专题01 实数（山西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题01 实数（原卷版） 考点1 科学记数法 1．（2021·山西·中考真题）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．（2022·山西·中考真题）粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 3．（2023·山西·中考真题）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（    ）    A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时 考点2 实数的运算 1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 2．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 3．（2021·山西·中考真题）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 4．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 考点3 比较实数的大小 1．（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）在第十五届中国国际航空航天博览会展会期间，无人机记录了精彩瞬间．若选定某一高度为标准位置，无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋城·三模）如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南楚雄·一模）北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 4．（2025·山西吕梁·二模）下列各数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西大同·三模）下列各数在数轴上对应的点到原点的距离大于3的是（    ） A．2 B．3 C． D． 6．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 7．（2025·山西运城·二模）下列各数与l的和为0的是（   ） A．1 B． C． D． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）2025的相反数是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·山西·模拟预测）如图为小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：小亮  得分：？ 填空（每小题2分，共10分） ①的平方根是（±3）②的绝对值是   ③④⑤的相反数是2 A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 10．（2025·山西太原·一模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A． B． C． D．2 11．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 12．（2025·山西·一模）2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山西晋城·三模）射线被广泛用于原子核物理研究，其速度为光速的十分之一，已知光速为，则射线的速度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·山西·模拟预测）2025年4月19日，“天工 Ultra”以2小时40分42秒的成绩，夺得全球首个人形机器人半程马拉松冠军，人们为这一赛事展现出的中国人形机器人产业的实力和前景而振奋．相关报告显示，2025年，中国人形机器人市场规模预计达到亿元，约占全球一半．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 15．（2025·山西大同·三模）共青团中央2025年5月3日发布数据显示，截至2024年12月底，全国共有共青团员7531.8万名，共青团组织439.7万个，2024年共发展团员641.7万名．数据“641.7万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山西大同·三模）年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山西大同·模拟预测）下列各数是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 18．（2025·山西朔州·三模）点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·山西吕梁·二模）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．5 20．（2025·山西忻州·二模）在，0，，这四个数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 21．（2025山西晋城·三模）在有理数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 22．（2025山西·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 23．（2025山西朔州·模拟预测）以一个碳-12原子质量的为标准，其他原子的质量与它相比，得到相对原子质量，即相对原子质量．已知一个碳-12原子的质量约．D原子的相对原子质量是4，则估算D原子的质量用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（2025山西晋中·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 二、填空题 25．（2025·山西吕梁·二模）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    26．（2025山西·二模）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为 ． 27．（2025山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 28．（2025山西晋中·三模）数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ． 29．（2025太原市模拟）计算： ． 30．（2025·山西晋中·二模）请你写出一个比小且比大的无理数 ． 31．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 32．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 33．（2025晋中市二模）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 三、解答题 34．（2025·山西晋中·一模）（1）计算：； （2）解方程组： 35．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 36．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 37．（2025山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s，． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t，． 步骤4：求与t的和m，． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n，． 步骤6：求n与m的差就是校验码X．，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 38．（2025山西吕梁·三模）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为， 根据图中面积关系，得， 略去，得，解得，∴， 易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，    (1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可） ．