的函数表达式中， ( )f x 与 ( )f x 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的 定义进行比较． 【知识点 3】函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质， 要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1．由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据  ( )f x f x   或  ( )f x f x  ，利用待定系数法求参数；若定义域含参数， 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为 0求参数． 2．由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用  ( )f x f x   或  ( )f x f x  求解；若 所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3．由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是， x就设在哪个区间上； （2）把 x 对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得 ( )f x ； （3）利用函数的奇偶性把 ( )f x 改写成 ( )f x ，从而求出 ( )f x ． 【知识点 4】函数奇偶性与单调性的综合应用 1．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2．区间[ , ]a b 和[ , ]b a  关于原点对称 （1）若 ( )f x 为奇函数，且在[ , ]a b 上有最大值M ，则 ( )f x 在[ , ]b a  上最小值 M ； （2）若 ( )f x 为偶函数，且在[ , ]a b 上有最大值M ，则 ( )f x 在[ , ]b a  上最大值M ． 3．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一 个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由 1 2( ) ( )f x f x 或 1 2( ) ( )f x f x 及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 模块二 考点讲解举一反三 考点 1：判断函数的奇偶性 【例 1】（24-25高二下·北京东城·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间 (0, ) 上单调递增的是（ ） A． 1( )f x x x   B． 1( )f x x x   C． 2 1( )f x x   D． 2( ) 2 xf x x    【变式 1】下列函数是偶函数，且在  0,  上单调递减的是（ ） A． y x B． 2y x  C． 2y  D． 2y x= 【变式 2】（24-25高二下·浙江·期中）下列函数中既是偶函数，又在区间  0,  上单调递增的是（ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - A． y x B． 1y x   C． y x  D． 2y x= 【变式 3】已知  y f x 是定义在R 上的奇函数，给出下列函数：①  y f x ；②  y f x  ；③  y xf x ； ④  y f x x  ，其中奇函数为 ，偶函数为 ．（填序号） 考点 2：根据奇偶性求参数 【例 2】（24-25高二下·浙江金华·期中）已知 2( ) 1f x ax bx   是定义在[ 1, 2 ]a a 上的偶函数，则 a b  . 【变式 1】已知函数  f x 为定义在区间  3 ,5a 上的奇函数，则a （ ） A． 2 B．3 C．8 D．无法确定 【变式 2】（2025·安徽·三模）已知函数 2 2( ) 3 1x f x a x     的图象关于原点对称，则a （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式 3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知 2( ) 1  f x x ax ．若 ( )y f x 为偶函数，则 a  ． 考点 3：根据奇偶性求解析式 【例 3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数 ( )f x 是奇函数，当 0x  时， 2( ) 2f x x x  ，则当 0x  时， ( )f x  . 【例 4】（24-25高一上·北京·期中）偶函数  f x 在 0, 上满足   2 2 2f x x x   ，则当 0x  时，  f x  ． 【变式 1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数  f x 是定义在R 上的偶函数，当 0x  时，   2f x x x  ， 则当 0x  时，  f x （ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - A． 2x x B． 2x x  C． 2x x D． 2x x  【变式 2】已知函数  f x 对一切实数 x都满足     0f x f x   ，且当 0x  时，   22 1f x x x   ，则  f x  ． 【变式 3】（广西南宁市部分学校 2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数  f x 是 定义在 R 上的偶函数，且当 0x  时，   3 3 2f x x x    ． （1）求  f x 的解析式； （2）证明：函数    f xg x x  在  1,  上单调递增． 考点 4：利用奇偶性解不等式 【例 5】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数  f x 是定义在 2 2 , 上的奇函数，当0 2x  时，   2 2f x x x  . （1）求函数  f x 的解析式； （2）若    2 1 4 3 0f a f a    ，求实数 a的取值范围. 【变式 1】（2025·云南·模拟预测）已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，且  1 1f  ，若对任意的 1x ，  2 0,x   ， 均有    1 2 1 2 1 f x f x x x    成立，则不等式  1 1f x x   的解集为（ ） A．    0,1 2,  B．    2,0 2,  C．    , 2 0,1   D．    2, 1 0,1   【变式 2】（2025·广西河池·二模）设函数  f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间  0,  上单调递增.若实 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 数 a满足    1 2f a f  ，则 a的取值范围是（ ） A． 3a  B． 1a   C． 1a   或 3a  D． 1 3a   【变式 3】（24-25高一上·云南红河·期中）已知函数 4 1( ) 4 1 x xf x    ． （1）判断 ( )f x 的奇偶性并用定义证明； （2）判断 ( )f x 的单调性并用定义证明； （3）解不等式 ( 1) ( ) 0f x f x   ． 