22.1.1二次函数（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.1 二 次 函 数 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数的概念,会判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是否为二次函数关系。 经历从具体问题中抽象出函数解析式的过程，发展观察、抽象、类比、归纳的能力，感受二次函数是描述现实世界变量关系的重要模型。 类比一次函数的研究方法，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 知识回顾 什么是函数？ 什么叫做一次函数？ 什么叫做正比例函数？ 函数有哪些表示方法？ 在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么y 称为x 的函数。 形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0) 形如y=kx (k≠0) 解析法 列表法 图象法 一次函数的特例 图象都是一条直线 现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题 导入新课 6－x x S= x（6－x） 正方形面积最大 3 S= 3×3=9 长方形 正方形 问题 篮球运动员在进行投篮时抛出篮球，篮球的高度h随篮球运动时间t的变化而变化，h与t之间有什么关系? 会与某种函数有联系吗？ 导入新课 广场的喷泉喷出的水珠，在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离之间有什么关系? 问题 会与某种函数有联系吗？ 什么是函数？ 导入新课 引言问题 如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间有什么关系? y = 6x² x 正方体六个面是全等的正方形 y是x的函数吗？ 新知探究 探究点1 引言中正方体的表面积的问题 （1）对于的每一个值，y的对应值如何?y与х的对应关系如何? （2）y是х的函数，它们的函数关系是什么？这个函数有什么特征？ 函数关系：① 特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 对于的每一个值，y都有唯一的一个值与其对应;y是х的函数。 讨 论 新知探究 探究点2 单循环问题 分 析 问题1 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系? 每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . 答： 此式表示了比赛的场次数与球队数n之间的关系，对于n的每一个值， 都有唯一的一个对应值，即是n的函数. n-1 ② n （n-1） n （n-1） n² － n 特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式 新知探究 探究点3 增长率问题 问题2 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量；如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 这种产品的现在年产量是20t, 一年后的产量是 t,再经过一年后的产量是 t,即两年后的产量y =________. 答： y =20x2+40x+20. ③式中对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 ③ 分 析 ③式特征：函数关系式自变量的最高次数是2，且是整式。 9 新知探究 探究点4 二次函数概念 函数①②③有什么共同点? y=6x2 m=n²−n y=20x2+40x+20 （1）函数解析式是整式. （2）化简整理后自变量的最高次数是2 （3）二次项系数不为0，即a≠0 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 函数都是用自变量的二次式表示的 典例分析 例1．（1）若是关于的二次函数，则的值为（ ） A． －2 B．0 C．2 D．±2 解：令 ，解得 或 ， 又∵ ， ∴ ∴当 时，这个函数是关于的二次函数， 二次项的系数应不等于零 二次函数条件 自变量的最高次数是2 分 析 C 探究点4 二次函数概念 （2）把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 y=(2-3x)(6+x)= -3x²-16x+12 (1)易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=±2的错误答案 注意 典例分析 探究点4 二次函数概念 例2.扇形面积公式是 （1）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量取值范围是什么？ （2）当是常量时，是的什么函数？自变量是什么？自变量的取值范围是什么？ （2）当是常量时，扇形面积公式： ， 其中是常数，是的二次函数； 自变量是；自变量取值范围是＞0. 解：（1）当是常量时，扇形面积公式：， 其中 是常数，是的正比例函数； 自变量是；自变量取值范围是＞0. 拓展提升 1.（1）如果函数是关于的二次函数,求的值. (2)如果函数是关于的二次函数,求的值的范围;如果是一次函数求的值. 解：（1）如果函数是关于的二次函数, 则满足 解方程(1)得 由(2)得 , 故 . 二次项系数a≠0 拓展提升 1.（1）如果函数是关于的二次函数,求的值. (2)如果函数是关于的二次函数,求的值的范围;如果是一次函数求的值. 解：（2）如果函数是关于的二次函数, 则满足: 解得 ∴的值的范围是的实数 函数是关于的一次函数 则： 解方程(1)得 由(2)得 , ∴ 二次项系数a≠0 新知巩固 1. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式。 教材P29练习 解：∵ 2. 如图，矩形绿地的长、宽各增加x m、写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式。 1．（2024上·广东江门·九年级校考期中）下列函数中，不是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 真题感知 A、是二次函数，故不符合题意； B、中分母含有自变量，不是二次函数，故符合题意； C、是二次函数，故不符合题意； D、化简= ∴是二次函数，故不符合题意； B 解： 真题感知 2．（2025上·六安舒城·九年级校考阶段测试）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当=1时，求的值． （1）依题意有 解得： （2）把代入函数解析式中得 当=1时 ∴ 的值为7 解： 课堂小结 二次项系数 自变量 二次函数的定义 一般地，形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数. 解析式 y = ax² + bx + c 一次项系数 常数项 与其它函数一样，二次函数中x每取一个值,y都有唯一确定的值与之对应，两者之间满足“一一对应” 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 （2）a，b，c为常数，且a≠0。 （3 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围通常情况是任意实数。 课堂小结 二次函数解析式 y = ax² + bx + c 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数） 课后练习 习题22.1 教材P41 2.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位:元)随每次降价的百分率x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示? 1.一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式. 解：设这个矩形的面积为y，宽为x，则 y =2x•x=2x² 解： y =2（1－x）² 课后练习 探究性作业 某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ y=(200+20x)(8-x) = -20x2－40x+1600 (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； （1）解：根据题意，可得 （2）当y=1440 时 -20x2－40x+1600=1440 解得 x1=2，,x2=-4，（不合题意舍去） 答：要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元 21 $$