数形结合    ．统计    ．分类讨论    ．转化 (2)把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到） 39．（2025·山西·一模）（1）计算：； （2）下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：．…………第一步 ．………………第二步 第三步 所以，或第四步 解得．······…………第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是___________． ②第___________步开始出现错误，错误的原因是___________ 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 40．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数（解析版） 考点1 科学记数法 1．（2021·山西·中考真题）《中国核能发展报告2021》蓝皮书显示，2020年我国核能发电量为3662.43亿千瓦时，相当于造林77.14万公顷．已知1公顷平方米，则数据77.14万公顷用科学记数法表示为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，将原数变为a，小数点移动多少位，n的值就为多少，据此判断即可． 【详解】解：77.14万公顷 ＝771400公顷 =7714000000平方米 =平方米， 故选：D． 【点睛】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值解题关键． 2．（2022·山西·中考真题）粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：68285万=6.8285×108． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2023·山西·中考真题）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长．数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（    ）    A．千瓦时 B．千瓦时 C．千瓦时 D．千瓦时 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示规则写出即可． 【详解】1464亿， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟悉科学记数法规则（）． 考点2 实数的运算 1．（2025·山西·中考真题）（1）计算：     （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键； （1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可； （2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可． 【详解】解：（1）原式                ；                 （2）解：①+②，得，                 ．                   将代入②，得，                  ．                     所以原方程组的解是． 2．（2024·山西·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 3．（2021·山西·中考真题）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二： 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）①乘法分配律（或分配律） ②五  不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． 4．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键． 考点3 比较实数的大小 1．（2025·山西·中考真题）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2．（2025山西·中考真题）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）在第十五届中国国际航空航天博览会展会期间，无人机记录了精彩瞬间．若选定某一高度为标准位置，无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．表示相反意义的量：其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．根据正负数的意义即可判断答案． 【详解】解：无人机从标准位置上升记为，则从标准位置下降记为． 故选：A． 2．（2025·山西晋城·三模）如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，先算出零件合格的范围为，再判断每个选项的数值在不在范围内，如果在吗，那就符合题意，否则不符合题意，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴零件合格的范围为 ∵， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴C选项符合题意； ∵， ∴D选项不符合题意； 故选：C 3．（2025·云南楚雄·一模）北京时间2025年1月21日1时12分，经过约小时的出舱活动，“神舟十九号”乘组航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽密切协同，在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置安装、舱外设备设施巡检等任务．出舱航天员蔡旭哲、宋令东已安全返回问天实验舱，出舱活动取得圆满成功.如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，准确理解它们是表示相反意义的量是解题的关键．正数和负数是表示相反意义的量，根据题目中的规定用正数或负数表示即可． 【详解】解：如果航天员蔡旭哲出舱前5秒记为秒，那么航天员蔡旭哲出舱后10秒应记为秒． 故选： 4．（2025·山西吕梁·二模）下列各数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意；     B. 是无理数，不符合题意； C. 是无理数，不符合题意； D. 是有理数，符合题意； 故选：D． 5．（2025·山西大同·三模）下列各数在数轴上对应的点到原点的距离大于3的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离． 求出每一个数的绝对值就是到原点的距离，即可求出答案． 【详解】解：A．2到原点的距离2，小于3，不符合题意，故该选项错误； B．3到原点的距离3，不符合题意，故该选项错误； C．到原点的距离3，不符合题意，故该选项错误； D．到原点的距离4，大于3，符合题意，故该选项正确． 故选D． 6．（2025·山西晋中·三模）若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 7．（2025·山西运城·二模）下列各数与l的和为0的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，化简双重符合，有理数的加法运算，分别计算各选项数据与的和即可得到答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 8．（2025·四川宜宾·中考真题）2025的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 9．（2025·山西·模拟预测）如图为小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：小亮  得分：？ 填空（每小题2分，共10分） ①的平方根是（±3） ②的绝对值是    ③ ④ ⑤的相反数是2 A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质、相反数的定义、立方根的定义及算术平均数的定义求解即可． 本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握绝对值的性质、相反数的定义、立方根的定义及算术平均数的定义． 【详解】解：①的平方根是，此题错误，不得分． ②的绝对值是   ，此题正确，得分． ③，此题正确，得分． ④，此题错误，不得分． ⑤的相反数是2，此题正确，得分． 