考点 5：抽象函数奇偶性、增减性 【例 6】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为 0x x ∣ 的函数  f x 满足      f x f y f xy  . （1）求证：  1f f x x        ； （2）求证：  f x 为偶函数； （3）当 1x  时，   0f x  ，求证：  f x 在  0,  上单调递增，在  , 0 上单调递减. 【变式 1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数 ( )f x 的定义域为R ，且满足对于任意 , Rx y ， 都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ， 且当 0x  时， ( ) 0f x  ，且 (1) 3f   ． （1）求 (0)f 与 (3)f 的值； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - （2）判断 ( )f x 的奇偶性； （3）判断 ( )f x 的单调性，并证明. 【变式 2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习） ( )f x 是定义在 R 上的函数，对 , Rx y 都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ，且当 0x  时， ( ) 0f x  ，且 ( ) 11f   . （1）求 (0), ( 2)f f  的值； （2）求 ( )f x 在 2,4 上的最值． 【变式 3】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数 ( )f x 的定义域为R ，对任意实数 u，v，都有 ( ) ( ) ( )f u v f u f v   成立，且当 0u  时， ( ) 0f u  . （1）判断 ( )f x 的奇偶性； （2）证明： ( )f x 在R 上单调递增； （3）判断命题“对任意正有理数 , ( ) ( )r rf x f rx ”的真假，并说明理由. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 8 - 模块三 知识检测 考点 1：判断函数的奇偶性 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）  f x 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ） A．     0f x f x   B．      2f x f x f x    C．     1 f x f x x    D．     0f x f x   2．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数 3( )f x x 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（ ） A． 2 1y x  B． 1y x  C． 1y x  D． y x 4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： （1）   2 21 1f x x x    ； （2）   2 2 1f x x x  ，  1,1x  ． 考点 2：根据奇偶性求参数 5．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数 2( ) (2 )f x ax b a x a b     是定义在[2 ,2 ]a a 上的偶函数， 则a b （ ） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 9 - A． 3 B． 1 C．3 D．1 6．（2025·河南·模拟预测）已知  f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意 ,x y，都有      f x f y f x y a    ， 则a （ ） A．2 B．1 C．0 D． 1 7．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数 ( ) bf x ax x   (其中 ,a b为常数)的图象经过 5(1,2), 2, 2       两点. (1)求 ,a b的值； (2)判断并证明函数 ( )f x 的奇偶性； (3)用定义证明函数 ( )f x 在区间 1, 上单调递增. 考点 3：根据奇偶性求解析式 8．（24-25 高一下·云南昭通·期末）已知函数  f x 的定义域为R ，且  0 0f  ，若      f x f y f xy x y    ， 则（ ） A．  1 1f   B．  1 1f   C．  f x 为增函数 D．  f x 为奇函数 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数  f x 为奇函数，且当 0x  时，   1f x x  ，则当 0x  时，  f x 的解析式为 . 10．（24-25高一下·福建·期中）已知 ( )y f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时， 2( ) 4f x x x  . (1)求函数 ( )f x 在 R上的解析式； (2)若函数 ( )f x 在区间[ 2,2 3]m  上单调递增，求实数 m的取值范围. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 10 - 考点 4：利用奇偶性解不等式 11．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数 ( ) 3 3x xf x   ，则使 ( ) ( 2)f x f x  成立的 x的取值范围是（ ） A． ( ,2) B． (2, ) C． (1, ) D． ( ,1) 12．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数  f x 是定义在R 上的奇函数，对任意  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ， 都有    2 1 2 1 0 f x f x x x    ，且    3 3f f  ，则不等式   0xf x  的解集为（ ） A．    , 3 3,     B．    3,0 3,   C．    , 3 0,3   D．    3,0 0,3  13．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为R 的偶函数  y f x 在 0,  上为严格减函数，则不等式    1 2 1f x f x   的解集为 ． 14．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知  f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的 1 2x x ，都有      1 2 1 24f x f x x x   ，且  2 16f  ，则不等式  4 8 4x f x x   的解集为 ． 考点 5：抽象函数奇偶性、增减性 15．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数  f x 的定义域为R ，  1 2f  ，且对于任意实数m，n， 有       1f m n f m f n    ，当 0x  时，   1f x  . (1)求  1f  的值； (2)求证：  f x 在定义域R 上是单调递增函数； (3)求证：   1f x  为奇函数. