3函数的单调性和最值（二）（题型专练）数学北师大版必修第一册

3函数的单调性和最值（二） 题型一：直接法求函数最值 1．函数的最小值和最大值分别是（ ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 2．函数在区间上的最大值为（ ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数在区间上变形为：， ，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 3．如果函数，，那么函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】配方后，确定函数的单调区间，即可求函数值域. 【详解】∵，开口向上，对称轴为直线， ∴在区间上单调递增，∴，， ∴时，的值域是. 故选：C. 4．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 题型二：已知函数最值求参 1．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（ ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 2．若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 3．若函数在上的最大值为，则（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 4．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查二次函数在给定区间最值问题，将系数与0比较分类讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】当时，，为常值函数，显然不合题意，舍去； 当时，为开口向上，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格增，所以，所以; 当时，为开口向下，对称轴为y轴的二次函数， 所以它在区间严格减，所以，所以; 故选：C. 5．已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（ ） A．2或 B． C．3 D．3或 【答案】D 【分析】通过可得的值，判断出的单调性，列出关于的方程解出即可. 【详解】由题可知，即， 则，，所以. 因为在区间上单调递增，所以， 解得或. 故选：D. 6．（多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 题型三：利用函数的单调性求最值 1．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 2．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上是增函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 【详解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 3．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为； (3)作图见解析，. 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 4．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 题型四：利用函数图象求解最值 1．表示a，b中的较小值，设，则其最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】依题意求得的解析式，根据其单调性，即可求得最大值. 【详解】令，解得；令，解得； 所以， 故当时，单调递增；当时，单调递减， 则的最大值为. 故选：C. 2．已知函数，，设函数则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】作出的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：作出的图象如图所示： 从图像可以看出；当或时，最大，故B正确. 故选：B 3．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意求的解析式，结合图象求最值. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得； 可知：， 作出的图象（图中实线部分）， 由图可知：的最小值为. 故选：C. 4．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】就、、分类讨论可得，再分类求值域后可得其最小值. 【详解】设，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，， 当时，， 故函数的最小值为0. 故选：C. 题型五：分段函数的性质和最值 1．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】AB 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分及解不等式即可得；对D：分别求出当时，时，的取值范围即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对C：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 对D：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D错误； 故选：AB. 2．（多选）给定函数用表示中的最大者，记为，则（ ） A．函数的单调递增区间是 B．函数无最大值 C．函数的最小值为1 D． 【答案】BC 【分析】先求出的表达式，再分析其单调性、最值等性质.通过比较与的大小来确定在不同区间的表达式，然后根据表达式来分析各个选项. 【详解】令，即. 解这个不等式，可得. 所以当时，. 令，即. 解这个不等式，可得或. 所以当或时，. 综上，. 分析选项A，对于，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.对于，在上单调递增. 所以的单调递增区间是，A选项错误. 分析选项B，当时，（时）或（时），的值会无限增大，所以无最大值，B选项正确. 分析选项C，当时，；当时，. 且在的整个定义域内，在处取得最小值，C选项正确. 分析选项D，当时，因为，所以，D选项错误. 故选：BC. 3．（多选）定义，设，则（ ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【分析】作出函数图象，根据图象逐项判断即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 4．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．当时，的最小值为1 D．当时，的最大值为1 【答案】ACD 【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有时，，判断单调性判断A、B；讨论、，结合函数新定义求的值域，即可判断C、D. 【详解】由解析式易知，函数定义域为，A对； 当，则，故在区间上单调递增，B错； 当时，，此时函数最小值为1， 当时，，则，当且仅当时取等号，C对； 当时，， 当时，，则，当且仅当时取等号，D对； 故选：ACD 题型六：已知最值求参范围 1．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 2．（多选）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（ ） A．4 B． C．-4 D． 【答案】AD 【分析】根据二次函数对称轴与所给区间，分类讨论即可得解. 【详解】函数的对称轴为，开口向上. 当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得或， 因为，所以； 当，即时，函数在区间上单调递减， 所以，解得或， 因为，所以； 当时，在上递减，在上递增，所以，不合题意； 综上：实数a可能的取值或. 故选：AD 3．设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 【答案】B 【分析】根据函数定义求得其解析式，画出函数图象根据最值即可得出区间长度的取值范围. 【详解】由题意得其图象如下图所示： 令得； 令得或1. 当，时，取得最大值4； 当，时，取得最小值1. 所以的最大值和最小值分别为4，1. 故选：B 4．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 题型一：定义域和值域含参求范围 1．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解. 【详解】函数在上单调递增，依题意，，而， 因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根， 函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根， 得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．