总计得分60分， 故选：C． 10．（2025·山西太原·一模）下列各数在数轴上对应的点，离原点最近的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 11．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵ ∴日温差最大的一天是星期二， 故选：B 12．（2025·山西·一模）2025年元宵节这天，北京、深圳、哈尔滨、太原四地最低气温分别为，．这些气温中最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，掌握负数小于正数、负数的绝对值越大、自身反而越小成为解题的关键． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：由题意得：， 所以最低气温是． 故选：C． 13．（2025·山西晋城·三模）射线被广泛用于原子核物理研究，其速度为光速的十分之一，已知光速为，则射线的速度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：根据题意可得射线的速度为：， 故选：A． 14．（2025·山西·模拟预测）2025年4月19日，“天工 Ultra”以2小时40分42秒的成绩，夺得全球首个人形机器人半程马拉松冠军，人们为这一赛事展现出的中国人形机器人产业的实力和前景而振奋．相关报告显示，2025年，中国人形机器人市场规模预计达到亿元，约占全球一半．数据亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿， 故选C． 15．（2025·山西大同·三模）共青团中央2025年5月3日发布数据显示，截至2024年12月底，全国共有共青团员7531.8万名，共青团组织439.7万个，2024年共发展团员641.7万名．数据“641.7万”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据“641.7万”用科学记数法表示为． 故选：C． 16．（2025·山西大同·三模）年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为（即）．将数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键， 根据科学记数法的表示方法，可表示为，从而得到答案． 【详解】解：， 故选：A. 17．（2025·山西大同·模拟预测）下列各数是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数，逐项判断即可． 【详解】解：A、属于有理数，不符合题意； B、0属于有理数，不符合题意； C、，属于有理数，不符合题意； D、属于无理数，符合题意； 故选：D． 18．（2025·山西朔州·三模）点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的意义，不难发现点A对应的实数是一个正数，解答即可． 本题考查了数轴上的点与表示数，正确理解数轴是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点A对应的实数是一个正数， 故选：C． 19．（2025·山西吕梁·二模）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如（每两个1之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义即可得出结论． 【详解】解：，，是有理数，是无理数． 故选：C． 20．（2025·山西忻州·二模）在，0，，这四个数中，比小的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．先根据实数的大小比较法则比较大小，再选出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的是， 故选：A． 21．（2025山西晋城·三模）在有理数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值大的负数，其值反而小，判断出最大的负数是哪个即可． 【详解】解：， ∴ ∴最大， 故选：B． 22．（2025山西·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则八进制数2024换算成十进制数是（    ） A．1044 B．1048 C．1024 D．1028 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据八进制换算成十进制的方法即可作答． 【详解】解：由题意可知，八进制数2024换算成十进制数是， 故选：A 23．（2025山西朔州·模拟预测）以一个碳-12原子质量的为标准，其他原子的质量与它相比，得到相对原子质量，即相对原子质量．已知一个碳-12原子的质量约．D原子的相对原子质量是4，则估算D原子的质量用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据题意列出正确的算式并用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故选：C 24．（2025山西晋中·一模）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ）    A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键． 根据正方体的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为，根据题意，得 ， ， ∵， ∴， ∴该正方体铁块的棱长位于3和4两个相邻整数之间． 故选：B． 二、填空题 25．（2025·山西吕梁·二模）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“电流＝电压÷电阻”即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 26．（2025山西·二模）大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 70 84 98 112 … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了数字规律探究和有理数的混合运算的应用，理清题意，正确列出算式是解题关键．根据表中的数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此列式计算即可． 【详解】解：有表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次， 由此，在温度为时，蟋蟀每分钟鸣叫的70次的基础上可得， ， 即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为． 故答案为：10． 27．（2025山西大同·模拟预测）请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键． 先化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数． 【详解】∵，， ∴这个无理数可以是，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 28．（2025山西晋中·三模）数形结合能够把图形与数字有效结合在一起，使理解更加有效准确．如图，根据这一 思想，小明借助勾股定理把无理数表示在数轴上，点B表示的数为2，，根据图中的弧线可知，点A表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 29．（2025太原市模拟）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，乘方，先运算乘方，再求出的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2 30．（2025·山西晋中·二模）请你写出一个比小且比大的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的定义，实数大小的比较，根据可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小且比大的无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 31．（2025·安徽合肥·二模）我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为．