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 11 - 1．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数   2 1 xf x x   是定义在区间  1,1 上的函数． (1)判断  f x 的奇偶性； (2)证明  f x 在区间  1,1 上是增函数，并求不等式  1 1 0 2 f x f x        的解集． 2．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数  f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时，   22 4f x x x  ． (1)求函数  f x 的表达式； (2)若函数  f x 在区间 1,a a 上不单调，求实数 a的取值范围． 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知  y f x 是定义在R 上的偶函数，当 0x  时，   2 2f x x x  . (1)求  1f ，  2f  的值； (2)求  f x 的解析式； (3)画出  y f x 的简图；写出  y f x 的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 12 - 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 ( )f x 是定义在[ 3,3] 上的奇函数，满足 1(1) 5 f  ，当 3 0x   时， 有 2( ) 9 ax bf x x    (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)判断 ( )f x 的单调性，并利用定义证明； (3)若对 x  [ 3,3] ，都有 2 1( ) 2 3 f x m am   对 [ 2, 2]a   恒成立，求实数m的取值范围． 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 13 - 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知函数  f x 是定义在  3,3 上的奇函数，当 3 0x   时，    1f x x x  . (1)求  f x 的解析式； (2)判断  f x 的单调性（无需证明），并解关于 a的不等式    21 1 0f a f a    . 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数   2 1ax bxf x x    为奇函数，且  1 3f  (1)求  f x 的解析式 (2)求证：  f x 在区间 1, 上单调递增； 7．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数  f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时，   2 3 xf x x   . (1)当 0x  时，求  f x 的解析式； (2)判断  f x 在 0, 上的单调性，并用定义证明. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 14 - 8．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数  f x 的定义域为 R，当 0x  时， 3( ) 1 xf x x   . (1)求  f x 的解析式； (2)证明:  f x 在 [0, ) 上单调递减； (3)若对任意的 x R ，不等式    2 23 2 4 3 0f m x f x x     恒成立，求实数 m的取值范围. 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数  f x 对于任意实数 ,x yR ，都有       2f x y f x f y    ， 且  2 4f  . (1)求  1f 的值； (2)令     2g x f x  ，求证:函数  g x 为奇函数； (3)求              2025 2024 1 0 1 2024 2025f f f f f f f            的值. 10．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数  f x 的定义域是 Rx x∣ 且 0x  ，对定义域内的任意 1x ， 2x 都有      1 2 1 2f x x f x f x  ，且当 1x  时，   0f x  ，  4 1f  . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 15 - (1)判断函数  f x 的奇偶性并证明； (2)求证：  f x 在  0,  上是增函数； (3)解不等式：    3 1 3 2 6f x f x    . 暑假优学 人教A版 必修第一册 第12讲 函数的奇偶性 目录 模块一：新知归纳 模块二：考点讲解举一反三 考点1：判断函数的奇偶性 考点2：根据奇偶性求参数 考点3：根据奇偶性求解析式 考点4：利用奇偶性解不等式 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 模块四：过关检测 题型分组练 巩固提高综合练 模块一 新知归纳 【知识点1】函数的奇偶性 1．奇偶函数： 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 定义域 关于原点对称 图像特点 关于原点对称 关于轴对称 等价定义 或 或 或 2．奇函数、偶函数图象对称性的推广 在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心） 直线 直线 直线 点 点 点 【知识点2】判断奇偶性的常用方法 1．定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论： （1）如果或，则函数为偶函数； （2）如果或，则函数为奇函数． 2．图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3．性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 4．分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 【知识点3】函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1．由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2．由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3．由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 【知识点4】函数奇偶性与单调性的综合应用 1．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2．区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3．利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 模块二 考点讲解举一反三 考点1：判断函数的奇偶性 【例1】（24-25高二下·北京东城·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案. 