已知函数，若存在实数，使得函数的定义域和值域都是，则的值是_________________． 【答案】3 【分析】根据给定的二次函数，探讨它在区间上的单调性，借助最值计算可得结论. 【详解】函数的图象对称轴为，因此，在上单调递增， 依题意，而，则， 即，解得或， 又，所以，所以m的值是3． 故答案为：3． 3．已知函数，若存在实数、，使函数在上的最大值、最小值分别为，，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性结合题意，将问题转化为在上有两个不同的解，再结合一元二次方程根的分布列不等式组可求得结果. 【详解】由，二次函数的对称轴为，开口向上， 所以在上递增，所以在上递增， 因为在上的值域为， 所以，， 所以方程在上有两个不同非负数解， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 题型二：分段函数的最值求参 1．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 2．设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 3．设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故选：B 4．（多选）已知函数若的最小值为，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 【答案】ACD 【详解】当时，，当时，，由条件知（否则的最小值不是，所以函数在上单调递减，．又由条件知，解得，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 由以上分析知A，C，D正确． 题型三：含参最值的求解 1．已知函数，且关于的不等式的解集为. (1)求函数的解析式； (2)若，讨论在区间上的最值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由不等式的解可确定的解，然后由韦达定理可得答案； （2）由（1），讨论在区间上的单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因的解集为，则的根为与. 由韦达定理，可得，则； （2）由（1），， 若，则在区间上单调递减， 则； 若，则在区间上单调递减，在上单调递增， 则， . 综上，. 2．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 3．已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 1．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为_________________． 【答案】 【分析】由题意知，根据函数的单调性求出函数的最值，列出不等式即可求解. 【详解】由题意知， 的对称轴为， 所以在上单调递减，， 在上单调递减，， 所以，解得. 故实数的取值范围是． 故答案为：. 2．已知函数，若，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数的值域为； 函数在上单调递增，函数的值域为， 由，使得，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 4．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，把条件转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： 设，且， 则， ∵，∴， ∴，即， ∴在区间上单调递增. （2）由（1）得，，，即时，的值域， ∵在上为减函数，∴时，值域， ∵，使得，∴， ∴，解得，故实数a的取值范围为. 5．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3函数的单调性和最值（二） 题型一：直接法求函数最值 1．函数的最小值和最大值分别是（ ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 2．函数在区间上的最大值为（ ） A． B． C．5 D．6 3．如果函数，，那么函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二：已知函数最值求参 1．若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（ ） A．6 B．3 C． D． 2．若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ） A． B．1 C．3 D． 3．若函数在上的最大值为，则（ ） A． B．1 C． D． 4．若函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数a的值是（ ） A．1 B． C．1或 D．0 5．已知函数是奇函数，且在区间上的最大值为2，则（ ） A．2或 B． C．3 D．3或 6．（多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．14 C． D． 题型三：利用函数的单调性求最值 1．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 2．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 3．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 4．已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 题型四：利用函数图象求解最值 1．表示a，b中的较小值，设，则其最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知函数，，设函数则的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不存在 3．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D．2 4．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是（ ） A． B． C．0 D．1 题型五：分段函数的性质和最值 1．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 2．（多选）给定函数用表示中的最大者，记为，则（ ） A．函数的单调递增区间是 B．函数无最大值 C．函数的最小值为1 D． 3．（多选）定义，设，则（ ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 4．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（ ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．当时，的最小值为1 D．当时，的最大值为1 题型六：已知最值求参范围 1．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数在区间上的最小值为9，则可能的取值为（ ） A．4 B． C．-4 D． 3．设函数，其中表示中的最大者，若在区间上的最大值为7，最小值为4，则区间长度的最大值和最小值分别为（ ） A．3，1 B．4，1 C．5，2 D．7，2 4．若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型一：定义域和值域含参求范围 1．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，若存在实数，使得函数的定义域和值域都是，则的值是_________________． 3．已知函数，若存在实数、，使函数在上的最大值、最小值分别为，，则实数的取值范围是______________． 题型二：分段函数的最值求参 1．已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数若的最小值为，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C． D．函数的最小值为 题型三：含参最值的求解 1．已知函数，且关于的不等式的解集为. (1)求函数的解析式； (2)若，讨论在区间上的最值. 2．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 3．已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 1．已知函数，其中．对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为_________________． 2．已知函数，若，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数a的取值范围． 5．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$