请比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是无理数的大小比较，先计算，，再结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， 故答案为： 32．（2025·山西晋城·一模）比较大小： （填：“”“ ”或“”） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，能够识记特殊数的算术平方根是解答此类问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 33．（2025晋中市二模）小明编写了一个程序，如图．若输出，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数运算与流程图，涉及立方根、平方根、有理数的乘方、倒数等内容，看懂流程图并根据相关运算的逆运算求解是解答的关键．根据流程图和实数运算法则求解即可． 【详解】解：∵输出的数是， ∴根据流程图，的平方是，的倒数是4，4的立方是，64的平方根是， 故x的值为， 故答案为：． 三、解答题 34．（2025·山西晋中·一模）（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）4（2） 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、零次幂，绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）， 则把①代入②，得． 解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 35．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. 36．（2025·山西·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． “密押术”中的数学智慧 明清时期，山西晋商票号为保障银票安全，采用了多种防伪手段，“密押术”是其中最重要的一种．所谓“密押术”就是在银票上用特定的汉字来代替数字，使关键的金额、时间等信息仅内部人员可解读．某校数学兴趣小组研究了“密押术”之后，结合所学的数学知识针对十两以上万两以下的银票设计了一套独特的金额密押规则．内容如下： （一）汉字与数字对应关系 每个汉字固定对应一个数字（0~9）：吉（0），忠（1），昌（2），仁（3），诚（4），和（5），兴（6），安（7），毅（8），梦（9）． （二）生成密押 将金额的末两位数记为，然后计算的值，再取结果的后四位数字．然后对照（一）中的对应关系依次得到后四位数字对应的汉字，这四个汉字即为这张银票的汉字密押．例如，一张银票金额为326两，取其末两位数26，代入后的结果为4572．通过（一）中汉字与数字对应关系生成这张银票的密押为“诚和安昌”． 任务： (1)若一张银票金额为1240两，密押为“兴忠仁吉”，请根据上述密押规则来判断这张银票的真伪． (2)已知一张银票的密押为“仁安仁昌”，银票金额在50两以内且为整数，求这张银票的金额． (3)在现有密押规则下，不同金额的银票生成的密押可能相同，存在造假风险，请你设计一种额外的加密措施，使银票的防伪性更强． 【答案】(1)伪；见解析 (2)16两 (3)见解析 【分析】（1）计算时，的值，根据四位数字，确定对应的欢子解答即可． （2）根据银票的密押为“仁安仁昌”，得到对应的四位数字是3732，于是得到，求得，结合银票金额在50两以内且为整数，解答即可． （3）答案不唯一，只要能增加保密性即可． 本题考查了求代数式的值，求平方根，熟练掌握求代数式的值，平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：由材料可知，银票金额为1240两，则. 当时，. 对照汉字与数字对应关系得到这张银票的密押为“兴诚昌吉”，这与“兴忠仁吉”不符， 故该银票为假. （2）银票金额在50两以内， . 由汉字与数字对应关系得到“仁安仁昌”对应的数字为3732， . 解得． 由材料可知且为整数， 这张银票金额的末两位数为16. 银票金额在50两以内， 这张银票的金额是16两. （3）答案不唯一，例如，在密押中增加一个汉字确定银票金额是几位数. 37．（2025山西长治·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确．                  性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： (1)若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． (2)如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） (3)如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】(1)0 (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）根据新定义列代数式求解； （3）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； （2）∵ ∴ 故答案为：； （3）解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 38．（2025山西吕梁·三模）阅读材料，并解决下列问题： 在学习无理数的估算时用了“无限逼近法”，借助计算器可以估算无理数的近似值，我们还可以用下面的方法来探索无理数的近似值．我们知道，面积为2的正方形的边长为，易知．因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为， 根据图中面积关系，得， 略去，得，解得，∴， 易知，因此可设．如图所示构造边长为的正方形，则它的面积为，    (1)上述的分析过程中，主要运用的数学思想是______．（填序号即可） ．数形结合    ．统计    ．分类讨论    ．转化 (2)把上述内容补充完整，使的近似值更加准确．（结果精确到） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想； （）根据图中面积关系，得，然后根据实例的方法进行求解即可； 本题考查了无理数的估算，正确理解题意，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 【详解】（1）由示意图可知运用的数学思想是数形结合思想， 故选：； （2）根据图中面积关系，得， 整理得， 略去，得，解得， ∴． 39．（2025·山西·一模）（1）计算：； （2）下面是小含同学解方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． ． 解：．…………第一步 ．………………第二步 第三步 所以，或第四步 解得．······…………第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步变形依据的运算律是___________． ②第___________步开始出现错误，错误的原因是___________ 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②二，将变形为其相反数时，没有添加负号；任务二： 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、立方根、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先运用、平方根、立方根、乘方化简，然后按照有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据乘法运算律、运用因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1） ； 解：任务一：①乘法分配律． ②二，将变形为其相反数时，没有添加负号， 任务二： 解：， ， ， 所以，或， 解得． 方程的解为． 40．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （）根据“重排求差”法求解即可； （）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律； （）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案为：； （2）解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； （3）解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$