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 【变式1】下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，故A错误；单调递减，且在上单调递减，故B正确；是偶函数，但在上不是单调递减的，故C错误；是偶函数，且在上单调递增，故D错误． 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式的形式，直接判断函数的性质. 【详解】AB的两个函数都是奇函数，故不正确； C.，所以在区间单调递减，故不正确； D.是偶函数，且在区间单调递增，故正确. 故选：D 【变式3】已知是定义在上的奇函数，给出下列函数：①；②；③；④，其中奇函数为 ，偶函数为 ．（填序号） 【答案】 ②④ ①③ 【分析】利用函数奇偶性的定义，先判断函数定义域是否关于原点对称，然后探讨与的关系，若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数． 【详解】①的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数； ②的定义域为，关于原点对称，令， 因为，所以为奇函数； ③的定义域为，关于原点对称，令， 则，故是偶函数； ④的定义域为，关于原点对称，令， 则， 故是奇函数. 故答案为：②④；①③. 考点2：根据奇偶性求参数 【例2】（24-25高二下·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 【变式1】已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 【变式2】（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于原点对称，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】易知的定义域为，且是奇函数， 则对任意均成立， ， 即 解得． 故选：D. 【变式3】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 考点3：根据奇偶性求解析式 【例3】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 【例4】（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 【变式2】已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式． 【详解】函数对一切实数都满足， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以 所以. 故答案为：． 【变式3】（广西南宁市部分学校2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）证明：函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用偶函数的性质可求出当时，，从而可求解； （2）利用函数单调性证明的定义法可得，从而可求解证明. 【详解】（1）当时，， 因当时，，得． 因为是偶函数，所以当时，． 故． （2）证明：由（1）可知，当时，． 任取，，令， 则， 因为，所以，，，则， 则，即， 从而可证在上单调递增． 考点4：利用奇偶性解不等式 【例5】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得； （2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，， 任取，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 综上，； （2）当时，，所以在上单调递增； 因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以可化为： 即，解得：，即实数的取值范围是. 【变式1】（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 【变式2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·云南红河·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性并用定义证明； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）任取，且，然后计算化简，再判断符号，从而可得结果； （3）根据函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 的定义域为，对于，都有， 且， 所以，即函数是奇函数； （2）是上的增函数，证明如下： 设任意，且， , 因为，所以，因此，即， 所以在上单调递增； （3）因为是定义在上的奇函数， 所以，可化为， 又是上的增函数， 所以，解得， 即原不等式的解集为． 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 【例6】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. （1）求证：； （2）求证：为偶函数； （3）当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 【变式1】（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． （1）求与的值； （2）判断的奇偶性； （3）判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 【变式2】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. （1）求的值； （2）求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）令，即可求出，通过，可求出； （2）任取，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 【变式3】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）证明：在上单调递增； （3）判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【分析】（1）由条件，通过赋值依次证明，由此证明为偶函数，再证明时不成立，证明不是奇函数； （2）任意取，且，结合条件证明，可得结论； （3）要证明原命题只需证明成立.，再证明，由此可得，最后证明即可. 【详解】（1）因为对任意实数u，v，都有， 所以，所以， 在中，令得，， 所以，所以是奇函数， 因为当时，，所以，所以不是偶函数 （2）证明：任意取，且，则，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数”是真命题.理由如下： 因为是一个正有理数，所以， 所以原命题等价于成立. ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数成立， 所以原命题是一个真命题. 模块三 知识检测 考点1：判断函数的奇偶性 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数是奇函数的定义计算判断即可. 【详解】由题可知：是定义在上的奇函数，所以， 对A，成立，故正确； 对B，成立，故正确； 对C，令，则，不成立，故错误； 对D，， 由，所以成立，故正确； 故选：C 2．（24-25高一下·江苏盐城·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】现求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义，判断与的关系即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，， 所以函数为奇函数. 故选：A. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列函数中，是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式的形式，直接判断选项. 【详解】是偶函数，是奇函数，和是非奇非偶函数. 故选：B 4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2），． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 考点2：根据奇偶性求参数 5．（24-25高一下·陕西西安·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得. 【详解】由题意可得， 又, 则， 所以. 故选：B 6．（2025·河南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 7．（23-24高一上·广东江门·期中）已知函数(其中为常数)的图象经过两点. (1)求的值； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)用定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入得到方程组，求出的值； （2）利用函数的奇偶性的定义求证； （3）利用单调性的定义求证. 【详解】（1） ∵函数的图象经过两点， ∴，解得； （2）函数是奇函数.证明如下： 由（1）知，，函数的定义域为. ∵， ∴函数是奇函数. （3）任取，则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. 考点3：根据奇偶性求解析式 8．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 9．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 考点4：利用奇偶性解不等式 11．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知是偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上的增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 12．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 13．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 14．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由得，构造函数，可判断是增函数.由是定义在上的奇函数，可得为奇函数，得，.由可转化为，进而可得. 【详解】因为，所以， 设，因为，所以， 则是增函数，， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以，． 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为， 故答案为：. 考点5：抽象函数奇偶性、增减性 15．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先计算，再通过赋值求的值，即可求解； （2）首先设，，代入条件，判断的正负，结合函数单调性的定义，即可证明； （3）通过赋值，再结合奇函数的定义，即可证明. 【详解】（1）令，则，得， 令，，则 即； （2）设，， 所以， 即， 因为，所以， 则， 所以函数在上单调递增； （3）令，， 则，得， 即， 所以函数是奇函数. 1．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【分析】（1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 2．（24-25高二下·山东烟台·阶段练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的表达式； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数，即，求出函数解析式即可. （2）有分段函数解析式，画出函数图像，根据函数图形的单调区间，列出参数的不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，因为函数是奇函数，故，满足条件； 当时，， 由是奇函数，得， 所以， （2）由（1）的解析式，作出的图象： 可知函数的在上单调递增，在上单调递减区，要使在上不单调， 则，解得． 或，解得． 所以实数的取值范围是 3．（24-25高一下·河北保定·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据解析式和奇偶性求值； （2）利用奇偶性的定义求解析式； （3）根据（2）中解析式得函数的简图，由图象得单调区间. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递减，. 【分析】（1）设，得到.由即可求解； （2）由二次函数单调性即可判断，利用函数的单调性奇偶性即可求解； 【详解】（1）设，则. 是奇函数，且当时，， . 所以； （2） 时，，对称轴为，开口向上，易知在为减函数， 由函数为奇函数，可知在上单调递减； 是奇函数， ， 即. 的定义域是是减函数， , 即，解得： 即不等式的解集是. 6．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据，求出参数的值，最后检验即可. （2）根据单调性的定义求出即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，且定义域为， 可得，即，解得， 又，解得，所以， 对任意的，， 满足为奇函数，综上可得， （2）任意的，，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在区间上单调递增. 7．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【详解】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 8．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【详解】（1）解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； （2）证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； （3）∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 9．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 10．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$